第三章系統(tǒng)可靠性模型

系統(tǒng)由相互作用相互依賴的若干單元組合而成的具有特定功能的有機(jī)整體。

“系統(tǒng)”和“單元”

相對(duì)概念

可以按產(chǎn)品層次劃分“系統(tǒng)”包含單元，其層次高于“單元”產(chǎn)品可以是任何層次的。系統(tǒng)、單元——產(chǎn)品不可修復(fù)系統(tǒng)——指系統(tǒng)或其組成單元一旦發(fā)生故障，不再修復(fù)，處于報(bào)廢狀態(tài)的系統(tǒng)?？尚迯?fù)系統(tǒng)——指通過維修而恢復(fù)功能的系統(tǒng)。系統(tǒng)分類

模型原理圖反映了系統(tǒng)及其組成單元之間物理上的連接與組合關(guān)系。功能框圖、功能流程圖

反映系統(tǒng)及其組成單元之間功能的關(guān)系系統(tǒng)的原理圖、功能框圖和功能流程圖是建立系統(tǒng)可靠性模型的基礎(chǔ)可靠性模型——指的是系統(tǒng)可靠性邏輯框圖(也稱可靠性方框圖)及其數(shù)學(xué)模型。可靠性框圖——是在完全了解產(chǎn)品任務(wù)和壽命周期模型的基礎(chǔ)上，通過簡明扼要的直觀辦法表示出產(chǎn)品每次使用能成功地完成任務(wù)時(shí)，所有單元之間的相互依賴關(guān)系。模型為預(yù)計(jì)和估算產(chǎn)品可靠性所建立的可靠性方框圖和數(shù)學(xué)模型。方框：產(chǎn)品或功能邏輯關(guān)系：功能布局連線：系統(tǒng)功能流程的方向

無向的連線意味著是雙向的節(jié)點(diǎn)（可以在需要時(shí)才加以標(biāo)注）輸入節(jié)點(diǎn)：系統(tǒng)功能流程的起點(diǎn)。輸出節(jié)點(diǎn)：系統(tǒng)功能流程的終點(diǎn)。中間節(jié)點(diǎn)3.1可靠性框圖及其特點(diǎn)可靠性邏輯框圖按級(jí)展開abdce42135ⅠⅤⅡⅢⅣⅥⅦⅧCLRXXDD?、ⅱ＂は到y(tǒng)級(jí)分系統(tǒng)級(jí)設(shè)備級(jí)部件級(jí)組件級(jí)閥門A閥門B流體閥門A閥門B流體圖a結(jié)構(gòu)圖ABAB圖b可靠性框圖系統(tǒng)可靠性模型分類

3.2.1串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性模型定義：組成系統(tǒng)的所有單元中任一單元的失效就會(huì)導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)失效；或稱每個(gè)單元都正常工作時(shí)，系統(tǒng)才能完成其規(guī)定的功能的系統(tǒng)稱串聯(lián)系統(tǒng)。串聯(lián)系統(tǒng)可靠性框圖123n……根據(jù)串聯(lián)系統(tǒng)的定義及邏輯框圖，其數(shù)學(xué)模型為：式中Rs

(t)——系統(tǒng)的可靠度；

Ri

(t)——第i個(gè)單元的可靠度。若各單元的壽命分布均為指數(shù)分布，即式中λs——系統(tǒng)的故障率；

λi——各單元的故障率。

系統(tǒng)的平均故障間隔時(shí)間為若則式中

串聯(lián)系統(tǒng)的特點(diǎn)（1）可靠性串聯(lián)系統(tǒng)中，可靠性最差的單元對(duì)系統(tǒng)的可靠性影響最大。（2）（3）若系統(tǒng)的各個(gè)單元服從指數(shù)分布，則該系統(tǒng)壽命也服從指數(shù)分布。從設(shè)計(jì)角度，提高串聯(lián)系統(tǒng)可靠性措施：（3）等效地縮短任務(wù)時(shí)間t。（1）提高單元可靠性，即減少失效率；（2）盡量減少串聯(lián)數(shù)目；例3-1

一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)主要又下列五類元器件組裝而成的串聯(lián)系統(tǒng)，這些元器件的壽命分布皆為指數(shù)分布，其失效率及裝配在計(jì)算機(jī)上的數(shù)量如表所示。若不考慮結(jié)構(gòu)、裝配及其他因素，而只考慮這些元器件的失效與否，試求此計(jì)算機(jī)的可靠度，t=10h的可靠度、失效率及平均壽命。種類12345失效率元器件個(gè)數(shù)102解：由指數(shù)分布串聯(lián)系統(tǒng)仍服從指數(shù)分布，則可靠度為

若系統(tǒng)中的單元不是指數(shù)分布，其系統(tǒng)的失效率和單元的失效率關(guān)系仍為證明：3.2.2并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性模型

定義：組成系統(tǒng)的所有單元都失效時(shí)，系統(tǒng)才失效的系統(tǒng)叫并聯(lián)系統(tǒng)，它屬于工作貯備模型。其邏輯框圖如圖所示。

并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性框圖根據(jù)并聯(lián)系統(tǒng)定義邏輯框圖，其數(shù)學(xué)模型為式中Fs(t)——系統(tǒng)的不可靠度；

Fi(t)——第i個(gè)單元的不可靠度。式中

Rs(t)——系統(tǒng)的可靠度；

Ri(t)——第i個(gè)單元的可靠度。MTBFMTBF對(duì)于指數(shù)分布，若失效率用λ表示當(dāng)N個(gè)相同時(shí)，則并聯(lián)系統(tǒng)特點(diǎn)（1）（2）（3）（4）并聯(lián)系統(tǒng)的各單元服從指數(shù)分布，該系統(tǒng)不再服從指數(shù)分布；（5）隨著單元數(shù)的增加，系統(tǒng)可靠度增大，系統(tǒng)的平均壽命也隨之增加，但新增加單元對(duì)系統(tǒng)可靠性及壽命提高的貢獻(xiàn)越來越小。從設(shè)計(jì)角度，提高并聯(lián)系統(tǒng)可靠性措施：（3）等效地縮短任務(wù)時(shí)間t。（1）提高單元可靠性，即減少失效率；（2）盡量增加并聯(lián)數(shù)目；并聯(lián)單元數(shù)與系統(tǒng)可靠度關(guān)系例3-2已知并聯(lián)系統(tǒng)由兩個(gè)服從指數(shù)分布的單元組成，兩個(gè)單元的故障率分別為，工作時(shí)間t=1000h,試求系統(tǒng)的故障率、平均壽命和可靠度。

解：系統(tǒng)的平均壽命3.2.3混聯(lián)系統(tǒng)可靠性的計(jì)算3.2.4k/n表決系統(tǒng)

k/nR2R1Rn定義：設(shè)n個(gè)單元組成的系統(tǒng)，其中任意k個(gè)或k個(gè)以上正常工作系統(tǒng)就能正常工作。稱為n中取k系統(tǒng)。k/n[G]k/n[F]分類k/n表決系統(tǒng)

k/n[G]系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型MTBF平均壽命：MTBFMTBF例3-3設(shè)每個(gè)單元的可靠度，λ=0.001h-1，求t=100h時(shí)，（1）一個(gè)單元的系統(tǒng)，（2）二單元串聯(lián)系統(tǒng)，（3）二單元并聯(lián)系統(tǒng)，（4）2/3[G]表決系統(tǒng)的可靠度R1,R2,R3和R4。解：t=100h時(shí)四個(gè)系統(tǒng)的可靠度如下：一個(gè)單元系統(tǒng)的可靠度為：兩單元串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度為：兩單元并聯(lián)系統(tǒng)的可靠度為：2/3[G]表決系統(tǒng)的可靠度為：

t=1000h時(shí)，四個(gè)系統(tǒng)的可靠度如下：一個(gè)單元系統(tǒng)的可靠度為：兩單元串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度為：兩單元并聯(lián)系統(tǒng)的可靠度為：2/3[G]表決系統(tǒng)的可靠度為：當(dāng)R1不同時(shí)，系統(tǒng)可靠度有所不同！當(dāng)R1=0.5時(shí)，R4=R1R1R2R3R4RsR1例3-4

已知某型飛機(jī)安裝了3臺(tái)同類型、同功率的發(fā)動(dòng)機(jī)，發(fā)動(dòng)機(jī)壽命數(shù)據(jù)服從指數(shù)分布，其失效率均為。

(1)該發(fā)動(dòng)機(jī)要求2臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)正常工作，飛機(jī)就能正常工作，設(shè)工作100h。

(2)假設(shè)3臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)同時(shí)工作，試求2臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)與2/3[G]工作時(shí)系統(tǒng)可靠度與平均壽命。

(3)又假設(shè)采用4臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)時(shí)，求每2臺(tái)并聯(lián)后再串聯(lián)的可靠度與平均壽命。解：①2臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)的可靠度串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度為：②2/3[G]表決系統(tǒng)時(shí)可靠度為：③兩兩并聯(lián)的串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度為：由此可見，2/3[G]方法采用3臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)其可靠度接近4臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)的可靠度，故該法是既節(jié)省資源有提高可靠度的合理方法之一。R1R1R1R13.2.5貯備系統(tǒng)冷貯備系統(tǒng)熱/溫貯備系統(tǒng)分類平均壽命平均壽命MTBFiMTBFMTBFMTBFMTBFMTBF熱貯備和溫貯備系統(tǒng)的可靠性模型溫儲(chǔ)備系統(tǒng)的儲(chǔ)備單元處于輕載工作狀態(tài)，不處于完全不工作狀態(tài)，例如，電子管的燈絲。當(dāng)設(shè)備處于比較惡劣的環(huán)境時(shí)，不工作儲(chǔ)備單元的故障率要比輕載的故障率大得多，這時(shí)也必須使儲(chǔ)備單元處于輕載工作狀態(tài)。例如，處于潮濕環(huán)境中的電子設(shè)備，通電工作的故障率要比長期儲(chǔ)存（不工作）的失效率低。設(shè)單元A的工作故障率為λA,儲(chǔ)備單元B的工作故障率為λB、儲(chǔ)備單元B的儲(chǔ)備失效率為λ'B，參見下圖。可求得其可靠度和MTBF是：當(dāng)λ‘B=λB，為熱儲(chǔ)備系統(tǒng)；當(dāng)λ‘B=0，為冷儲(chǔ)備系統(tǒng)，而當(dāng)0<λ‘B

<λB時(shí)，則為溫貯備系統(tǒng)。若轉(zhuǎn)換裝置不是完全可靠，則當(dāng)開關(guān)故障率λK不為零或不能忽略時(shí)兩單元相同時(shí)當(dāng)λA＝λB=λ、λ‘B＝λ’，即，工作時(shí)A、B兩單元工作故障率相同時(shí)，可求得：若檢測(cè)和轉(zhuǎn)換裝置的故障率λK不為零或不能忽略時(shí)3.2.6橋聯(lián)系統(tǒng)

實(shí)際中，系統(tǒng)是比較復(fù)雜的，如果系統(tǒng)可靠性框圖不能分解成上述的幾種模型可用：

布爾真值表法（狀態(tài)枚舉法）；概率圖法；全概率分解法；最小路集法；網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浞ǎ?/p>

Monte-Carlo法等；3.2.7布爾真值表法（狀態(tài)枚舉法）直觀的進(jìn)行系統(tǒng)可靠性的計(jì)算方法。此法不僅適用于簡單串、并聯(lián)系統(tǒng)，也適用于復(fù)雜系統(tǒng)可靠性的計(jì)算。對(duì)單元的正常工作狀態(tài)用邏輯“真”值“１”表示；失效狀態(tài)用邏輯“假”值“0”

表示系統(tǒng)由n個(gè)單元組成,每個(gè)單元僅有兩種可能狀態(tài)，n個(gè)單元所構(gòu)成系統(tǒng)共有2n個(gè)狀態(tài)。對(duì)應(yīng)其中的每一狀態(tài)，系統(tǒng)也只有正常和失效兩種狀態(tài)。這些狀態(tài)中，如系統(tǒng)能正常工作，記作S(i)。i表示在這個(gè)狀態(tài)下為保證系統(tǒng)正常工作所需要的單元正常工作的個(gè)數(shù)。系統(tǒng)失效記作F(i)。i表示在這個(gè)狀態(tài)下為引起系統(tǒng)失效的失效單元的個(gè)數(shù)。用真值表法求解系統(tǒng)可靠度表達(dá)式設(shè)有一個(gè)按A、B、C三個(gè)單元組成的系統(tǒng)，其中任意兩個(gè)正常工作系統(tǒng)就能正常工作。對(duì)系統(tǒng)的“S(i)”值選項(xiàng)求和即可得到系統(tǒng)的可靠度表達(dá)式為Rs=3r2-2r3單元狀態(tài)概率表達(dá)式狀態(tài)序號(hào)ABC1000200130104011(1-ra)rbrc=r2-r351006101ra(1-rb)rc=r2-r37110rarb(1-rc)=r2-r38111F(3)F(2)F(2)S(2)F(2)S(2)S(2)S(3)rarbrc=r3系統(tǒng)狀態(tài)思考題列出下圖所示系統(tǒng)的真值表并計(jì)算系統(tǒng)的可靠度Rs，設(shè)各子系統(tǒng)的可靠度全部為r。

系統(tǒng)的可靠性邏輯框圖ABCEDS(3)r3(1-r)2單元狀態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)狀態(tài)序號(hào)ABCD100002000030001400105100610007110081010E10100011011012010113010014001115001016000117111091811011911002001112101102201123101101概率表達(dá)式F(5)F(4)0F(4)0F(4)00F(4)0F(4)0F(3)0F(3)10010S(2)r2(1-r)31F(3)0F(3)0S(2)r2(1-r)31S(2)r2(1-r)30F(3)1S(2)r2(1-r)31F(3)0F(2)0S(3)r3(1-r)21S(3)r3(1-r)20S(3)r3(1-r)21S(3)r3(1-r)201S(3)r3(1-r)20單元狀態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)狀態(tài)序號(hào)ABCD24101025100126010127111128011291101301110310111E3211概率表達(dá)式S(3)S(3)1S(3)0S(4)11S(4)1S(4)1S(4)1S(4)11111S(5)r4(1-r)r3(1-r)2r3(1-r)2r3(1-r)2r4(1-r)r4(1-r)r4(1-r)r4(1-r)r5

答案：可求得：Rs=r5-r4-3r3+4r23.2.8概率圖法也叫卡諾圖法屬于狀態(tài)枚舉法的范疇，將組成系統(tǒng)的單元狀態(tài)2n列在方格中，圖的表頭用格雷碼(Gray)編排。系統(tǒng)正常的狀態(tài)用“*”表示，計(jì)算所有“*”的概率。畫出一些不重疊的正方或長方格，對(duì)各方格進(jìn)行合并簡化，最后可將系統(tǒng)可靠度按這個(gè)劃分寫出?？ㄖZ圖法是在狀態(tài)窮舉法的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，它借助于數(shù)字電路理論的卡諾圖計(jì)算系統(tǒng)的可靠度。用二進(jìn)制表示的2n種單元狀態(tài)的組合，可以用一種稱為卡諾圖的方格圖來表示。

卡諾圖把n位二進(jìn)制數(shù)分成兩部分，分別作為橫向表頭和縱向表頭的編碼。表頭使用的二進(jìn)制數(shù)不是按大小順序排列，而是使用的格雷(Gray)碼，這種編碼的特點(diǎn)是相鄰位置和對(duì)稱位置上的兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)只在一位上有差別。

如兩位二進(jìn)制數(shù)的格雷碼表示為：00011110

三位二進(jìn)制數(shù)的格雷碼表示為：000001011010110111101100

表體內(nèi)的方格用1和0表示系統(tǒng)的正常和故障狀態(tài)。

利用卡諾圖計(jì)算系統(tǒng)的可靠度時(shí)，把方格內(nèi)所有標(biāo)有1的方格分成若干個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)包括2k個(gè)方格，小區(qū)應(yīng)成矩形，各小區(qū)不能有交叉，這些小區(qū)就是表示“系統(tǒng)正?！边@一事件的不交和，從而可以求出系統(tǒng)的可靠度。小區(qū)劃分的方式不唯一，以小區(qū)盡可能少為好，但計(jì)算的結(jié)果是相同的。例如圖所示的橋式系統(tǒng)，試用卡諾圖法求系統(tǒng)的可靠度，設(shè)各元件正常的概率均為R，失效的概率均為F=1-R。

解：畫出系統(tǒng)的卡諾圖如下圖所示，把方格中的1劃分成5個(gè)小區(qū)，則系統(tǒng)的正常狀態(tài)表示為：

所以系統(tǒng)可靠度為：概率圖法思考題如圖所示，用概率圖法求系統(tǒng)可靠度，已知RA=0.7,RB=0.8,RC=0.6。S=C+ABC=RC+RARBFC=0.6+0.7×0.8×0.4=0.8243.2.9全概率分解法適用可靠度不易確定的一般網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，將其簡化為一般串、并聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算。采用該方法進(jìn)行概率計(jì)算，選擇關(guān)鍵單元是關(guān)鍵。此時(shí)，單元只有兩種狀態(tài)。若Bi是B的一個(gè)劃分，即(不可能事件)(i=1,2,…,n,j=1,2,…,n,i≠j)，(必然事件)，則全概率公式為：

對(duì)于單調(diào)系統(tǒng)(任一元件的失效只會(huì)使系統(tǒng)失效概率增加)，每個(gè)元件有兩種狀態(tài)(正常狀態(tài))和(失效狀態(tài))，且二者必居其一，滿足全概率公式的條件，因此系統(tǒng)的可靠度為：

其中表示在X正常情況下系統(tǒng)正常的事件，相當(dāng)于把X的兩端短接起來，表示在X失效情況下系統(tǒng)正常的事件，相當(dāng)于把X的兩端斷開。

以橋式系統(tǒng)為例：選取元件E作為分解元件，短接E兩端，得到上面中間圖，斷開E的兩端，得到上面右圖。則若各元件正常的概率均為R，則有對(duì)于兩種狀態(tài)的事件，如成敗、斷通、好壞等情況，全概率公式：

P{A}=P{B}P{A|B}+P{B}P{A|B}設(shè)被選單元Ax的可靠度為Rx(t)，不可靠度Fx

(t)=1-Rx(t)，則

RS(t)=Rx(t)R

(S|Rx(t))+Fx(t)R

(S|Fx(t))

式中R

(S|Rx(t))—單元Ax在t時(shí)正常條件下，系統(tǒng)能正常工作的概率；

R

(S|Fx(t))—單元Ax在t時(shí)失效條件下，系統(tǒng)能正常工作的概率；RS(t)=Rx(t)R

(S|Rx(t))+Fx(t)R

(S|Fx(t))

全概率分解法例題如上圖所示，已知X1=X2=0.8，X3=X4=0.7，X5=0.6，求系統(tǒng)可靠度。RS=P(X5)P[(1-(1-X1)(1–X2))(1-(1-X3)(1–X4))]+P(X5)P[1-(1-X1X4))(1-X2X3)]X5正常時(shí)X5失效時(shí)解：選取X5為分解單元。如上兩圖分別所示X5正常和失效時(shí)系統(tǒng)可靠性框圖。練習(xí)題已知R1=0.7，R2=0.8，R3=0.6應(yīng)用全概率法計(jì)算下圖系統(tǒng)可靠性框圖的可靠度。解：Rs=R2[1-(1-R1)(1-R3)]+(1-R2)R3=0.8×(1-0.3×0.4)+0.2×0.6=0.8243.2.10最小路集法路集：該子集以外所有單元均失效的情況下，子集中所有單元工作時(shí)，系統(tǒng)工作。最小路集（MPS）：路集的每一個(gè)單元單獨(dú)失效都會(huì)引起系統(tǒng)失效。割集：該子集以外所有單元均工作的情況下，子集中所有單元失效時(shí)，系統(tǒng)失效。最小割集（MCS）：割集的每個(gè)單元單獨(dú)工作都會(huì)引起系統(tǒng)工作?？煽啃钥驁D路集：{AC},{BC},{DE},{F}{ACDEF},{ABCDEF}等最小路集：{AC},{BC},{DE},{F}割集：{CEF},{CDF},{ABEF},{ABDF}{ABCDF},{ABCEF}等最小割集：{CEF},{CDF},{ABEF},{ABDF}系統(tǒng)內(nèi)最小路集L1,L2…Ln

建立由最小路集組成的結(jié)構(gòu)函數(shù)，即系統(tǒng)的可靠度為對(duì)于一般情況為例題電橋的可靠性框圖如上圖所示，應(yīng)用最小路法求系統(tǒng)可靠度。已知X1=X2=0.8，X3=X4=0.7，X5=0.9。解：系統(tǒng)的最小路集為{X1X4}，{X2X3}{X1X3X5}與{X2X4X5}，最小路集組成的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)為將數(shù)據(jù)代入得：Rs=0.866883.2.11不交最小路法首先枚舉任意網(wǎng)絡(luò)的所有最小路集，列出系統(tǒng)工作最小路集表達(dá)式，利用概率論和布爾代數(shù)有關(guān)公式求系統(tǒng)的可靠度。例：用不交最小路法求下圖系統(tǒng)可靠度。解：用枚舉法求得4個(gè)最小路集，即列出系統(tǒng)工作的最小路集表達(dá)式并進(jìn)行不交化。x2x3x4+++系統(tǒng)的可靠度RS系統(tǒng)工作==0.8×0.7+（1-0.8）×0.8×0.7+….=0.86688練習(xí)題1.試求下圖所示可靠性框圖的系統(tǒng)可靠度。已知R1=0.8，R2=0.6，R3=0.7，R4=0.85，R5=0.9，R6=0.85，R7=0.8，R8=0.9，R9=0.85。RXR1RYRZRkRXR1RYRZRkRx=1-(1-R2)(1-R3)RY=1-(1-R4)(1-R7)RZ=R5R6RK=R8R9RXR1RYRZRkR1RXRYRZRkRYRkRLRkRM2.應(yīng)用最小路集法求系統(tǒng)可靠度。解：最小路集：{124}，{134}，{127}，{137}，

{456}，{567}，{89}3.已知A=B=0.7,C=D=0.8,E=0.9，試用全概率分解法和不交最小路法求系統(tǒng)可靠度。ACDEACDEB正常時(shí)B失效時(shí)ACEDB正常時(shí)A