流體指具有流動性的物體。流動性指的是氣體和液體內(nèi)部的各個部分容易發(fā)生相對運(yùn)動的特性。流體因此容易產(chǎn)生形變(氣體、液體)流動性是流體的最基本屬性之一，也是與固體的不同之處。應(yīng)把整個流體當(dāng)作一個連續(xù)介質(zhì)研究其整體運(yùn)動。流體運(yùn)動存在范圍——航空、水利、化工、制藥、生物體、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等許多領(lǐng)域。本章學(xué)習(xí)內(nèi)容11.1理想流體的穩(wěn)定流動11.2伯努利方程及其應(yīng)用11.4液體表面性質(zhì)第十一章

流體運(yùn)動基礎(chǔ)

任何實際流體都具有可壓縮性和黏性?？蓧嚎s性——指流體的體積隨壓強(qiáng)的不同而改變的性質(zhì)。實際的氣體，都具有可壓縮性，但由于很小的壓強(qiáng)差會使氣體迅速流動起來而使各部分密度趨于均勻而可近似看做不可壓縮。實際液體的可壓縮性很小，如水每增加1000個大氣壓，體積僅會減小5%左右，因此，液體的可壓縮性?？珊雎浴?/p>

11.1.1理想流體黏性(黏滯性)

——當(dāng)流體各層之間有相對運(yùn)動時，相鄰兩層間存在內(nèi)摩擦力的性質(zhì)。實際液體（如水和酒精）的黏性很小，氣體更小，?？珊雎责ば缘挠绊?。在一些實際問題中，流體的流動性是影響流體的主要因素，而可壓縮性和黏性是影響其運(yùn)動的次要因素，故常常采用理想流體的模型來分析問題。11.1.1理想流體所謂理想流體，就是絕對不可壓縮，完全沒有黏性的流體。穩(wěn)定流動——若流體在空間各點流速不隨時間變化，這種流動稱為穩(wěn)定流動。此時流速僅僅是坐標(biāo)的函數(shù)。

v=f（x,y,z）

在實際問題中，常遇到整個流動隨時間變化不顯著，甚至可以忽略的情況，此時可看成流體中各點的流速不隨時間變化，即穩(wěn)定流動11.1.2穩(wěn)定流動流線——為了形象描述流體的運(yùn)動，可以設(shè)想在流體空間存在一系列曲線，曲線上任意一點的切線方向都與流體通過該點時速度方向一致，這些曲線叫做流線。流線的特點1）由于任一時刻流體占據(jù)的空間只能有一個流速，故任何兩條流線不能相交。2）當(dāng)流體做穩(wěn)定流動時，流線在空間的位置和形狀保持不變，與流體粒子軌跡重合。11.1.2穩(wěn)定流動流管——在穩(wěn)定流動的流體中任意取一個由流線圍成的管狀微元，稱為流管，如圖所示。由于流線不可能相交，所以流管內(nèi)外的流體都不會穿越管壁。在流管中任意取與流線垂直的截面

S1和

S2，兩截面處流體密度分別是

ρ1和ρ2

，穿過這兩個截面的流速分別為

v1和

v2，經(jīng)過一微小時間段?t，流過兩截面的流體質(zhì)量相等，則上式對流管中的任意兩個和該流管垂直的截面都是正確的，故可以寫作這個方程稱為穩(wěn)定流動的連續(xù)性方程。流體作穩(wěn)定流動時，同一流管中任一與流管垂直的截面處的流體密度

、截面積

和流速

的乘積，表示單位時間內(nèi)通過任一截面的流體質(zhì)量，稱為質(zhì)量流量。故穩(wěn)定流動的連續(xù)性方程也稱為質(zhì)量流量守恒定律。11.1.3連續(xù)性方程若流體不可壓縮，則流體密度處處相等，連續(xù)性方程又可寫為稱為理想流體作穩(wěn)定流動的連續(xù)性方程。上式表明，不可壓縮的流體做穩(wěn)定流動時，流速與橫截面積成反比，截面積大的地方流速小，截面積小的地方流速大。Sv

表示單位時間內(nèi)通過任一截面的流體體積，稱為體積流量。故連續(xù)性方程也稱為體積流量守恒定律。11.1.3連續(xù)性方程11.2伯努利方程及其應(yīng)用

11.2.1伯努利方程11.2.2伯努利方程的應(yīng)用11.2.1伯努利方程荷蘭科學(xué)家丹尼爾?伯努利在研究流體運(yùn)動時，提出了理想流體作穩(wěn)定流動時遵循的基本方程——伯努利方程。假設(shè)理想流體在重力場中作穩(wěn)定流動，任取一小段流管，在流管中任意取與流線垂直的截面

S1和

S2，選兩截面之間的流體元S1S2

作為研究對象。流體密度為ρ，穿過這兩個截面的流速分別為v1和

v2

，壓強(qiáng)分別為P1和

P2

，距離水平參考面分別為h1和

h2。如圖所示。研究條件：穩(wěn)定流動的理想流體研究對象：流體質(zhì)元S1S2小段研究系統(tǒng)：流管+地球研究方法：功能原理11.2.1伯努利方程經(jīng)過一微小時間段

?t，截面S1流動至

，S2流動至

，?t時間足夠短以致

S1,和S2,

處的截面積、壓強(qiáng)、流速、高度等都保持不變。分析受力：流體元

S1S2在流動過程中，受兩端的大氣壓力和重力作用，在

?t時間段內(nèi),相當(dāng)于流體元

S1

流動到S2

處，根據(jù)連續(xù)性原理，兩個流體元

的質(zhì)量相等，設(shè)為

m。11.2.1伯努利方程大氣壓力P1S1

做正功，P2S2

做負(fù)功，總功為機(jī)械能增量為根據(jù)功能原理

W=?E，整理得11.2.1伯努利方程因為

S1和S2

是任取的兩個截面，所以對任一截面都滿足稱為理想流體的伯努利方程。表明理想流體作穩(wěn)定流動時，單位體積的勢能、動能及該點壓強(qiáng)之和是一恒量。11.2.1伯努利方程例11-1水在粗細(xì)不均勻的水平管中作穩(wěn)定流動，已知截面

SA的面積為100cm2，截面SB

的面積為60cm2

，PB=1.0×105Pa，流量為Q=0.12m3/s

，求兩截面的流速和截面SA的壓強(qiáng)（忽略水的可壓縮性和黏性）。解：根據(jù)連續(xù)性方程

得11.2.1伯努利方程因為在水平管中流動，h1=h2，再根據(jù)理想流體的伯努利方程可知即11.2.2伯努利方程的應(yīng)用1.流量計流量計是測量流體流量的裝置。右圖是汾丘里流量計的示意圖。在兩端粗、中間細(xì)的水平管上，粗細(xì)處分別豎直連接一根毛細(xì)管。設(shè)理想流體在管內(nèi)作穩(wěn)定流動，在水平粗、細(xì)管等高點處的截面積、壓強(qiáng)、流速分別為

SA、PA、vA和

SB、PB、vB，豎直毛細(xì)管內(nèi)液面高度差為

h。11.2.2伯努利方程的應(yīng)用將流量計水平連接到被測管路中，應(yīng)用伯努利方程得考慮到兩豎直毛細(xì)管液面高度差為

h，則再根據(jù)連續(xù)性方程可得A點的流速11.2.2伯努利方程的應(yīng)用

代入可求A點流量所以只要測出兩豎直毛細(xì)管液面的高度差h就可求出粗細(xì)管中流體的流量。2.流速計流速計是測量液體或氣體流速的裝置。右圖是一種流速計（皮托管）的基本原理圖。在橫截面積相同的管道中，有液體自左向右流動，在管道中豎起兩根毛細(xì)管1和2（通常將管1和2的組合稱為皮托管），管1為直管，下端管口截面A與流速方向平行；管2為直角彎管，彎管管口下端截面B迎著液流并與流速方向垂直，這樣液流在

B處受阻，流速。A、B等高。11.2.2伯努利方程的應(yīng)用11.2.2伯努利方程的應(yīng)用若想知道

A的流速，根據(jù)伯努利方程得而A、B兩處的壓強(qiáng)差取決于兩豎直毛細(xì)管1、2的液面高度差

，即聯(lián)立解得A處的流速習(xí)題11-3習(xí)題11-4習(xí)題11-6

作業(yè)11.4.1液體的表面張力11.4.2彎曲液面的附加壓強(qiáng)11.4.3毛細(xì)現(xiàn)象和氣體栓塞現(xiàn)象11.4液體表面性質(zhì)液體與氣體的最大區(qū)別在于其分子間距縮短，分子力作用增強(qiáng)。液體分子間的相互吸引力，稱為內(nèi)聚力，這種引力使液體具有明確的表面。11.4液體表面性質(zhì)液體和氣體的接觸面稱為表面層，液體和固體的接觸面稱為附著層，兩種不相容液體也會有分界面。這些接觸面內(nèi)的分子各個方向的物理性質(zhì)不同，表現(xiàn)為各向異性（液體內(nèi)部分子紊亂無序，表現(xiàn)為各向同性），可以觀察到一些特殊的液體表面現(xiàn)象，與液體內(nèi)部性質(zhì)完全不同。11.4.1液體的表面張力我們看到液體表面猶如張緊的彈性薄膜，并具有收縮的趨勢。常見生活現(xiàn)象根據(jù)幾何學(xué)可知，相同體積的各種形狀中，球形的表面積最小，所以，液體表面具有使其表面積收縮到最小的趨勢——就是液體表面層內(nèi)具有促使表面收縮的力，稱為表面張力。假設(shè)在液面上任意取長為

L的線段，把液面分為

A和B兩部分，則兩側(cè)液面相互拉力f=-f’就是液體的表面張力。實驗表明：表面張力的方向與分界線垂直，并與液面相切（如果液面是平面，表面張力就在平面內(nèi)；如果是曲面，表面張力就在這個曲面的切面上）表面張力大小與分界線長度成正比。即F表示作用在分界線L上的表面張力。α為液體的表面張力系數(shù)，在數(shù)值上

等于單位長度線段兩側(cè)液面相互作用

的表面張力，單位是

N/m。11.4.1液體的表面張力表面張力系數(shù)的大小與液體種類有關(guān)，并且與溫度、純度及相鄰介質(zhì)有密切關(guān)系。一般說來，同種液體，溫度越高，表面張力系數(shù)越小。當(dāng)液體摻入某種物質(zhì)時，其溶液的表面張力系數(shù)可能減小，也可能增大，使表面張力系數(shù)減小的物質(zhì)叫做表面活性物質(zhì)，反之，稱為表面非活性物質(zhì)。水的表面活性物質(zhì)常見的有膽鹽、蛋黃素、有機(jī)酸、酚醛、肥皂等。11.4.1液體的表面張力表面張力產(chǎn)生原因的微觀實質(zhì)分子間的平衡距離

r0

的數(shù)量級約為

10-10m。當(dāng)

r>r0且在

10-10—10-9m時，分子力表現(xiàn)為引力，

r>10-9m時，分子引力趨于零。所以，可以認(rèn)為分子力的有效作用范圍是以

10-9m為半徑的球面，稱為分子作用球，球半徑稱為分子作用半徑。根據(jù)分子力和分子作用半徑可以揭示液體存在表面張力的微觀實質(zhì)。

11.4.1液體的表面張力斥力>引力斥力<引力斥力=引力r<r0

r=r0r>r0r>分子作用球半徑無分子力分子作用球半徑：r=10-9m(平衡位置:r0=10-10m)從分子間的相互作用力f分析表面張力的產(chǎn)生：r在液體表面取厚度等于分子作用半徑的一層，稱為液體表面層。在液體內(nèi)部任意取分子A，在液體表面層任意取分子B和C，并分別以它們?yōu)橹行?，以分子有效作用距離為半徑做出相應(yīng)的分子作用球。

11.4.1液體的表面張力

11.4.1液體的表面張力液內(nèi)分子A受力分析：A分子受到的分子作用力的合力為零：表面層分子B和C的受力分析：處于表面層的分子受到一個垂直液面指向液體內(nèi)部的分子吸引力作用（）；宏觀上表面層表現(xiàn)為一個被拉緊的彈性薄膜。液體內(nèi)部分子若要進(jìn)入液體表面層，必須克服表面層下面的分子對它的引力做功，外力做功會增加表面層內(nèi)分子的勢能，這部分勢能稱為液體的表面能。可見，表面層內(nèi)的分子比液體內(nèi)部的分子具有更高的勢能，由于系統(tǒng)勢能有減到最低的趨勢，所以表面層的分子有往液體內(nèi)部遷移而使液體表面積縮小的趨勢。

11.4.1液體的表面張力下面從外力做功的角度考察表面張力系數(shù)與液體表面能的關(guān)系。如圖所示的U形金屬框ABCD，上面附有一層液體薄膜，金屬框的一邊

長度為

L，可自由滑動。由于表面張力作用，液膜收縮，BC邊向AD邊滑動，為使BC邊勻速向右滑動，必須施加一個與表面張力大小相等，方向相反的力

F

。

11.4.1液體的表面張力11.4.1液體的表面張力假設(shè)BC邊在外力F作用下向右移動距離

?x，所做的功為

?A=F?x，因為液膜有上下兩個面，所以外力F=2αL

，增加的液膜面積為

?S=2L?x

，增加單位液體表面積所做的功為表面張力系數(shù)在數(shù)值上等于增加單位表面積時外力所做的功。11.4.1液體的表面張力例題11-3水和油邊界表面張力系數(shù)為使質(zhì)量等于

的油在水內(nèi)散布成半徑為

的小油滴,需要做多少功？（油的質(zhì)量密度為

）解：等溫條件下，外界做功全部轉(zhuǎn)化為表面能，設(shè)?S為增加的表面積，小油滴數(shù)目為

n，大油滴的數(shù)目為N，大油滴的半徑為R.一個大油滴散布成小油滴時外界做功11.4.1液體的表面張力其中大油滴的質(zhì)量為小油滴的數(shù)目為這樣由于小油滴的數(shù)目后一項可忽略，得靜止液體的自由表面通常是平面，但在一些情況下，液面是彎曲的。例如：荷葉上的水珠、用細(xì)管吹出的肥皂泡、液體和固體接觸的液面等。液體表面相當(dāng)于一個拉緊的彈性膜，若液體表面為曲面，則表面張力有拉平液面的趨勢，從而對液體產(chǎn)生一個附加壓強(qiáng)。附加壓強(qiáng)的方向由表面張力的方向確定，大小可用液面內(nèi)外壓強(qiáng)差來表示。11.4.2彎曲液面的附加壓強(qiáng)fP0P液內(nèi)水fP0P液內(nèi)平面液面：空氣水P0P液內(nèi)P液內(nèi)=P0彎曲球面液面：凹面水P附由于表面張力F產(chǎn)生附加的壓強(qiáng)P附,所以P液內(nèi)P0凸面P附11.4.2彎曲液面的附加壓強(qiáng)1.附加壓強(qiáng)的產(chǎn)生11.4.2彎曲液面的附加壓強(qiáng)2.附加壓強(qiáng)的實驗證明用橡皮管將一開口細(xì)玻璃管A和廣口容器B相連，然后注入清水，先讓A的頂端與B中的水面在同一水平面上，這時A中的水面是平面；然后慢慢降低A管，可使A管內(nèi)水面低于B容器中的水面而又不流出來，這時A管內(nèi)的水面變成了凸面。11.4.2彎曲液面的附加壓強(qiáng)反之若慢慢升高A管，則A管中的水面變成了凹面。這一實驗說明彎曲液面存在附加壓強(qiáng)，而且凸液面內(nèi)的壓強(qiáng)大于液面外的壓強(qiáng)；凹液面內(nèi)的壓強(qiáng)小于液面外的壓強(qiáng)。RFsr=RsinO球冠底面積：表面張力的垂直分量:表面張力的水平分量相互抵消:I.外力對液膜（體積元）的拉力等于體元自身的表面張力:三力平衡，平衡時3.附加壓強(qiáng)公式推導(dǎo)（球形液面的拉普拉斯公式）:II.大氣壓力方向各異,垂直方向分力豎直向下:III.內(nèi)部液體對體積元向上的壓力:附加壓強(qiáng)凹面:凸面:P0PiPSffP0PiPSff凹面凸面結(jié)論：附加壓強(qiáng)公式對凸凹液面都適用，凸面取正號，凹面取負(fù)號11.4.2彎曲液面的附加壓強(qiáng)對外表面：對內(nèi)表面：R1R2(R1=R2=R)肥皂泡4.球形液膜的附加壓強(qiáng)：如空氣中的肥皂泡內(nèi)部壓強(qiáng)為：球形液膜內(nèi)外壓強(qiáng)差：11.4.2彎曲液面的附加壓強(qiáng)例題11-4設(shè)水的表面張力系數(shù)為0.073N/m，若液滴半徑為1cm，則附加壓強(qiáng)多大？11.4.2彎曲液面的附加壓強(qiáng)解：利用式得說明只有半徑非常小的曲面,才有較明顯的附加壓強(qiáng)。1.潤濕與不潤濕同一玻璃管裝水和水銀時，液體與容器接觸處的液面，水是凹的，水銀是凸的。一滴水和水銀滴落在水平的玻璃板上，水會附著在玻璃板上，而水銀會聚成一個球立在玻璃板上。產(chǎn)生這些現(xiàn)象的原因是什么呢？原因是液體和固體接觸的附著層內(nèi)液體分子受到的液體內(nèi)部分子的吸引力和固體分子的吸引力不相同。11.4.3毛細(xì)現(xiàn)象和氣體栓塞現(xiàn)象11.4.3毛細(xì)現(xiàn)象和氣體栓塞現(xiàn)象附著層內(nèi)液體分子的運(yùn)動主要受到兩個力影響：（1）固體分子對液體分子的吸引力稱為附著力；（2）液體分子對液體分子的吸引力稱為內(nèi)聚力。當(dāng)

f附

>f內(nèi)時，液體與固體界面有盡量擴(kuò)大的趨勢，固體上的液滴將展開成薄膜，這時液體潤濕固體。當(dāng)

f附

<f內(nèi)

時，液體與固體界面有盡量縮小的趨勢，固體上的液滴不