高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程大學數(shù)學（3）第四講矩陣的初等變換腳本編寫：彭亞新教案制作：彭亞新——線性代數(shù)第二章矩陣理論第二節(jié)矩陣的初等變換本節(jié)教學要求：▲

理解矩陣初等變換的概念?！?/p>

知道初等矩陣，了解初等矩陣與初等變換的聯(lián)系?！?/p>

能熟練地運用初等變換將矩陣化為標準形和階梯形?！?/p>

理解矩陣的秩的概念。知道初等變換不改變秩的原理。▲能熟練地計算矩陣的秩。一.矩陣的標準形、階梯形二.矩陣的秩三.矩陣的初等變換第二節(jié)矩陣的初等變換四.初等矩陣一.矩陣的標準形、階梯形1.矩陣的標準形2.階梯形矩陣二.矩陣的秩例解例解例解定理1定理2例解例解三.矩陣的初等變換高斯J.C.F.Gauss1777—1855高斯消元法反映在矩陣的運算上為:這些就是矩陣關(guān)于“行”的初等變換。對“行”施行的變換稱為“行變換”;對“列”施行的變換稱為“列變換”。

矩陣的初等變換是可逆的。定理獲證保秩性定理告訴我們，可以運用初等變換求矩陣的秩。例解如果高興,可以化為標準形。四.初等矩陣初等矩陣的類型——產(chǎn)生過程初等矩陣的類型——產(chǎn)生過程初等矩陣的類型——產(chǎn)生過程例例行左列右

高斯J.C.F.Gauss1777—1855高斯是18世紀末與19世紀初最偉大的德國數(shù)學家，他的貢獻遍及純粹數(shù)學和應(yīng)用數(shù)學的各個領(lǐng)域。高斯的名字是數(shù)學告別傳統(tǒng)數(shù)學，走向現(xiàn)代數(shù)學的時代象征?！叭绻覀儼?8世紀的數(shù)學家們想象為一系列的崇山峻嶺，那么最后一座令人肅然起敬的顛峰就是高斯?！备咚贡徽J為是歷史上出現(xiàn)的少有的神童。據(jù)傳說，高斯在三歲時就能發(fā)現(xiàn)父親作帳時的錯誤。高斯7歲入學，學習十分刻苦，常常在小油燈下演算到深夜。十歲時他的超群的數(shù)學思維能力就已顯現(xiàn)出來。在當?shù)毓舻馁Y助下，不滿15歲的高斯進入卡羅琳學院。他很快就掌握了微積分理論，并在最小二乘法和數(shù)論的二次互反律的研究中取得成果，從而開始了他的數(shù)學創(chuàng)造生涯。

1795年高斯來到哥廷根大學學習。19歲時，他解決了僅用直尺和圓規(guī)作出正17邊形的數(shù)學難題，轟動了當時的整個數(shù)學界。22歲高斯證明了當時許多數(shù)學家想證而不會證明的代數(shù)基本定理，為此他獲得了博士學位。1807年高斯在哥廷根大學擔任數(shù)學和天文學教授，并任該校天文臺臺長。高斯被認為是非歐幾何學的創(chuàng)始人之一，這是因為他是最先認識到非歐幾何可以用來描述物質(zhì)空間的數(shù)學家。高斯從15歲時（1792年）就認識到能夠存在一種邏輯幾何思想，在其中歐幾里得的平行公理不成立。1799年底，高斯開始相信歐幾里得的平行公理不能從其余的公理中推出。1813年高斯進一步發(fā)展了他的新幾何，并稱之為反歐幾里得幾何，后又稱之為星空幾何，最后才稱為非歐幾里得幾何，簡稱為非歐幾何。高斯深信非歐幾何在邏輯上是相容的，是能夠?qū)嶋H應(yīng)用的，并專門進行了實際測量。高斯生前關(guān)于非歐幾何的筆記、信件等一直沒有發(fā)表。他的“寧可少些，但要好些”的信條使他對自己的發(fā)現(xiàn)力求盡善盡美。他認為對非歐幾何的研究還未能達到這一點，所以一直不愿意發(fā)表這方面的研究成果。直到1855年高斯去世后，這些有關(guān)非歐幾何的研究的成果才被收入到高斯文集中出版，而這已是后來公認的非歐幾何創(chuàng)始人羅巴切夫斯基（俄國人，數(shù)學碩士，喀山大學的校長）和鮑耶（高斯的大學同學、密友，匈牙利人）發(fā)表研究成果30年以后的事了。高斯在數(shù)學王國里處處留芳，在數(shù)學的許多領(lǐng)域內(nèi)都有卓越的建樹：數(shù)論、超幾何級數(shù)、復變函數(shù)論、橢圓函數(shù)論、統(tǒng)計數(shù)學、向量分析、微分幾何（只是他將數(shù)學應(yīng)用于實際時的產(chǎn)物）等等。高斯花費較多的時間和精力研究數(shù)論，他認為“數(shù)學是科學之王，數(shù)論是數(shù)學之王”。他在數(shù)論方面的研究工作對數(shù)論的發(fā)展影響深遠。19世紀，德國在代數(shù)數(shù)論方面取得突飛猛進的發(fā)展，是與高斯的貢獻分不開的。高斯除了進行純粹數(shù)學研究外，還十分重視數(shù)學的應(yīng)用。他的大量的著作都與天文學、大地測量學、物理學有關(guān)。19世紀的第一個凌晨，天文學家皮亞齊發(fā)現(xiàn)了一顆無尾彗星，為了確定這一發(fā)現(xiàn)，他一連追蹤觀察了41天后因疲勞過度而病倒。當皮亞齊將觀測結(jié)果告訴其他天文學家時，這顆無尾彗星已在太空中消逝得無影無蹤。高斯（24歲）得知后，經(jīng)過幾個星期的苦心鉆研，創(chuàng)建了行星軌道計算方法，根據(jù)計算結(jié)果重新找到了這顆無尾彗星，顯示了數(shù)學的威力。高斯在電磁學、光學方面也有杰出的貢獻。高斯與韋伯共同享有電磁波發(fā)明者的殊榮。此外，磁通量密度單位就是以高斯的名字命名的。高斯是一位嚴謹?shù)目茖W家，工作刻苦、踏實，精益求精，對待研究的結(jié)果始終是十分慎重的。他生前只發(fā)表了155篇論文，還有大量的研究成果沒有發(fā)表。在清理高斯的遺物時人們發(fā)現(xiàn)，后來研究的許多數(shù)學成果是高斯早在半個世紀前就已經(jīng)研究過了。由于高斯的過于謹慎和不輕易發(fā)表研究結(jié)果，使得他對當時數(shù)學的發(fā)展沒有作出應(yīng)有的貢獻，產(chǎn)生應(yīng)有的影響。他與青年數(shù)學家缺少接觸，缺乏思想交流，在他的周圍沒有形成一個人才濟濟，思想活躍的學派。例如，他稱贊當時的青年數(shù)學家阿貝爾、狄里克雷等的工作，卻對他們的信件和文章表現(xiàn)冷淡。盡管如此，高斯仍是德國經(jīng)典數(shù)學的奠基人。德國的數(shù)學到了魏爾斯特拉斯和希爾伯特時代才形成了柏林學派和哥廷根學派，成為世界數(shù)學的中心。高斯一生勤奮好學，多才多藝，喜愛音樂和詩歌。擅長歐洲語言，懂得多個國家的語言。62歲開始學習俄語，達到能用俄文寫作的水平。晚年還在學習梵文。高斯的一生是不平凡的一生，幾乎在數(shù)學的每一個角落里都有他的足跡。后人常用他的事跡和格言來鞭策自己。一百多年來，不少有才華的青年在高斯形象的影響下成長為杰出的數(shù)學家，并為人類的文化作出了巨大的貢獻。高斯于1855年2月23日逝世，終年78歲。他的墓碑樸實無華，僅鐫刻“高斯”二字。墓地位于哥廷根附近。