PAGEPAGE1新探級(jí)數(shù)收斂的判別方法前言級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都要通過(guò)研究級(jí)數(shù)來(lái)得到解決。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們經(jīng)常會(huì)遇到有關(guān)級(jí)數(shù)的問(wèn)題，如何判別一個(gè)級(jí)數(shù)的收斂性成為了我們接下來(lái)研究的重點(diǎn)問(wèn)題。在這篇文章中，我們將探討一些新穎的方法來(lái)判別級(jí)數(shù)的收斂性。級(jí)數(shù)的定義級(jí)數(shù)是指一個(gè)由實(shí)數(shù)$a_1,a_2,\\cdots,a_n$所構(gòu)成的無(wú)窮序列，其總和為：$$\\sum_{n=1}^{\\infty}a_n=a_1+a_2+\\cdots+a_n+\\cdots$$其中，an為級(jí)數(shù)的第n項(xiàng)，n判別方法1.比值判別法對(duì)于一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}a_n$，如果$\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<1$，則該級(jí)數(shù)收斂；如果$\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\dfrac{a_{n+1}}{a_n}>1$，則該級(jí)數(shù)發(fā)散；如果$\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1$，則該方法不確定。比值判別法的證明：對(duì)于n充分大時(shí)，有$\\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<q<1$，即$a_n<qa_{n-1}<q^2a_{n-2}<\\cdots<q^{n-1}a_1$，因此級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}qa_n$收斂，所以原級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}a_n$也收斂。2.根值判別法對(duì)于一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}a_n$，如果$\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\sqrt[n]{a_n}<1$，則該級(jí)數(shù)收斂；如果$\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\sqrt[n]{a_n}>1$，則該級(jí)數(shù)發(fā)散；如果$\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\sqrt[n]{a_n}=1$，則該方法不確定。根值判別法的證明：對(duì)于n充分大時(shí)，有$\\sqrt[n]{a_n}<q<1$，即$n\\sqrt[n]{a_n}\\rightarrow0$，因此$\\sum_{n=1}^{\\infty}(n\\sqrt[n]{a_n})$收斂，所以$\\sum_{n=1}^{\\infty}a_n$收斂。如果$\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\sqrt[n]{a_n}>1$，根據(jù)極限定義可知，$\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}a_n>1$，因此級(jí)數(shù)發(fā)散。3.阿貝爾判別法對(duì)于一個(gè)級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}a_nb_n$，其中an和bn均為實(shí)數(shù)，如果bn是單調(diào)有界的，即$b_n\\geqb_{n+1}\\(n\\in\\mathbb{N^*})$且存在M>0使得$b_n\\leqM\\(n\\in\\mathbb{N^*})$，則若級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}a_n$收斂，則級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}a_nb_n$收斂；若級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}a_nb_n$收斂，阿貝爾判別法的證明：對(duì)于n>m，有$\\sum_{k=m+1}^{n}a_kb_k=(\\sum_{k=m+1}^{n-1}a_k)(b_n-b_{m+1})+a_nb_n-(a_{m+1}-a_m)b_{m+1}$?？紤]$\\sum_{k=m+1}^{n-1}a_k$，根據(jù)bn是單調(diào)有界的條件可知，序列bn-$$\\begin{aligned}&\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\sum_{k=m+1}^{n-1}a_k(b_n-b_{m+1})\\\\=&\\lim_{n\\rightarrow\\infty}(\\sum_{k=m+1}^{n-1}a_k)(b_n-b_{m+1})\\\\=&(\\sum_{k=m+1}^{\\infty}a_k)B\\end{aligned}$$因此$\\sum_{k=m+1}^{n-1}a_kb_k$收斂于$(\\sum_{k=m+1}^{\\infty}a_k)B+a_nb_n-(a_{m+1}-a_m)b_{m+1}$。證畢。新探判別法以上三種判別方法已經(jīng)足夠使用，但我們可以嘗試新的探索，以得到更簡(jiǎn)單的方式來(lái)判別級(jí)數(shù)收斂性?；舅悸穼?duì)于一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}a_n$，我們考慮研究其前n項(xiàng)之和$\\sum_{k=1}^{n}a_k$的變化趨勢(shì)。如果這種趨勢(shì)是單調(diào)增加的，且$\\sum_{k=1}^{n}a_k$有上界，則原級(jí)數(shù)收斂，否則原級(jí)數(shù)發(fā)散。具體方法我們定義$S_n=\\sum\\limits_{k=1}^{n}a_k$，假設(shè)我們通過(guò)某種方式得到了Sn的前若干項(xiàng)，現(xiàn)在我們想判斷$\\sum\\limits_{n=1}^{\\infty}a_n$的收斂性。假設(shè)Sn的前若干項(xiàng)為$\\{S_1,S_2,\\cdots,S_m\\}$，其中m<n，那么考慮增加一項(xiàng)am+1，這樣Sn的前若干項(xiàng)就變成了$\\{S_1,S_2,\\cdots,S_m,S_{m+1}\\}$。我們定義$\\Delta_{m+1}=S_{m+1}-S_m$，其中$\\Delta_{m+1}$表示增加了am+1后產(chǎn)生的變化量。如果$\\Delta_{m+1}>0$，即Sm+1>Sm，則表示Sm+1比Sm增加了一定的數(shù)量，這說(shuō)明級(jí)數(shù)$\\sum\\limits_{n=1}^{\\infty}a_n$在前m當(dāng)然，這種方法并不能保證每個(gè)級(jí)數(shù)都可以用這種方法判別，但