第3課時

函數(shù)的概念與性質(zhì)知識梳理·構(gòu)建體系專題歸納·核心突破

知識梳理·構(gòu)建體系知識網(wǎng)絡(luò)要點梳理1.什么是函數(shù)?函數(shù)的三要素是什么?如何判斷兩個函數(shù)為同一函數(shù)?提示:(1)函數(shù)的定義:一般地,設(shè)A,B是非空的實數(shù)集,如果對于集合A中的任意一個數(shù)x,按照某種確定的對應關(guān)系f,在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應,那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù),記作y=f(x),x∈A.(2)函數(shù)三要素:定義域、對應關(guān)系、值域.(3)如果兩個函數(shù)的定義域相同,并且對應關(guān)系完全一致,那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).2.函數(shù)有哪些表示法?提示:函數(shù)的表示方法有:解析法、圖象法、列表法.3.什么是增函數(shù)?什么是減函數(shù)?什么是函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間?請完成下表:4.什么是函數(shù)的最大值?什么是函數(shù)的最小值?請完成下表:5.什么是奇函數(shù)?什么是偶函數(shù)?它們的圖象各有什么特征?請完成下表:6.冪函數(shù)的定義是什么?其一般性質(zhì)如何?提示:(1)函數(shù)y=xα叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù).(2)冪函數(shù)的一般性質(zhì):①所有的冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)都有定義,圖象都過(1,1)點;②若α>0,則y=xα在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,圖象過(0,0)點;若α<0,則y=xα在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,圖象不過(0,0)點.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=a最多有2個交點.(×)(2)函數(shù)f(x)=x2-2x與g(t)=t2-2t是同一個函數(shù).(√)(3)若函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0]∪(0,+∞).(×)(4)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞).(×)(5)對于函數(shù)f(x),x∈D,若?x1,x2∈D,有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,則函數(shù)f(x)在D上是增函數(shù).(√)(6)在閉區(qū)間上單調(diào)的函數(shù),其最值一定在區(qū)間端點取到.(√)(7)函數(shù)y=x2,x∈(0,+∞)是偶函數(shù).(×)(8)偶函數(shù)的圖象不一定過原點,奇函數(shù)的圖象一定過原點.(×

)(9)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.(√)(10)若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(b,0)中心對稱.(√)(11)冪函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(1,1)和(0,0)點.(×)

專題歸納·核心突破專題整合專題一

函數(shù)的概念

反思感悟1.函數(shù)定義域的求法(1)已知函數(shù)的解析式,則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解.(2)對實際問題:由實際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解.2.求函數(shù)解析式常用的方法(1)待定系數(shù)法;(2)換元法(換元后要注意新元的取值范圍);(3)配湊法.答案:D專題二

函數(shù)的性質(zhì)及其應用

(1)求實數(shù)m和n的值;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,-1]上的最值.反思感悟函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的差異函數(shù)的奇偶性是相對于函數(shù)的定義域來說的,這一點與研究函數(shù)的單調(diào)性不同,從這個意義上說,單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì),而奇偶性是函數(shù)的“整體”性質(zhì),只有對函數(shù)的定義域內(nèi)的每一個x值,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),才能說f(x)是奇函數(shù)(或偶函數(shù)).(1)求實數(shù)m的值;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,|a|-2]上單調(diào)遞增,試確定a的取值范圍.解:(1)當x<0時,-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又因為f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x)=-x2-2x,即f(x)=x2+2x,故m=2.(2)依題意,要使函數(shù)在區(qū)間[-1,|a|-2]上單調(diào)遞增,解得-3≤a<-1或1<a≤3.因此a的取值范圍是[-3,-1)∪(1,3].專題三

函數(shù)的圖象及其應用【例3】

設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3).(1)證明f(x)是偶函數(shù);(2)畫出這個函數(shù)的圖象;(3)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,并說明在各個單調(diào)區(qū)間上f(x)是單調(diào)遞增的還是單調(diào)遞減的;(4)求函數(shù)f(x)的值域.分析:(1)由偶函數(shù)的定義證明;(2)可利用偶函數(shù)圖象的對稱性和二次函數(shù)圖象及性質(zhì)畫出函數(shù)f(x)的圖象;(3)(4)數(shù)形結(jié)合求解.(1)證明:f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x),即f(-x)=f(x),故f(x)是偶函數(shù).(2)解:當x≥0時,f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2;當x<0時,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法,可得函數(shù)圖象如圖.(3)解:函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為[-3,-1),[-1,0),[0,1),[1,3].f(x)在區(qū)間[-3,-1)和[0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間[-1,0),[1,3]上單調(diào)遞增.(4)解:當0≤x≤3時,函數(shù)f(x)=(x-1)2-2的最小值為-2,最大值為f(3)=2;當-3≤x<0時,函數(shù)f(x)=(x+1)2-2的最小值為-2,最大值為f(-3)=2.故函數(shù)f(x)的值域為[-2,2].反思感悟函數(shù)的圖象是函數(shù)的重要表示方法,它具有明顯的直觀性,通過函數(shù)的圖象能夠掌握函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性、奇偶性等.反之,掌握函數(shù)的性質(zhì),有助于正確畫出函數(shù)的圖象.【變式訓練3】

已知函數(shù)f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4)=0.(1)求實數(shù)m的值;(2)作出函數(shù)f(x)的圖象;(3)根據(jù)圖象指出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(4)根據(jù)圖象寫出不等式f(x)>0的解集;(5)求當x∈[1,5)時函數(shù)f(x)的值域.(3)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[2,4].(4)由圖象可知,f(x)>0的解集為{x|0<x<4,或x>4}.(5)因為f(5)=5>4,所以由圖象可知,函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,5)內(nèi)的值域為[0,5).高考體驗考點一

函數(shù)的概念與表示

答案:[-3,1]考點二

函數(shù)的性質(zhì)2.(2017·全國Ⅰ高考)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減,且為奇函數(shù),若f(1)=-1,則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范圍是(

)A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3]解析:因為f(x)為奇函數(shù),所以f(-1)=-f(1)=1,于是-1≤f(x-2)≤1等價于f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減,所以-1≤x-2≤1,即1≤x≤3.所以x的取值范圍是[1,3].答案:D3.(2014·全國Ⅱ高考)已知偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)單調(diào)遞減,f(2)=0,若f(x-1)>0,則x的取值范圍是

.

解析:∵f(x)是偶函數(shù),∴f(-x)=f(x)=f(|x|).∴f(x-1)>0可化為f(|x-1|)>f(2).又f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,∴|x-1|<2,解得-2<x-1<2,即-1<x<3.答案:(-1,3)4.(2018·北京高考)能說明“若f(x)>f(0)對任意的x∈(0,2]都成立,則f(x)在[0,2]上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是

.滿足f(x)>f(0),x∈(0,2].但f(x)在[0,2]上不是增函數(shù).考點三

函數(shù)的應用5.(2015·北京高考)某輛汽車每次加油都把油箱加滿,下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況.注:“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程.在這段時間內(nèi)