第第頁北師版高中數(shù)學(xué)必修第一冊3.6指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較課件（共20張PPT）(共20張PPT)

第三章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)

§6指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、

對數(shù)函數(shù)增長的比較

1.了解三種函數(shù)的增長特征；

2.初步認(rèn)識“直線上升”“指數(shù)爆炸”和“對數(shù)增長”；

3.嘗試函數(shù)模型的簡單應(yīng)用.

問題導(dǎo)學(xué)

題型探究

達(dá)標(biāo)檢測

學(xué)習(xí)目標(biāo)

知識點(diǎn)一同類函數(shù)增長特點(diǎn)

思考同樣是增函數(shù)，當(dāng)x從2變到3，y＝2x到y(tǒng)＝10x的縱坐標(biāo)增加了多少？

答案23－22＝4,103－102＝900，

即同樣是x從2變到3，y＝2x與y＝10x的縱坐標(biāo)分別增加了4和900.

一般地，當(dāng)a>1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)，且當(dāng)a越大時(shí)，其函數(shù)值的增長就越快；

當(dāng)a>1時(shí)，對數(shù)函數(shù)y＝logax是增函數(shù)，且當(dāng)a越小時(shí)，其函數(shù)值的增長就越快；

當(dāng)x>0，n>0時(shí)，冪函數(shù)y＝xn是增函數(shù)，且當(dāng)x>1時(shí)，n越大其函數(shù)值的增長就越快.

答案

問題導(dǎo)學(xué)新知探究點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)

知識點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長差異

思考當(dāng)x從1變到10，函數(shù)y＝2x，y＝x2和y＝lgx的縱坐標(biāo)增長了多少？

答案210－21＝1024－2＝1022,102－12＝99，lg10－lg1＝1.

一般地，在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)、冪函數(shù)y＝xn(n>0)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一個(gè)檔次上.隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度越來越快，會遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過冪函數(shù)y＝xn(n>0)的增長速度，而對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)的增長速度越來越慢，因此總會存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就有(a>1，n>0).

logaxg(1)，f(2)g(10)，

∴1x2.

從圖像上可以看出，

當(dāng)x1x2時(shí)，f(x)>g(x)，∴f(2013)>g(2013).

又g(2013)>g(6)，∴f(2013)>g(2013)>g(6)>f(6).

反思與感悟判斷函數(shù)的增長速度，一個(gè)是從x增加相同量時(shí)，函數(shù)值的增長量的變化；另一方面，也可從函數(shù)圖像的變化，圖像越陡，增長越快.

解析答案

跟蹤訓(xùn)練1函數(shù)f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的圖像如圖所示.

(1)試根據(jù)函數(shù)的增長差異指出曲線C1，

C2分別對應(yīng)的函數(shù)；

解C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.3x－1，

C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lgx.

(2)以兩圖像交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對f(x)，g(x)的大小進(jìn)行比較.

解當(dāng)xf(x)；

當(dāng)x1g(x)；

當(dāng)x>x2時(shí)，g(x)>f(x)；

當(dāng)x＝x1或x＝x2時(shí)，f(x)＝g(x).

解析答案

類型二函數(shù)增長模型的應(yīng)用

例2假設(shè)你有一筆資金用于出資，現(xiàn)有三種出資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：

方案一：每天回報(bào)40元；

方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；

方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番.

請問，你會選擇哪種出資方案？

反思與感悟

解設(shè)第x天所得回報(bào)是y元，則方案一可以用函數(shù)y＝40(x∈N＋)進(jìn)行描述；

方案二可以用函數(shù)y＝10x(x∈N＋)進(jìn)行描述；

方案三可以用函數(shù)y＝0.4×2x－1(x∈N＋)進(jìn)行描述.

要對三個(gè)方案作出選擇，就要對它們的增長情況進(jìn)行分析.

畫出三個(gè)函數(shù)的圖像，如圖所示，

由圖可知方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，

方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，

但方案三的函數(shù)與方案二的函數(shù)的

增長情況很不相同.

解析答案

反思與感悟

可以看到，盡管方案一、方案二在第1天所得回報(bào)分別是方案三的100倍和25倍，

但它們的增長量固定不變，而方案三是“指數(shù)增長”，

但“增長量”是成倍增加的，從第7天開始，方案三比其他兩個(gè)方案增長得快得多，這種增長速度是方案一、方案二所無法企及的.

從每天所得回報(bào)看，在第1～3天，方案一最多；

在第4天，方案一和方案二一樣多，方案三最少；

在第5～8天，方案二最多；

第9天開始，方案三比其他兩個(gè)方案所得回報(bào)多得多，

到第30天，所得回報(bào)已超過2億元.

解析答案

反思與感悟

下面再看累計(jì)的回報(bào)數(shù).列表如下：

天數(shù)回報(bào)/元姓名1234567891011

一4080120160200240280320360400440

二103060100150210280360450550660

三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8

因此，出資1～6天，應(yīng)選擇方案一；

出資8～10天，應(yīng)選擇方案二；

出資11天(含11天)以上，應(yīng)選擇方案三.

出資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；

反思與感悟

反思與感悟

直線上升反映了一次函數(shù)(一次項(xiàng)系數(shù)大于0)的增長趨勢，其增長速度不變(恒為常數(shù))；指數(shù)爆炸反映了指數(shù)函數(shù)(底數(shù)大于1)的增長趨勢，其增長速度急劇(越來越快)；對數(shù)增長反映了對數(shù)函數(shù)(底數(shù)大于1)的增長趨勢，其增長速度平緩(越來越慢).解題時(shí)，注意根據(jù)各函數(shù)的增長類型選擇合適的函數(shù)模型刻畫實(shí)際的變化規(guī)律.

跟蹤訓(xùn)練2某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元的利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且資金y(單位：萬元)隨銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但資金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)資金不超過利潤的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？

解作出函數(shù)y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的圖像(如圖).

觀察圖像發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間[10,1000]上，模型y＝0.25x，

y＝1.002x的圖像都有一部分在直線y＝5的上方，

只有模型y＝log7x＋1的圖像始終在y＝5和y＝0.25x的

下方，這說明只有按模型y＝log7x＋1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才

符合公司的要求.

解析答案

返回

1

2

3

解析答案

達(dá)標(biāo)檢測

4

1.當(dāng)x越來越大時(shí)，下列函數(shù)中，增長速度最快的應(yīng)是()

A.y＝3xB.y＝log3x

C.y＝x3D.y＝3x

解析幾種函數(shù)模型中，指數(shù)函數(shù)增長最快，故選D.

5

D

2.當(dāng)a>1時(shí)，有下列結(jié)論：

①指數(shù)函數(shù)y＝ax，當(dāng)a越大時(shí)，其函數(shù)值的增長越快；

②指數(shù)函數(shù)y＝ax，當(dāng)a越小時(shí)，其函數(shù)值的增長越快；

③對數(shù)函數(shù)y＝logax，當(dāng)a越大時(shí)，其函數(shù)值的增長越快；

④對數(shù)函數(shù)y＝logax，當(dāng)a越小時(shí)，其函數(shù)值的增長越快.

其中正確的結(jié)論是()

A.①③B.①④

C.②③D.②④

1

2

3

4

5

B

答案

解析答案

3.某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長到原來的x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖像大致是()

1

2

3

4

5

解析設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，

由題意得，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，

∴y＝f(x)的圖像大致為D中圖像.

D

解析答案

4.當(dāng)2＜x＜4時(shí)，2x，x2，log2x的大小關(guān)系是()

A.2x＞x2＞log2xB.x2＞2x＞log2x

C.2x＞log2x＞x2D.x2＞log2x＞2x

解析方法一在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)y＝log2x，y＝x2，y＝2x在區(qū)間(2,4)上從上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的圖像，

所以x2＞2x＞log2x.

方法二比較三個(gè)函數(shù)值的大小，作為選擇題，可以采用特殊值代入法.

可取x＝3，經(jīng)檢驗(yàn)易知選B.

1

2

3

4

5

B

解析答案

5.某種產(chǎn)品每件80元，每天可售出30件，如果每件定價(jià)120元，則每天可售出20件，如果售出件數(shù)是定價(jià)的一次函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)解析式為

____________________.

解析設(shè)解析式