考點48圓的方程

1.若過點(2,0)有兩條直線與圓％2+>2-2》+2丫+加+1=0相切，則實數(shù)血的取值范圍是(.)

A.(-8,-1)B.(T+8)C.(-1,0)1).(-1,1)

D

【解析】

圓的方程化為標準式為G-1/+G+1):=1一小

因為點(2,0滴兩條直線與圖(x-+(y+1尸=1-m相切

所以點(2Q充圓外

所以12-1)=+(0、IO>l-?n

解不等式組得

所以選D

2.在平面直角坐標系中，記d為點P(cosO,sinO)到直線％-my-2=0的距離，當0,m變化時，d

的最大值為

A.1B.2

C.3D.4

C

分析：P為單位圓上一點，而直線x-my-2=0過點A(2,0),則根據(jù)幾何意義得d的最大值為0A+1.

詳解：?.?cos2e+sin2?=i,...p為單位圓上一點，而直線x-my-2=0過點A(2,0),所以d的最大值

為0A+l=2+l=3,選C.

3.(》+1)2+(y-1)2=1的圓心在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

B

因為(x+1/+(y-if=1的圓心為(-1,1),所以圓心在第二象限，

選B.

4.過拋物線y2=4x的焦點F的直線交拋物線于4B兩點，分別過4B作準線的垂線，垂足分別為兩點,

以為直徑的圓C過點M(-2,3),則圓C的方程為()

A.(x+l)2+(y-2)2=2B.(x+1/+(y+l)2=17

C.(x+l)2+(y-l)2=5D.(尤+1)2+8+2)2=26

C

【解析】設(shè)AB的斜率為k,得出AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出圓的圓

心坐標和半徑，把(-2,3)代入圓方程解出k,從而得出圓的方程.

拋物線的準線方程為x=-l,焦點F(1,0).

設(shè)AB的方程為y=k(x-1),聯(lián)立方程組1-4=0,

設(shè)A(xi,yi),B(X2,yi),則yi+yz^,yiy：=-4.

yW(yx+先尸一4%)，：=4E+l.

NK

..以AB為直徑圓的圓C的圓心為(-1,9半徑為2七+1.

K7

圓C的方程為(X+D2+(y-2)2=4(TT+1).

把(-2,3)代入圓的方程得1+(3-pM(-Jr+1).解得k=2.

二圓c的方程為：(x+D2+(y-D2=5.故答案為：C

5.已知圓的方程—+丫2+20%+9=0圓心坐標為(5,0),則它的半徑為()

A.3B.依C.5D.4

D

2aJ102+02-4X98

---=5,?'?a=-5.---------------=—=4.

由題得2所以圓的半徑為22

故D

5

6.已知4-3,0),8(0,4),點C在圓。-加)2+/=1上運動，若△AEC的面積的最小值為2,則實數(shù)m的值

為

111111111111

A.5或2B.2或5c.5或2D.2或2

D

【解析】

直線AB:—+￡=1,即4x-3y+12=0

-34

若△ABC的面積最小，則點C到直線AB的距離d最矩，

?|5+一二|1

drain=513

又AABC的面積的最小值為方

.-.lx5x(^^-l)=^

即14m+12|=10

..m=--IJ4-7

故選：D

7.圓心為(2,0)的圓C與圓.+丫2+鈦-6丫+4=0相外切，則C的方程為()

A.x2+y2+4%+2=0B.x24-y2-4x+2=0

C.%2+y24-4x=0D.x2+y2-4%=0

D

圓x2+y2+4x-6y+4=0,即0+2)2+(y-3)2=9.圓心為(一2,3),半徑為3

設(shè)圓C的半徑為二

由兩圓外切知，圓心距為&2+2)2+(0-3)2=5=3+r

所以r=2.

C的方程為。-2)2+/=4,展開得尤2+丫2-軌=0

故選D.

8.已知以圓C：。-1)2+/=4的圓心為焦點的拋物線G與圓C在第一象限交于4點，B點是拋物線。2：

/=8y上任意一點，與直線y=-2垂直，垂足為M,則|BM|-|4B|的最大值為()

A.1B.2C.-1D.8

A

【解析】

因為C:(x-1)=+y==4的圓心(LO)

所以，可得以(LO)為焦點的拋物線方程為尸=4x,

由C"4'解得4(L2),

1(x-1)-4-y-=4

拋物線Q：/=8y的焦點為F(0,2),準線方程為y=-2,

即有|BM|-L4B|=\BF\-\AB\<|4F|=1,

當且僅當4&F(A在B.F之間)三點共線，可得最大值1,故選A

9.過拋物線/=鈦的焦點F的直線交拋物線于4B兩點，分別過4B作準線的垂線，垂足分別為公乃1兩點，

以為直徑的圓C過點M(-2,3),則圓C的方程為()

A.(%+i)2+(y-2)2=2B.(%+i)2+(y+l)2=i7

C.(x+l)2+(y-l)2=51).(x+l)2+(y+2)2=26

C

由拋物線的定義知以41%為直徑的圓一定過焦點?(1,0),因此可設(shè)圓心坐標為則

V(-2+l)2+(3-y)2=7(-l-l)2+(y-0)2,解得y=l,于是有￡?|=/，所以圓C的方程為

(x+l)2+(y-l)2=5.

故選C.

10.已知直線澡x-y-k+2=0與圓C:/+y2-2y_7=0相交于4曬點，則|4B|的最小值為.

2代

11.太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的和

諧美，定義：能夠?qū)A°的周長和面積同時等分成兩個部分的函數(shù)稱為圓。的一個“太極函數(shù)”，則下列有

關(guān)說法中：

①對于圓。：/+y2=1的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，都不能為偶函數(shù)；

②函數(shù)f(x)=sinx+1是圓。：,+(y-1)2=1的一個太極函數(shù)：

③直線(m+l)x-(2m+l)y-l=0所對應(yīng)的函數(shù)一定是圓。：(》-2)2+(y-I)2=R2(R>0)的太極函數(shù);

④若函數(shù)/'㈤=丘③-kx(keR)是圓0/+/=1的太極函數(shù)，貝肚G(-2,2).

所有正確的是

(2)(3)(4)

【解析】①顯然錯誤，如圖

②點(0,1)均為兩曲線的對稱中心，且fG)=sinx+1能把圓二+(y-l)==1一分為二，故正確

③直線(桁+l)x-(2?n+l)y-1=0恒過定點(21),經(jīng)過圓的圓心，滿足題意，故正確

④函數(shù)f(x)=k-—k式keR)為奇函數(shù)，

(y=kx3-kx

tx2+y2=1'

則小"―2k'x'+(1+fc2)x2-1=0

令得U-2Ht，+(1+—1=0

即(t一D(-+1)=0

??.t=lip.i*=±1

對k"，一代+1,當女=0時顯然無解，A<OBPO<k2<4時也無解

即kw(-22)時兩曲線僅有兩個交點，函數(shù)能把圓一分為二，目周長和面積均等分

若2=±2時，函數(shù)圖象與圓有四個交點,

若標>4時，函數(shù)圖象與圓有六個交點，均不能把圓一分為二

12.若圓。/+>2+2》-4'+3=0關(guān)于直線2"+"+6=0對稱，則他的最小值為.由點

P(a，b)向圓所作兩條切線，切點記為4B,當|4B|取最小值時，A4BP外接圓的半徑為.

93^/2

-4~T

【解析】分析：首先根據(jù)圓關(guān)于直線對稱，可得直線過圓心，將圓的一般方程化為標準方程，得到圓心坐

標，代入直線方程，求得a-b=3,之后將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于b的關(guān)系式，配方求得最小值，通過分析圖形的

特征，求得什么情況下是該題所要的結(jié)果，從而得到圓心到直線的距離即為外接圓的直徑，進一步求得其

半徑.

詳解:由a，+yz+2x—4y+3=。可得(x+1):+(y-2)2=2,

因為圓關(guān)于直線對稱，所以圓心(一L2)在直線2ax+by+6=0上，

即一2a+2b+6=0,化簡得a-b=3,

則有ab=b(3+&)=b2+3b=(b+：)二一:，所以有ab的最小值為一：;

根據(jù)圖形的特征，可知PC最短時，對應(yīng)的AB最小，

而PC最短時，即為C到直線x-y-3=0的距離，

即IPCImm=七*1=3V2,此時ABRC四點共圓，

VAT*

此時PC即為外接圓的直徑，所以其半徑就是手.

13.在平面直角坐標系中，經(jīng)過三點(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為.

x2+y2-2x=0

設(shè)圓的方程為f+y2+Dx+Ey+F=0,圓經(jīng)過三點(0,0),(1,1),(2,0),則：

F=0(D=-2

1+1+。+￡+/=0E=0

4+0+2D+F=0,解得："=0,則圓的方程為/+y2_2x=0.

7T37r

A=—,BC=2,M^AMC=——

14.A4BC為等腰直角三角形，2是A4BC內(nèi)的一點，且滿足4,貝的最小值為

市-1

【解析】

以A為坐標原點建立直角坐標系，由題得C(v20)，BCO.v'I),

設(shè)M(%y),因為"MC=券，所以軍三=+(y+")二=1,

?十r-.EX-1

所以點M在以(李-勺為圓心，1為半徑的圓上，且在AABC內(nèi)勖

所以|MB的最小值為］(￥-0尸+(一三一丁-1=v5-1.

故答案為：、寫-1

PA_1

15.在平面直角坐標xOy中，已知A(l,0),B(4,0),直線xy+m=0上存在唯一的點P滿足PB-5,則

實數(shù)m的取值集合是.

{-2#,2#}

1

PA14-1)2+，-.?2,2_4

___—:...…二—,x-ry——

設(shè)P(x,y),則由心一編J(*-4)2+y22,

|m|

)=2,???m=±2?

根據(jù)題意得此圓與直線Xy+m=0相切，即隹

即實數(shù)m的取值集合是{-2或,2艱}.

16.已知兩個圓G,‘2與兩坐標系都相切，且都過點(1,-2),則/也2|=.

4M

【解析】分析：先根據(jù)兩圓與坐標系都相切，確定兩圓的圓心在直線)，=-》上，再利用兩圓都過(L-2)進

行求解.

詳解：由題意，得圓G，c二的圓心在射線，=-X,X>0上，

設(shè)圓的方程為(x-?):+(),+a)2=a;.(i>0,

因為圓過點(L-2),

所以(1-a)2+(-2-a):=a2,

解得a=1或(1=5,

即G(L—1),C,(5,-5)>

則C*GI=4V2.

x2y213

C:—+—=l(a>b>0)±_

17.已知橢圓?2b2的離心率為2,且橢圓過點(1,2)

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)P是圓/+/=7上任一點，由P引橢圓兩條切線P&PB.當切線斜率

在時、求證兩條斜率的積為定值。

22

土+匕=1

(1)43;(2)定值為-1,證明見解析.

(1)根據(jù)已知列方程組解之即得橢圓的標準方程.(2)設(shè)P(*。)。)，則過點P的切線方程為

222

y-yQ=k(xfo)耳關(guān)立直線和橢圓方程得到(3+4k)x+8k(y0-fcx0)x+4(y0-fcz0)-12=0,再根

22

據(jù)△=()得到(幾二-4)k-2xoyoA+yo-3=0,再求k也=-唧得證.

(e=;=;

由題得]i+?_[a：=4,爐=3.二三+J=L所以橢圓的方程為？+J=1.

葭+正一14,43

la*=爐+c二

設(shè)P(/Jo)則過點P的切線方程為F-)o=k(x-xQ).

=

聯(lián)立F3上':二:S=(3+4k=)x+8k(y'o-kx0)x+40-0-kx0)--12=0,

因為直線和橢圓相切，

22::

??-21=64fc(y0-kxo)-4(3+4fc)[4(y0-kx0)-12]=0

=

化簡得g二-4)H-2xoyok+y0-3=0,

z::

所以的色=苦4，因為X。二+yo=7.y0=7-x0.

所以的生=期=*=-1.

所以兩條斜率的積為定值-L

18.已知圓C：x2+y2+2x-3=0.

⑴若直線1在y軸上的截距為0且不與x軸重合，與圓C交于4(孫力)妣々必)，試求直線叫

y=(―+—)x+2

xix2在x軸上的截距；

(2)若斜率為1的直線n與圓C交于D,E兩點，求使ACDE面積的最大值及此時直線n的方程.

(1)x=-3；(2)SACDE的最大值為2,直線”的方程為V=x+3或y=x-1.

2222

(1)圓C：(x+l)+y=4,設(shè)直線/：y=kx,聯(lián)立M+y2+2x-3=o,則有：(1+fc)x+2x-3=0,

故%+如=一囁7‘必不=一熹

則￡+?=詈=彳，故直線)，

X?X2X|X2，n'=0l+2

令y=0,得*=-3為直線在x軸上的截距.

(2)設(shè)直線"的方程：y=x+b,則圓心C到直線??的距離為d=.

lb

弦長|DE|=2,=-d：=2」4-也三一,則ACDE面積的為：SJCDC=：|DE|d=l4-~~'?比U

w4(/二匹正產(chǎn)+(叫4=2,(當且僅當J匚匹正=。，即b=3或-1時取“=”).

故邑8￡的最大值為2,此時直線“的方程為)，=x+3或)，=x-L

x2y2]

C:---1----l(a>b>0)_

19.已知橢圓?2b2的焦距為2c,離心率為2,圓。：,+y2=c2,4]&是橢圓的左右頂點，

4B是圓0的任意一條直徑，A44B面積的最大值為21

(1)求橢圓C及圓。的方程；

(2)若/為圓。的任意一條切線，2與橢圓后交于兩點BQ,求IPQI的取直范圍.

x2y24^/6

(1)橢圓方程為療+丁=)圓的方程為，+y2=i(2)⑶亍?

SAR=2SAACR=2—'h=a'h

⑴設(shè)B點到x軸距離為h,則AA1ABdAiOB2\1AA1O\1，易知當線段AB在y軸時,

ac2

hmax=\BO\=C>'?-SAA1AB=-=

c1

ve=-=-Aa=2c,a=2.c=l,b=3

a2v

x2y2

所以橢圓方程為43,圓的方程為-+y2=i

⑵設(shè)直線L方程為：y=kx+m,直線為圓的切線，d=-=?.=1,m2=kz+1

y=kx+m

jr>-1,得（4k：+3）*二+8kmx+-12=0

{-H-----=1

-Bkm

+X-=TT-

判別式』=48（3爐+2）>0,由韋達定理得：「:-4fc2+3

4m2-12

'X-="2+2

所以弦長IPQI=Vl+FlXi-xJzxg'戀k,令t=4M+323,

所以IPQI=、疔-卜（丁+：+3e"汩

20.如圖.，在平面直角坐標系X?！抵?，橢圓「過點5,焦點尸1（一0，0）產(chǎn)2（居°）,圓。的直徑為入尸2.

（1）求橢圓C及圓。的方程；

（2）設(shè)直線/與圓。相切于第一象限內(nèi)的點A

①若直線/與橢圓C有且只有一個公共點，求點。的坐標；

2#

②直線/與橢圓。交于4B兩點.若A04B的面積為〒，求直線/的方程.

2

X2

---FV=177

（1）4,x2+y2=3；（2）『-4r%-+3MI-

（1）因為橢圓。的焦點為&（一\區(qū)°）巴（小，0）,

x2y21

可設(shè)橢圓。的方程為Q/.又點、2在橢圓。上,

「31

孩+2=L

a24b2a2-4,

所以（。2-廬=3,,解得,2=1,

X2

---Fy2=1

因此，橢圓，的方程為4.

因為圓。的直徑為乙七，所以其方程為/+y2=3.

（2）①設(shè)直線/與圓。相切于P（xo，yo）（x（）>O.y0>0）,貝加丁+/二=3,

所以直線/的方程為），=-^（x-x）+y，即y=-j

>000>0>0

-+y==1,

由4；3,消去已得

Vyflyo

::2:

（4x0+）,0^-24xox+36-4y0=0.（*）

因為直線/與橢圓C有且只有一個公共點，

2:：;::-

所以」=（-24x0）-4（4x0+3,o）（36-4yo）=48y0（x02）=0.

因為x（）,）b>0,所以x（）=、2）'o=1?

因此，點P的坐標為（收」）.

②因為三角形OAB的面積為乎，所以:?0P=乎，從而』B=乎.

設(shè)以4，兒）,8（4，%）,

出3何一―二―、

2:

所以AB：=(xx-x;)+5—y:)

=f1+土)48貝1.萬02-3

一(短)°。y?

因為Xo'+yo==3,

所以收=信_324

=；?即2/—45x0-+100=0〉

解得"°2=2（*。2=20舍去）,則為=2,因此尸的坐標為（三'爹）

綜上，直線，的方程為y=-@+3".

①=3cos0

21.已知曲線C的參數(shù)方程為ty=2sinS(。為參數(shù))，在同一平面直角坐標系中，將曲線C上的點按坐標變

,1

X=-x

3

'=2、得到曲線Q

換

(I)求曲線C'的普通方程：

(H)若點4在曲線C'上，點B(3,0),當點4在曲線C'上運動時，求48中點P的軌跡方程.

(l)X2+/=l

(x--)2+y2=-

⑵24.

【解析】分析：(D根據(jù)坐標變換，代入變換方程，即可得到變換后的參數(shù)方程，進而轉(zhuǎn)化為普通方程。

(n)根據(jù)中點坐標公式求出P點的參數(shù)方程，代入普通方程得到中點的軌跡，再化為標準方程即可。

代入:二;得廣的參數(shù)方程城；篝,

詳解:⑴

..?曲線C'的普通方程為爐+產(chǎn)=1.

<n)設(shè)P(x,y),4(x0,y0),又B(3Q),且4B中點為P,

所以有:rm，

又點兒在曲線C上，...代入C的普通方程潟+yj=1得

(2x-3)=+(2y)==1,

...動點P的軌跡方程為(x+尸=

22.設(shè)拋物線C：V=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線1與C交于4,B兩點，|4B|=8.

(1)求/的方程；

(2)求過點4B且與C的準線相切的圓的方程.

(1)尸x-1,⑵—3)2+(y-2)2=16或(X-11-+(y+6)2=144.

【解析】

(1)由題意得/(1,0),/的方程為(D0).

設(shè)4(xi,yi),BCxi,ji).

由得"二爐―(2k，+4)x+k:=0.

:

A—16k+16=0,故A+x;=:.

所以b4B|=|^F|+|5F|=(x1+l)+(x;+l)=^.

由題設(shè)知聆=8,解得dl(舍去)，i

因此/的方程為y=x-i.

(2)由(D得4B的中點坐標為(3,2),所以.45的垂直平分線方程為

y—2=—(x—3),即y=-x+5.

設(shè)所求圓的圓心坐標為(XO,yo),則

%=-+5,J—

Mie)*0—

C°=,y--^ir+16I先=2

因此所求圓的方程為

(x—3尸+(y-2):=16或(戈—11):+(y+6):=144.

點睛：確定圓的方程方法

(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程.

(2潸定系數(shù)法

①若已知條件與圓心(a，b)和半徑「有關(guān)，則設(shè)圓的標準方程依據(jù)已知條件列出關(guān)于。力，的方程組，從而求出

a麻的值;

②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于小區(qū)廠的方程組,

進而求出D、E、尸的值.

23.已知拋物線C：-=2y的焦點為F,過拋物線上一點M作拋物線C的切線交冏］于點N.

(1)判斷AMNF的形狀；

(2)若4B兩點在拋物線C上，點。(1,1)滿足疝+應(yīng))=0,若拋物線C上存在異于4B的點E,使得經(jīng)過

4SE三點的圓與拋物線在點E處的有相同的切線，求點E的坐標.

(1)△"可?為等腰三角形.

⑵點E的坐標為(一叼)

【解析】分析：(D利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程，令戈=0,可求得N點坐標，根據(jù)拋物線的焦點半徑公式，即

可求得網(wǎng)口=|二用，貝必MNF為等腰三角形；(2)根據(jù)向蚩的坐標運算，求得B點坐標，分別求得月E及

的中垂線方程，即可求得1月BE外接圓的圓心，由匕“丁4=-1，即可求得點E的坐標.

詳解：(1)設(shè)

..X2.t

?y=w，??y=K)

則切線/的方程為y-?=xAx-A-i),即)，=…?一F，

???M。，-當,

VF(O.i),.\|MF|=^+i,|iVF|=^+i,\MF\=\NF\

所以dMNF為等腰三角形.

<2）設(shè)月（如.￥）,

???布+而=6,.?.D（L1）是AB的中點，

.?而（2-42-當，

?..見2-米.2-§電拋