3.3冪函數(shù)第三章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.通過(guò)具體實(shí)例,了解冪函數(shù)的概念,會(huì)求冪函數(shù)的解析式.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.結(jié)合冪函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=的圖象,理解它們的變化規(guī)律.(直觀想象)3.能利用冪函數(shù)的基本性質(zhì)解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)課前篇自主預(yù)習(xí)[激趣誘思]給出下列5個(gè)說(shuō)法:①如果張紅購(gòu)買了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元,這里p是w的函數(shù).②如果正方形的邊長(zhǎng)為a,那么正方形的面積S=a2,這里S是a的函數(shù).③如果正方體的棱長(zhǎng)為a,那么正方體的體積V=a3,這里V是a的函數(shù).④如果一個(gè)正方形場(chǎng)地的面積為S,那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)a=,這里a是S的函數(shù).⑤如果某人ts內(nèi)騎車行進(jìn)了1m,那么他騎車的平均速度v=t-1m/s,這里v是t的函數(shù).問(wèn)題:上述5個(gè)說(shuō)法中,若自變量都用x表示,函數(shù)值用y表示,則對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式分別是什么?[知識(shí)點(diǎn)撥]知識(shí)點(diǎn)一:冪函數(shù)的定義一般地,函數(shù)

y=xα叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù).名師點(diǎn)析

冪函數(shù)的特征(1)xα的系數(shù)為1;(2)xα的底數(shù)是自變量x,指數(shù)α為常數(shù);(3)項(xiàng)數(shù)只有一項(xiàng).符合以上三個(gè)特征的函數(shù)才是冪函數(shù).微練習(xí)在函數(shù)y=,y=3x2,y=x2+2x,y=1中,冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為

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答案

1解析

函數(shù)y==x-4為冪函數(shù);函數(shù)y=3x2中x2的系數(shù)不是1,所以它不是冪函數(shù);函數(shù)y=x2+2x不是y=xα(α∈R)的形式,所以它不是冪函數(shù);函數(shù)y=1與y=x0=1(x≠0)不是同一函數(shù),所以y=1不是冪函數(shù).知識(shí)點(diǎn)二:冪函數(shù)的性質(zhì)與圖象1.在同一平面直角坐標(biāo)系中,冪函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的圖象如下圖所示.2.冪函數(shù)的性質(zhì)

冪函數(shù)y=xy=x2y=x3y=y=x-1定義域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在R上單調(diào)遞增在[0,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,0]上單調(diào)遞減在R上單調(diào)遞增在[0,+∞)上單調(diào)遞增在(0,+∞)上單調(diào)遞減,在(-∞,0)上單調(diào)遞減公共點(diǎn)(1,1)微拓展冪函數(shù)的圖象觀察冪函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的特征:(1)當(dāng)α>0時(shí),第一象限內(nèi)的圖象是上升的,當(dāng)α<0時(shí),第一象限內(nèi)的圖象是下降的;(2)當(dāng)x>1時(shí),α值大,圖象在上方;當(dāng)0<x<1時(shí),α值大,圖象在下方.微思考冪函數(shù)的圖象一定過(guò)定點(diǎn)嗎?提示

因?yàn)闊o(wú)論α取何值y=xα,當(dāng)x=1時(shí),1α=1,因此冪函數(shù)的圖象一定過(guò)定點(diǎn)(1,1).課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一冪函數(shù)的概念例1函數(shù)f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,試確定m的值.解

根據(jù)冪函數(shù)的定義,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.當(dāng)m=3時(shí),f(x)=x2在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)m=-2時(shí),f(x)=x-3在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,不符合要求.故m=3.要點(diǎn)筆記

冪函數(shù)的判斷方法判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y=xα(α為常數(shù))的形式,即:(1)系數(shù)為1;(2)指數(shù)為常數(shù);(3)后面不加任何項(xiàng).反之,若一個(gè)函數(shù)為冪函數(shù),則該函數(shù)必具有這種形式.變式訓(xùn)練1如果冪函數(shù)

的圖象不過(guò)原點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值.解

由冪函數(shù)的定義得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;當(dāng)m=1時(shí),m2-m-2=-2,函數(shù)為y=x-2,其圖象不過(guò)原點(diǎn),滿足條件;當(dāng)m=2時(shí),m2-m-2=0,函數(shù)為y=x0,其圖象不過(guò)原點(diǎn),滿足條件.綜上所述,m=1或m=2.探究二冪函數(shù)的圖象例2已知函數(shù)y=xa,y=xb,y=xc的圖象如圖所示,則a,b,c的大小關(guān)系為(

)A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案

A解析

由冪函數(shù)的圖象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a.反思感悟

函數(shù)y=xα(α為常數(shù))的圖象特點(diǎn)(1)恒過(guò)點(diǎn)(1,1),且不過(guò)第四象限.(2)當(dāng)x∈(0,1)時(shí),指數(shù)越大,冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低”);當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),指數(shù)越大,冪函數(shù)的圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖高”).(3)由冪函數(shù)的圖象確定冪指數(shù)α與0,1的大小關(guān)系,即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于y=x-1或y=,y=x3)來(lái)判斷.(4)當(dāng)α>0時(shí),冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+∞)上都單調(diào)遞增;當(dāng)α<0時(shí),冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+∞)上都單調(diào)遞減.變式訓(xùn)練2如圖所示,曲線C1與C2分別是函數(shù)y=xm和y=xn在第一象限內(nèi)的圖象,則下列結(jié)論正確的是(

)A.n<m<0B.m<n<0C.n>m>0D.m>n>0答案

A解析

畫(huà)出直線y=x0的圖象,作出直線x=2,與三個(gè)函數(shù)圖象交于點(diǎn)(2,20),(2,2m),(2,2n).由三個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系可知,n<m<0.故選A.探究三利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小例3比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小:反思感悟

1.比較冪大小的三種常用方法

2.利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小時(shí)要注意的問(wèn)題比較大小的兩個(gè)實(shí)數(shù)必須在同一函數(shù)的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),否則無(wú)法比較大小.探究四冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例4(2021黑龍江哈爾濱高一期末)函數(shù)

是冪函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)m為(

)A.1 B.-1 C.2 D.-1或2答案

B解析

∵函數(shù)

是冪函數(shù),∴可得m2-m-1=1,解得m=-1或2.當(dāng)m=-1時(shí),函數(shù)為y=x-1在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,滿足題意,當(dāng)m=2時(shí),函數(shù)為y=x5在(0,+∞)上單調(diào)遞增,不滿足條件.故選B.要點(diǎn)筆記

冪函數(shù)y=xα在(0,+∞)上的單調(diào)性與α的關(guān)系:當(dāng)α>0時(shí),冪函數(shù)y=xα在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)α<0時(shí),冪函數(shù)y=xα在(0,+∞)上單調(diào)遞減.變式訓(xùn)練3冪函數(shù)f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且f(-x)=f(x),則m=

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答案

1解析

∵冪函數(shù)f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,∴3m-5<0,即m<,又m∈N,∴m=0,1.∵f(-x)=f(x),∴f(x)為偶函數(shù).當(dāng)m=0時(shí),f(x)=x-5是奇函數(shù);當(dāng)m=1時(shí),f(x)=x-2是偶函數(shù),故m=1.

素養(yǎng)形成數(shù)形結(jié)合法求解含冪的不等式典例

已知a2>,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.方法點(diǎn)睛

已知xm與xn的大小,求x的取值范圍時(shí),應(yīng)借助冪函數(shù)y=xm與y=xn的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解決.由圖象知,(1)當(dāng)x∈(-∞,0)∪(1,+∞)時(shí),f(x)>g(x);(2)當(dāng)x=1時(shí),f(x)=g(x);(3)當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)