第一章矢量分析第一章矢量分析主要內(nèi)容梯度、散度、旋度、亥姆霍茲定理1.標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度5.格林定理2.矢量場(chǎng)的通量與散度6.矢量場(chǎng)的惟一性定理3.矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度7.亥姆霍茲定理4.無(wú)散場(chǎng)和無(wú)旋場(chǎng)8.正交曲面坐標(biāo)系矢量場(chǎng)的散度是標(biāo)量第一章矢量分析第一章矢量分析主要內(nèi)容梯度、散度、旋度、亥姆霍茲定理1.標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度5.格林定理2.矢量場(chǎng)的通量與散度6.矢量場(chǎng)的惟一性定理3.矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度7.亥姆霍茲定理4.無(wú)散場(chǎng)和無(wú)旋場(chǎng)8.正交曲面坐標(biāo)系第一章矢量分析1.1矢量代數(shù)11.1標(biāo)量和矢量標(biāo)量與矢量標(biāo)量:只有大小,沒(méi)有方向的物理量(電壓U、電荷量Q、能量W等)矢量:既有大小,又有方向的物理量(作用力,電、磁場(chǎng)強(qiáng)度)矢量的代數(shù)表示矢量可表示為:A=1其中了FEHBDAA為模值,表征矢量的大小e為單位矢量,表征矢量的方向;矢量的幾何表示:用一條有方向的線段來(lái)表示/矢量的幾何表示說(shuō)明:矢量書(shū)寫(xiě)時(shí),印刷體為場(chǎng)量符號(hào)加粗,如D。教材上的矢量符號(hào)即采用印刷體第一章矢量分析矢量用坐標(biāo)分量表示ArrA=eateA+eAA=AcosaA=AcosA,=AcosyA=A(e,cosa+e,cosB+e,cosne,cosa+e,cosB+e,cosy第一章矢量分析1.1矢量代數(shù)11.1標(biāo)量和矢量標(biāo)量與矢量標(biāo)量:只有大小,沒(méi)有方向的物理量(電壓U、電荷量Q、能量W等)矢量:既有大小,又有方向的物理量(作用力,電、磁場(chǎng)強(qiáng)度)矢量的代數(shù)表示矢量可表示為:A=1其中了FEHBDAA為模值,表征矢量的大小e為單位矢量,表征矢量的方向;矢量的幾何表示:用一條有方向的線段來(lái)表示/矢量的幾何表示說(shuō)明:矢量書(shū)寫(xiě)時(shí),印刷體為場(chǎng)量符號(hào)加粗,如D。教材上的矢量符號(hào)即采用印刷體第一章矢量分析矢量用坐標(biāo)分量表示ArrA=eateA+eAA=AcosaA=AcosA,=AcosyA=A(e,cosa+e,cosB+e,cosne,cosa+e,cosB+e,cosy第一章矢量分析112矢量的運(yùn)算A=eA+eA+eA.b=eB+eB+eB矢量的加法和減法A±B=E(A2±B1)+2、(A±B)+(A±B)說(shuō)明1、矢量的加法符合交換律和結(jié)合律A+B=B+A(A+B)+C=A+(B2、矢量相加和相減可用平行四邊形法則求解A-BA第一章矢量分析矢量的乘法矢量與標(biāo)量相乘k=2A1+已,A,+2A=2kA標(biāo)量與矢量相乘只改變矢量大小,不改變方向。矢量的標(biāo)積(點(diǎn)積)A·B=ABcos6=AB+AB+AB說(shuō)明1、矢量的點(diǎn)積符合交換律和分配律A·B=BA·(B+C)=A·B+A·C2、兩個(gè)矢量的點(diǎn)積為標(biāo)量第一章矢量分析矢量的矢積(叉積)A×BA×B=eabsine=A.A.AABsineBbBAe,(A,B-ABy)+e,(AB-AB)+e(AB-A,B)說(shuō)明1、矢量的叉積不符合交換律,但符合分配律AxB=-B×AAx(B+C)=A×B+AxC2、兩個(gè)矢量的叉積為矢量3、矢量運(yùn)算恒等式A·(B×C)=B·(C×A)=C·(A×B)A×(BxC)=B(A·C)-C(A·B)第一章矢量分析標(biāo)量場(chǎng)(④)和矢量場(chǎng)(A)y以濃度表示的標(biāo)量場(chǎng)Φ以箭頭表示的矢量場(chǎng)A第一章矢量分析1.1標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng),稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)場(chǎng)口如果物理量是標(biāo)量,稱該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)。例如:溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。口如果物理量是矢量,稱該場(chǎng)為矢量場(chǎng)。例如:流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等?？谌绻麍?chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān),稱為靜態(tài)場(chǎng),反之為時(shí)變場(chǎng)。從數(shù)學(xué)上看,場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為:l(x,y,z)、F(x,y,z)時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為:u(x,y,1)、F(x,y,2,1)第一章矢量分析1.11標(biāo)量場(chǎng)的等值面標(biāo)量場(chǎng)空間中,由所有場(chǎng)值相等的點(diǎn)所構(gòu)成的面,即為等值面。即若標(biāo)量函數(shù)為u=l(x,y,z),則等值面方程為u(x,y,z)=c=constL-CuIC2112方向?qū)?shù)等值面族■方向?qū)?shù)定義dulimu(m)-u(o)△l→0方向?qū)?shù)表征標(biāo)量場(chǎng)空間中,某點(diǎn)處場(chǎng)值沿特定方向變化的規(guī)律。方向?qū)?shù)與選取的考察方向有關(guān)。第一章矢量分析方向?qū)?shù)的計(jì)算ducosa+=cosB+=cosy式中:、B、y分別為△與x,y,z坐標(biāo)