材料力學(xué)第6章彎曲內(nèi)力材料力學(xué)第6章彎曲內(nèi)力上一章學(xué)習(xí)了彎曲內(nèi)力——彎矩、剪力（計(jì)算內(nèi)力、畫(huà)內(nèi)力圖）目的：為解決彎曲強(qiáng)度“鋪路”

地球上的人造結(jié)構(gòu)，彎曲現(xiàn)象最常見(jiàn)，太重要了！如何解決彎曲強(qiáng)度問(wèn)題？上一章學(xué)習(xí)了彎曲內(nèi)力——彎矩、剪力為此，請(qǐng)回顧一下以往的強(qiáng)度問(wèn)題拉壓、扭轉(zhuǎn)——由應(yīng)力算強(qiáng)度（已清楚）

彎曲——應(yīng)力（不了解）

如何求出彎曲應(yīng)力？為此，請(qǐng)回顧一下以往的強(qiáng)度問(wèn)題彎曲彎矩M剪力Q？拉（壓）軸力N應(yīng)力內(nèi)力變形形式構(gòu)件扭轉(zhuǎn)扭矩T彎曲彎矩M？拉（壓）軸力N應(yīng)力內(nèi)力變形形式構(gòu)件扭轉(zhuǎn)扭矩T應(yīng)力從內(nèi)力出發(fā)，亦即

由彎曲內(nèi)力求彎曲應(yīng)力彎曲問(wèn)題的整個(gè)分析過(guò)程：彎曲內(nèi)力彎曲應(yīng)力

彎曲變形強(qiáng)度問(wèn)題剛度問(wèn)題應(yīng)力從內(nèi)力出發(fā)，亦即由彎曲內(nèi)力§6-1梁的正應(yīng)力§6-2梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件及其應(yīng)用§6-3梁的合理截面形狀及變截面梁§6-4矩形截面梁的切應(yīng)力§6-7考慮材料塑性時(shí)梁的強(qiáng)度計(jì)算§6-5工字型截面及其他形狀截面梁的切應(yīng)力§6-6梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件§6-1梁的正應(yīng)力§6-2梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件及其應(yīng)用§１.純彎曲

梁的橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力的彎曲（橫截面上只有正應(yīng)力而無(wú)剪應(yīng)力的彎曲）。剪力“Fs”——切應(yīng)力“τ”；彎矩“M”——正應(yīng)力“σ”2.橫力彎曲（剪切彎曲）aaFBAFMxFsxFaFF

梁的橫截面上既有彎矩又有剪力的彎曲（橫截面上既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力的彎曲）。一、純彎曲和橫力彎曲的概念§6-1梁的正應(yīng)力１.純彎曲剪力“Fs”——切應(yīng)力“τ”；2.橫力彎曲（剪切彎二、純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力公式（一）變形幾何關(guān)系：由純彎曲的變形規(guī)律→縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律。1、觀察實(shí)驗(yàn)：二、純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力公式（一）變形幾何關(guān)系：1、觀abcdabcdMM2、變形規(guī)律：⑴橫向線：仍為直線，只是相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度且仍與縱向線正交。⑵縱向線：由直線變?yōu)榍€，且靠近上部的纖維縮短，靠近下部的纖維伸長(zhǎng)。3、假設(shè)：（1）彎曲平面假設(shè)：梁變形前原為平面的橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于變形后的軸線，只是各橫截面繞其上的某軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。abcdabcdMM2、變形規(guī)律：⑴橫向線：仍為直線，只是凹入一側(cè)纖維縮短突出一側(cè)纖維伸長(zhǎng)

根據(jù)變形的連續(xù)性可知，梁彎曲時(shí)從其凹入一側(cè)的縱向線縮短區(qū)到其凸出一側(cè)的縱向線伸長(zhǎng)區(qū)，中間必有一層縱向無(wú)長(zhǎng)度改變的過(guò)渡層--------稱(chēng)為中性層

。中間層與橫截面的交線－－中性軸（2）縱向纖維假設(shè)：梁是由許多縱向纖維組成的，且各縱向纖維之間無(wú)擠壓。

梁的彎曲變形實(shí)際上是各截面繞各自的中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度，等高度的一層纖維的變形完全相同。凹入一側(cè)纖維縮短突出一側(cè)纖維伸長(zhǎng)根據(jù)變形的連續(xù)性可ＢAabcd4、線應(yīng)變的變化規(guī)律：dxyoo1abcdＢAabcd4、線應(yīng)變的變化規(guī)律：dxyoo1abcdＢ１A１在彈性范圍內(nèi)，（二）物理關(guān)系：由縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律→正應(yīng)力的分布規(guī)律。Ｂ１A１在彈性范圍內(nèi)，（二）物理關(guān)系：由縱向線應(yīng)變的變化應(yīng)力的分布圖：MZyσmaxσmax中性軸的位置？為梁彎曲變形后的曲率應(yīng)力的分布圖：MZyσmaxσmax中性軸的位置？為梁彎曲變yxMZ（中性軸Z軸為形心軸）（y軸為對(duì)稱(chēng)軸，自然滿足）yzAσ——彎曲變形計(jì)算的基本公式（三）、靜力方面：由橫截面上的彎矩和正應(yīng)力的關(guān)系→正應(yīng)力的計(jì)算公式。yxMZ（中性軸Z軸為形心軸）（y軸為對(duì)稱(chēng)軸，自然滿足）yz彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式。

彎矩可代入絕對(duì)值，應(yīng)力的符號(hào)由變形來(lái)判斷。當(dāng)M>0時(shí)，下拉上壓；當(dāng)M<0時(shí)，上拉下壓。梁的抗彎剛度。TzEIyxMZyzAσ將上式代入式得：——彎曲變形計(jì)算的基本公式彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式。彎矩可代入絕對(duì)值，應(yīng)力的符號(hào)由變形Wz——截面的抗彎截面系數(shù)最大正應(yīng)力的確定⑴截面關(guān)于中性軸對(duì)稱(chēng)⑵截面關(guān)于中性軸不對(duì)稱(chēng)Wz——截面的抗彎截面系數(shù)最大正應(yīng)力的確定⑴截面關(guān)于中幾種常見(jiàn)截面的IZ和WZ圓截面矩形截面空心圓截面空心矩形截面幾種常見(jiàn)截面的IZ和WZ圓截面矩形截面空心圓截面空心矩工程中常見(jiàn)的平面彎曲是橫力彎曲三、正應(yīng)力公式的推廣6-2

實(shí)驗(yàn)和彈性力學(xué)理論的研究都表明：當(dāng)跨度l與橫截面高度h之比l/h>5（細(xì)長(zhǎng)梁）時(shí)，純彎曲正應(yīng)力公式對(duì)于橫力彎曲近似成立。彎曲正應(yīng)力公式可推廣應(yīng)用于橫力彎曲和小曲率梁1m2mBA截面關(guān)于中性軸對(duì)稱(chēng)截面關(guān)于中性軸不對(duì)稱(chēng)(最大拉應(yīng)力、最大壓應(yīng)力可能發(fā)生在不同的截面內(nèi))橫力彎曲梁上的最大正應(yīng)力工程中常見(jiàn)的平面彎曲是橫力彎曲三、正應(yīng)力公式的推廣6-2FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120K1.C截面上K點(diǎn)正應(yīng)力2.C截面上最大正應(yīng)力3.全梁上最大正應(yīng)力4.已知E=200GPa，C截面的曲率半徑ρFSx90kN90kN1.求支反力（壓應(yīng)力）解：xM2.C截面上K點(diǎn)正應(yīng)力例FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1m30zyBAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1m30zy180120KFSx90kN90kN3.C截面最大正應(yīng)力C

截面彎矩xMBAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1m30zyBAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1m30zy180120KFSx90kN90kN4.全梁最大正應(yīng)力最大彎矩xMBAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1m30zyBAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1m30zy180120KFSx90kN90kN5.C截面曲率半徑ρC截面彎矩xMBAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1m30zy例：求圖示懸臂梁的最大、壓應(yīng)力。已知：№10槽鋼解：1）畫(huà)彎矩圖2）查型鋼表：3）求應(yīng)力：σcmaxσtmax例：求圖示懸臂梁的最大、壓應(yīng)力。已知：№10槽鋼解：1）畫(huà)彎§6-2梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件及其應(yīng)用§6-2梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件及其應(yīng)用一、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件利用上式可以進(jìn)行三方面的強(qiáng)度計(jì)算：①已知外力、截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，校核梁的強(qiáng)度②已知外力、截面形狀、許用應(yīng)力，設(shè)計(jì)梁的截面尺寸③已知截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，求許可載荷一、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件利用上式可以進(jìn)行三方面的強(qiáng)度計(jì)算：

例：主梁AB，跨度為l，采用加副梁CD的方法提高承載能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，則副梁的最佳長(zhǎng)度a為多少？例：主梁AB，跨度為l，采用加副梁CD的方法提高承載解：主梁AB的最大彎矩副梁CD的最大彎矩由即得解：主梁AB的最大彎矩副梁CD的最大彎矩由即得

例：圖示梁的截面為T(mén)形，材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力分別為［σt］和［σc］，則y1和y2的最佳比值為多少？（Ｃ為截面形心）例：圖示梁的截面為T(mén)形，材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力解：解：

例：圖示外伸梁，受均布載荷作用，材料的許用應(yīng)力［σ］=160MPa，校核該梁的強(qiáng)度。例：圖示外伸梁，受均布載荷作用，材料的許用應(yīng)力［σ］解：由彎矩圖可見(jiàn)該梁滿足強(qiáng)度條件，安全解：由彎矩圖可見(jiàn)該梁滿足強(qiáng)度條件，安全

例：圖示三種截面梁，材質(zhì)、截面內(nèi)Ｍmax、σmax全相同，求三梁的重量比。并指出哪種截面最經(jīng)濟(jì)。例：圖示三種截面梁，材質(zhì)、截面內(nèi)Ｍmax、σmax解：由題意可知即解：由題意可知即

例：圖示鑄鐵梁，許用拉應(yīng)力[σt]=30MPa，許用壓應(yīng)力[σc]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，試校核此梁的強(qiáng)度。例：圖示鑄鐵梁，許用拉應(yīng)力[σt]=30MPa，許用C截面：B截面：C截面：B截面：

例：簡(jiǎn)支梁受均布荷載，在其Ｃ截面的下邊緣貼一應(yīng)變片，已知材料的E=200GPa，試問(wèn)該應(yīng)變片所測(cè)得的應(yīng)變值應(yīng)為多大？CL8TU14例：簡(jiǎn)支梁受均布荷載，在其Ｃ截面的下邊緣貼一應(yīng)解：C截面下邊緣的應(yīng)力C截面的彎矩應(yīng)變值解：C截面下邊緣的應(yīng)力C截面的彎矩應(yīng)變值一、合理安排梁的受力，減小彎矩。ABF/LMmax=FL/8P/LMmax=FL/400.2L0.2L§6-3梁的合理截面形狀及變截面梁一、合理安排梁的受力，減小彎矩。ABF/LMmax=FL合理安排梁的受力，減小彎矩。FABL/2L/2Mmax=PL/4F/2Mmax=FL/8L/4L/4F/2F合理安排梁的受力，減小彎矩。FABL/2L/2Mmax=PL合理截面形狀應(yīng)該是截面面積A較小，而抗彎截面模量大的截面。二、合理安排梁的截面，提高抗彎截面模量。豎放比橫放要好。1）放置方式：合理截面形狀應(yīng)該是截面面積A較小，而抗彎截面模量大的截面。二2）抗彎截面模量/截面面積截面形狀圓形矩形槽鋼工字鋼2）抗彎截面模量/截面面積截面形狀圓形矩形槽鋼工字鋼3）根據(jù)材料特性選擇截面形狀

對(duì)于鑄鐵類(lèi)抗拉、壓能力不同的材料，最好使用T字形類(lèi)的截面，并使中性軸偏于抗變形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危險(xiǎn)截面處又上側(cè)受拉，則令中性軸靠近上端。如下圖：3）根據(jù)材料特性選擇截面形狀采用變截面梁，如右圖：[]sso=)()()(maxxWxMx三、設(shè)計(jì)等強(qiáng)度梁(變截面梁)。得：采用變截面梁，如右圖：[]sso=)()()(maxxWx等強(qiáng)度梁等強(qiáng)度梁復(fù)習(xí)彎曲正應(yīng)力中性層EIz抗彎剛度強(qiáng)度條件：曲率變化量中性軸用z表示yWz抗彎系數(shù)§6-4矩形截面梁的切應(yīng)力復(fù)習(xí)彎曲正應(yīng)力中性層EIz抗彎剛度強(qiáng)度條件：曲率變化量中性裂紋發(fā)生在枕木的中間如何解釋?zhuān)苛W(xué)模型qFS圖M圖若彎矩引起的破壞應(yīng)當(dāng)如何？剪力引起的破壞剪力的分布——切應(yīng)力裂紋發(fā)生在枕木的中間如何解釋?zhuān)苛W(xué)模型qFS圖M圖若彎矩引起5-4彎曲切應(yīng)力（剪應(yīng)力）及強(qiáng)度條件一、矩形截面梁：假設(shè)所有的都平行于yFdxdxFSMFSM+dMbhbh假設(shè)同一高度y處相等M+dMMdxdFS’yyzN2N1A*5-4彎曲切應(yīng)力（剪應(yīng)力）及強(qiáng)度條件一、矩形截面梁：假設(shè)所---矩形截面梁橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力計(jì)算公式。---橫截面上的剪力；---截面對(duì)中性軸的慣性矩；---截面的寬度；---面積對(duì)中性軸的靜矩；---過(guò)欲求應(yīng)力點(diǎn)的水平線到截面邊緣間的面積。---矩形截面梁橫截面上---橫截面上的剪力；---截面對(duì)中或：byFSzdx或：byFSzdx圓形截面梁：薄壁圓環(huán)截面：工字形截面：hmax二、其它形式截面梁：圓形截面梁：薄壁圓環(huán)截面：工字形截面：hmax二、其它形式§6-6梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件注意：對(duì)于受彎曲變形的構(gòu)件，一般采用正應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行設(shè)計(jì)，再采用剪應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核。§6-6梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件注意：對(duì)于受彎曲變形的構(gòu)件，

比較矩形截面懸