-2023學(xué)年陜西重點(diǎn)大學(xué)附中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（本大題共12小題，每小題4分，共48分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1．（4分）已知集合A＝{x|y＝，x∈Z}，B＝{y|y＝x2﹣1}，則A∩B＝（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，2] C．{﹣2，﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}2．（4分）已知復(fù)數(shù)z1＝a+i（a∈R），z2＝1﹣2i，且為純虛數(shù)，則|z1|＝（）A． B．2 C． D．3．（4分）已知兩個(gè)非零向量＝（1，x），＝（x2，4x），則“|x|＝2”是“∥”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（4分）若，且，則＝（）A． B．﹣1 C．1 D．25．（4分）已知函數(shù)y＝f（x）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式可能為（）A． B． C． D．6．（4分）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝8x+6y的取值范圍是（）A．[4，24] B．[4，30] C．（﹣16，24） D．（﹣16，24]7．（4分）如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角△ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．若AB＝4，AC＝3，在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（π≈3）（）A． B． C． D．8．（4分）已知函數(shù)，當(dāng)|f（x1）﹣f（x2）|＝2時(shí)，|x1﹣x2|的最小值為．若將函數(shù)f（x）的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，然后再將得到的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖像，則不等式的解集為（）A． B． C． D．9．（4分）已知拋物線y2＝2px（p＞0）上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為2，過點(diǎn)（0，1）的直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則焦點(diǎn)到直線l的距離為（）A．1或或2 B．1或2或 C．2或 D．2或10．（4分）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，已知某鞠的表面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，四面體ABCD的體積為，BD經(jīng)過該鞠的中心，且AB＝BC＝1，AB⊥BC，則該鞠的表面積為（）A．2π B．16π C．8π D．4π11．（4分）已知定義在R上的函數(shù)y＝f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，，若關(guān)于x的方程[f（x）]2+2af（x）+b＝0（a，b∈R）有且僅有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．12．（4分）已知數(shù)列{an}滿足a1+2a2+…+2n﹣1an＝n?2n，記數(shù)列{an﹣tn}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn≤S10對(duì)任意的n∈N*恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）13．（4分）若數(shù)列{an}滿足an＝，則a1+a2+…+a100＝．14．（4分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c．若A＝，b＝4，△ABC的面積為3，則sinB＝．15．（4分）已知函數(shù)f（x）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有f（﹣x）＝f（x），且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝ex﹣sinx，若實(shí)數(shù)a滿足f（log2a）＜f（1），則a的取值范圍是．16．（4分）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是雙曲線C在第一象限上一點(diǎn)，設(shè)I，G分別為△MF1F2的內(nèi)心和重心，若IG與y軸平行，則＝．三．解答題（本大題共5小題，共計(jì)56分.解答題應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1，a3，a2+10成等差數(shù)列，S3﹣a2＝10．（Ⅰ）求an與Sn；（Ⅱ）設(shè)bn＝log2（Sn+2）?an，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和記為Tn，求Tn．18．（10分）牛排主要分為菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，T骨牛排，某牛肉采購(gòu)商從采購(gòu)的一批牛排中隨機(jī)抽取100盒，利用牛排的分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如表：牛排種類菲力牛排肉眼牛排西冷牛排T骨牛排數(shù)量/盒20302030（1）用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從這100盒牛排中抽取10盒，再?gòu)某槿〉?0盒牛排中隨機(jī)抽取4盒，求恰好有2盒牛排是T骨牛排的概率；（2）若將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體，從這批牛排中隨機(jī)抽取3盒，若X表示抽到的菲力牛排的數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．（12分）如圖，在平面五邊形ABCDE中△ADE是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，四邊形ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AD⊥DC，BC＝1，CD＝．將△ADE沿AD折起，使得點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)M的位置，且使BM＝．（1）求證：平面MAD⊥平面ABCD；（2）設(shè)點(diǎn)P為棱CM上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，求平面PBD與平面MAD所成的二面角的正弦值．20．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2，左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)是橢圓C上一點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l過橢圓C的右焦點(diǎn)F2且與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ與直線x＝4分別交于點(diǎn)M，N．①求證：M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值；②求△AMN面積的最小值．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝xex﹣ax+2．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈（0，+∞），都有f（x）≥lnx﹣（a﹣1）x+3+a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．答案解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題4分，共48分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1．（4分）已知集合A＝{x|y＝，x∈Z}，B＝{y|y＝x2﹣1}，則A∩B＝（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，2] C．{﹣2，﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}【答案】D【分析】可求出集合A，B，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【解答】解：∵A＝{x|4﹣x2≥0，x∈Z}＝{x|﹣2≤x≤2，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{y|y≥﹣1}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故選：D．2．（4分）已知復(fù)數(shù)z1＝a+i（a∈R），z2＝1﹣2i，且為純虛數(shù)，則|z1|＝（）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)和純虛數(shù)的定義，求出a，再結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，即可求解．【解答】解：z2＝1﹣2i，則，z1＝a+i，則＝（a+i）（1+2i）＝a﹣2+（2a+1）i為純虛數(shù)，故，解得a＝2，．故選：C．3．（4分）已知兩個(gè)非零向量＝（1，x），＝（x2，4x），則“|x|＝2”是“∥”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量平行的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：非零向量a＝（1，x），b＝（x2，4x），∥?x2＝4?|x|＝2．故選：C．4．（4分）若，且，則＝（）A． B．﹣1 C．1 D．2【答案】D【分析】利用誘導(dǎo)公式可得，即，再根據(jù)商數(shù)關(guān)系化弦為切，求出tanα，再根據(jù)兩角差的正切公式即可得解．【解答】解：因?yàn)?，所以tanα＜﹣1，由，得，即，所以，即tan2α+4tanα+3＝0，解得tanα＝﹣3或tanα＝﹣1（舍），所以．故選：D．5．（4分）已知函數(shù)y＝f（x）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式可能為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)圖象的對(duì)稱性及特殊點(diǎn)逐一判斷即可得解．【解答】解：由函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱可得函數(shù)y＝f（x）為偶函數(shù)，又選項(xiàng)C對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則排除選項(xiàng)C；又f（0）＝0，顯然選項(xiàng)B不滿足題意，即排除選項(xiàng)B；又f（π）＝0，顯然選項(xiàng)A不滿足題意，即排除選項(xiàng)A；即函數(shù)f（x）的解析式可能為D．故選：D．6．（4分）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝8x+6y的取值范圍是（）A．[4，24] B．[4，30] C．（﹣16，24） D．（﹣16，24]【答案】D【分析】可作出可行域，由z＝8x+6y得出，從而直線在y軸上的截距最大時(shí)，z取最大，截距最小時(shí)，z取最小，從而得出z的范圍．【解答】解：作出可行域，如圖△ABC內(nèi)部（含線段BC不包含頂點(diǎn)的部分），作直線l：8x+6y＝0，由z＝8x+6y得，，是直線的縱截距，因此直線向上平移時(shí)，z增大，直線l與BC平行，所以平移直線l，當(dāng)它與直線BC重合時(shí)，z＝8x+6y取得最大值，此時(shí)，z＝24，若直線過點(diǎn)A，z＝﹣2×8+6×0＝﹣16，所以目標(biāo)函數(shù)的值域?yàn)椋ī?6，24]．故選：D．7．（4分）如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角△ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．若AB＝4，AC＝3，在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（π≈3）（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合圓的面積公式，依次算出總面積，以及陰影面積，再結(jié)合幾何概型的概率公式，即可求解．【解答】解：AB＝4，AC＝3，△ABC為直角三角形，則BC2＝AC2+AB2＝25，以AB為直徑的圓的面積為，以BC為直徑的圓的面積為，以AC為直徑的圓的面積為，所以圖形總面積S＝＝，陰影部分面積為，故此點(diǎn)取自陰影部分的概率為：．故選：D．8．（4分）已知函數(shù)，當(dāng)|f（x1）﹣f（x2）|＝2時(shí)，|x1﹣x2|的最小值為．若將函數(shù)f（x）的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，然后再將得到的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖像，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由條件可得ω＝2，再由圖像變化可得g（x）解析式，即可得到結(jié)果．【解答】解：因?yàn)?，f（x）min＝﹣1，f（x）max＝1，當(dāng)|f（x1）﹣f（x2）|＝2時(shí)，則f（x1），f（x2）一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值，且|x1﹣x2|的最小值為，即，所以，即，將函數(shù)f（x）的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，則，然后再將得到的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則g（x）＝sinx，所以，即，解得，即解集為．故選：D．9．（4分）已知拋物線y2＝2px（p＞0）上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為2，過點(diǎn)（0，1）的直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則焦點(diǎn)到直線l的距離為（）A．1或或2 B．1或2或 C．2或 D．2或【答案】B【分析】利用拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最小，求出p，再分類討論求出切線方程，即可得出結(jié)論．【解答】解：因?yàn)閽佄锞€y2＝2px（p＞0）上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為2，所以＝2，所以y2＝8x．①設(shè)直線l的斜率等于k，則當(dāng)k＝0時(shí)，直線l的方程為y＝1，滿足直線與拋物線y2＝8x僅有一個(gè)公共點(diǎn)，焦點(diǎn)到直線l的距離為1當(dāng)k≠0時(shí)，直線l是拋物線的切線，設(shè)直線l的方程為y＝kx+1，代入拋物線的方程可得：k2x2+（2k﹣8）x+1＝0，根據(jù)判別式等于0，求得k＝2，故切線方程為y＝2x+1．焦點(diǎn)到直線l的距離為②當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝0，經(jīng)過檢驗(yàn)可得此時(shí)直線也與拋物線y2＝8x相切．焦點(diǎn)到直線l的距離為2，故選：B．10．（4分）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，已知某鞠的表面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，四面體ABCD的體積為，BD經(jīng)過該鞠的中心，且AB＝BC＝1，AB⊥BC，則該鞠的表面積為（）A．2π B．16π C．8π D．4π【答案】D【分析】取AC中點(diǎn)M，連接BM、OM，DN，易得AC為圓面ABC的直徑，OM⊥平面ABC，進(jìn)而得到DN⊥平面ABC，然后根據(jù)四面體ABCD的體積為，可求外接球半徑并求表面積．【解答】解：如圖，取AC的中點(diǎn)M，連接BM與球O交于另一點(diǎn)N，連接OM，DN，易知AC為圓面ABC的直徑，OM⊥平面ABC，因?yàn)镺，M分別為BD，BN的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥DN，所以DN⊥平面ABC，∵，∴，即，在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，∴，∴BO＝R＝1，∴球O的表面積為S＝4πR2＝4π．故選：D．11．（4分）已知定義在R上的函數(shù)y＝f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，，若關(guān)于x的方程[f（x）]2+2af（x）+b＝0（a，b∈R）有且僅有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】確定函數(shù)f（x）的大致圖象，令f（x）＝t，則關(guān)于x的方程[f（x）]2+2af（x）+b＝0（a，b∈R）即可寫成t2+2at+b＝0，結(jié)合圖象分析二次方程的根的取值范圍使其滿足方程有6個(gè)不同的根，即可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：由題意可知，函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：根據(jù)函數(shù)圖像，函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣1），（0，1）上單調(diào)遞增，在（﹣1，0），（1，+∞）上單調(diào)遞減；故x＝±1時(shí)取最大值2，在x＝0時(shí)取最小值0，是該圖像的漸近線．令f（x）＝t，則關(guān)于x的方程[f（x）]2+2af（x）+b＝0（a，b∈R）即可寫成t2+2at+b＝0，此時(shí)關(guān)于t的方程應(yīng)該有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)t1，t2為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，顯然，有以下兩種情況符合題意：①當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則；②當(dāng)t1＝2，時(shí)，此時(shí)，則；綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：C．12．（4分）已知數(shù)列{an}滿足a1+2a2+…+2n﹣1an＝n?2n，記數(shù)列{an﹣tn}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn≤S10對(duì)任意的n∈N*恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用退一作差法求得an，求得Sn的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得t的取值范圍．【解答】解：由①，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，②，①﹣②可得an＝n+1（n≥2），又a1也符合上式，∴an＝n+1，令bn＝an﹣tn＝n+1﹣tn＝（1﹣t）n+1，∴bn+1﹣bn＝（1﹣t）（n+1）+1﹣[（1﹣t）n+1]＝1﹣t為常數(shù)，∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，首項(xiàng)b1＝2﹣t，∴，其對(duì)稱軸為，∵Sn≤S10對(duì)任意的n∈N*恒成立，∴，解得，∴t的取值范圍是．故選：A．二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）13．（4分）若數(shù)列{an}滿足an＝，則a1+a2+…+a100＝5000．【答案】5000．【分析】討論n為奇數(shù)和偶數(shù)，運(yùn)用數(shù)列的分組求和，以及等差數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求和．【解答】解：數(shù)列{an}滿足an＝，則a1+a2+…+a99+a100＝（0+2+4+…+98）+（2+4+6+…+100）＝×50×（0+98）+×50×（2+100）＝50×49+50×51＝5000．故答案為：5000．14．（4分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c．若A＝，b＝4，△ABC的面積為3，則sinB＝．【答案】．【分析】由題意利用三角形的面積公式可求c的值，利用余弦定理可求a的值，進(jìn)而根據(jù)正弦定理可求sinB的值．【解答】解：因?yàn)镾＝bcsinA＝c＝3，所以c＝3，所以由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝13，解得a＝，又由正弦定理可得：，所以sinB＝＝＝．故答案為：．15．（4分）已知函數(shù)f（x）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有f（﹣x）＝f（x），且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝ex﹣sinx，若實(shí)數(shù)a滿足f（log2a）＜f（1），則a的取值范圍是（，2）．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵任意實(shí)數(shù)x都有f（﹣x）＝f（x），∴f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝ex﹣sinx，即f′（x）＝ex﹣cosx＞0，即f（x）為增函數(shù)，則f（log2a）＜f（1），等價(jià)為f（|log2a|）＜f（1），即|log2a|＜1，即﹣1＜log2a＜1，得＜a＜2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（，2），故答案為：（，2）16．（4分）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是雙曲線C在第一象限上一點(diǎn)，設(shè)I，G分別為△MF1F2的內(nèi)心和重心，若IG與y軸平行，則＝68．【答案】68．【分析】由題意，結(jié)合圖形，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)和雙曲線的定義可得，進(jìn)而求得，則xI＝xG，由重心的定義有，求出x0，求得，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可求解．【解答】解：由題意知，如圖，⊙I為△MF1F2的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為A、B、C，設(shè)M（x0，y0），則|F1C|＝|F1A|，|MC|＝|MB|，|F2A|＝|F2B|，由雙曲線的定義知，|MF1|﹣|MF2|＝2a，即，又|F1A|+|F2A|＝2c＝6，所以，得，即，又△MF1F2的重心G與內(nèi)心I的連線平行于y軸，即IG⊥x軸于點(diǎn)A，所以xI＝xG，因?yàn)?，所以，代入雙曲線方程，得，解得，即，又F1（﹣3，0），F(xiàn)2（3，0），所以，所以．故答案為：68．三．解答題（本大題共5小題，共計(jì)56分.解答題應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1，a3，a2+10成等差數(shù)列，S3﹣a2＝10．（Ⅰ）求an與Sn；（Ⅱ）設(shè)bn＝log2（Sn+2）?an，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和記為Tn，求Tn．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式和等差中項(xiàng)列出方程組，求出a1，q的值，即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出bn，再利用錯(cuò)位相減法即可求解．【解答】【名師指導(dǎo)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查運(yùn)算求解能力及推理論證能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng)．解：（Ⅰ）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q（q＞0），由，解得a1＝q＝2，所以，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，①，②①﹣②得＝＝﹣n?2n+1，所以．18．（10分）牛排主要分為菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，T骨牛排，某牛肉采購(gòu)商從采購(gòu)的一批牛排中隨機(jī)抽取100盒，利用牛排的分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如表：牛排種類菲力牛排肉眼牛排西冷牛排T骨牛排數(shù)量/盒20302030（1）用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從這100盒牛排中抽取10盒，再?gòu)某槿〉?0盒牛排中隨機(jī)抽取4盒，求恰好有2盒牛排是T骨牛排的概率；（2）若將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體，從這批牛排中隨機(jī)抽取3盒，若X表示抽到的菲力牛排的數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為．【分析】（1）先根據(jù)分層抽樣分別求出T骨牛排和非T骨牛排的和數(shù)，再利用古典概型求解即可；（2）先求出從這批牛排中隨機(jī)抽取1盒，抽到菲力牛排的概率，由題意可得X服從二項(xiàng)分布，再根據(jù)二項(xiàng)分布的分布列及期望公式求解即可．【解答】解：（1）用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從這100盒牛排中抽取10盒，其中T骨牛排有3盒，非T骨牛排有7盒，再?gòu)闹须S機(jī)抽取4盒，設(shè)恰好有2盒牛排是T骨牛排為事件A，則；（2）這100盒牛排中菲力牛排有20盒，所以菲力牛排的頻率為，設(shè)從這批牛排中隨機(jī)抽取1盒，抽到菲力牛排的事件為B，將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體可得，從這批牛排中隨機(jī)抽取3盒，抽到的菲力牛排的數(shù)量X滿足，又，．所以X的分布列為：X0123P所以．19．（12分）如圖，在平面五邊形ABCDE中△ADE是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，四邊形ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AD⊥DC，BC＝1，CD＝．將△ADE沿AD折起，使得點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)M的位置，且使BM＝．（1）求證：平面MAD⊥平面ABCD；（2）設(shè)點(diǎn)P為棱CM上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，求平面PBD與平面MAD所成的二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）正弦值為．【分析】（1）取AD的中點(diǎn)N，連接MN，BN．通過證明BN⊥AD，BN⊥MN，得BN⊥平面MAD．再根據(jù)面面垂直的判定可得平面MAD⊥平面ABCD；（2）以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線NA為x軸、NB為y軸、NM為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，利用法向量求出二面角的余弦值，再根據(jù)同角公式求出其正弦值．【解答】解：（1）如圖，取AD的中點(diǎn)N，連接MN，BN．∵△MAD是等邊三角形，所以MN⊥AD，且，在直角梯形ABCD中，因?yàn)镈N＝BC＝1，DN∥BC，AD⊥DC，∴四邊形BCDN是矩形，所以BN⊥AD，且，∴BN2+MN2＝6＝BM2，即BN⊥MN，又∵AD∩MN＝N，AD?平面MAD．MN?平面MAD，∴BN⊥平面MAD．∵BN?平面ABCD，∴平面MAD⊥平面ABCD．（2）由（1）知NA，NB，NM兩兩互相垂直，以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線NA為x軸、NB為y軸、NM為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，，由P是棱CM的靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)得，，∵平面MAD的一個(gè)法向量為，設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為，則，即，令y＝1，則，故平面BDP的一個(gè)法向量為，設(shè)平面MAD與平面PBD所成的二面角的平面角為θ，則，∴，∴平面MAD與平面PBD所成的二面角的正弦值為．20．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2，左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)是橢圓C上一點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l過橢圓C的右焦點(diǎn)F2且與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ與直線x＝4分別交于點(diǎn)M，N．①求證：M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值；②求△AMN面積的最小值．【答案】（1）+＝1．（2）①證明見解答．②△AMN面積的最小值為18．【分析】（1）由點(diǎn)是橢圓C上一點(diǎn)，焦距為2，列方程組，解得a，b，進(jìn)而得出答案．（2）①設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），直線l的方程為x＝my+1，聯(lián)立橢圓的方程，解得韋達(dá)定理可得y1+y2，y1y2，寫出直線AP的方程，令x＝4，解得yM＝，