工程力學(xué)能量方法1第1頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月§13.1

概述§13.2桿件應(yīng)變能的計(jì)算§13.3應(yīng)變能的普遍表達(dá)式§13.4互等定理§13.5卡氏定理§13.6虛功原理§13.7單位載荷法莫爾積分§13.8計(jì)算莫爾積分的圖乘法能量方法第十三章能量方法2第2頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月§13.2桿件應(yīng)變能的計(jì)算一、能量原理：二、桿件變形能的計(jì)算：1.軸向拉壓桿的變形能計(jì)算：能量方法彈性體內(nèi)部所貯存的變形能，在數(shù)值上等于外力所作的功，即利用這種功能關(guān)系分析計(jì)算可變形固體的位移、變形和內(nèi)力的方法稱為能量方法。3第3頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月2.扭轉(zhuǎn)桿的變形能計(jì)算：3.彎曲桿的變形能計(jì)算：能量方法4第4頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月變形能與加載次序無關(guān)；相互獨(dú)立的力（矢）引起的變形能可以相互疊加。細(xì)長桿，剪力引起的變形能可忽略不計(jì)。能量方法§13.3應(yīng)變能的普遍表達(dá)式5第5頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月MN

[例1]圖示半圓形等截面曲桿位于水平面內(nèi)，在A點(diǎn)受鉛垂力P的作用，求A點(diǎn)的垂直位移。解：用能量法（外力功等于應(yīng)變能）①求內(nèi)力能量方法APROQMTAAPNBjTO6第6頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月③外力功等于應(yīng)變能②變形能：能量方法7第7頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月[例2]用能量法求C點(diǎn)的撓度。梁為等截面直梁。解：外力功等于應(yīng)變能應(yīng)用對稱性，得：思考：分布荷載時，可否用此法求C點(diǎn)位移？能量方法qCaaAPBf8第8頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月§13.4互等定理求任意點(diǎn)A的位移fA。一、定理的證明：能量方法aA圖fAq(x)圖c

A0P=1q(x)fA圖b

A=1P09第9頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月

莫爾定理(單位力法)二、普遍形式的莫爾定理能量方法10第10頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月三、使用莫爾定理的注意事項(xiàng)：④M0(x)與M(x)的坐標(biāo)系必須一致，每段桿的坐標(biāo)系可自由建立。⑤莫爾積分必須遍及整個結(jié)構(gòu)。②M0——去掉主動力，在所求廣義位移點(diǎn)，沿所求廣義位移的方向加廣義單位力時，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的內(nèi)力。①M(fèi)(x)：結(jié)構(gòu)在原載荷下的內(nèi)力。③所加廣義單位力與所求廣義位移之積，必須為功的量綱。能量方法11第11頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月[例3]用能量法求C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角。梁為等截面直梁。解：①畫單位載荷圖②求內(nèi)力能量方法BAaaCqBAaaC0P=1x12第12頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月③變形能量方法BAaaC0P=1BAaaCqx()13第13頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月④求轉(zhuǎn)角，重建坐標(biāo)系（如圖）

能量方法qBAaaCx2x1BAaaCMC0=1

d)()(

)()()(00)(00òò+=aBCaABxEIxMxMdxEIxMxM=014第14頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月[例4]拐桿如圖，A處為一軸承，允許桿在軸承內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，但不能上下移動，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B點(diǎn)的垂直位移。解：①畫單位載荷圖②求內(nèi)力能量方法510

20A300P=60NBx500Cx1510

20A300Bx500C=1P015第15頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月③變形能量方法()16第16頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月§13.5卡氏定理給Pn

以增量dPn

，則：1.先給物體加P1、

P2、???、

Pn

個力，則：2.先給物體加力dPn

，則：一、定理證明

能量方法dn17第17頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月再給物體加P1、

P2、???、Pn個力，則：

能量方法dnn=nPU??d第二卡氏定理意大利工程師—阿爾伯托·卡斯提安諾(AlbertoCastigliano，1847～1884)18第18頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月二、使用卡氏定理的注意事項(xiàng)：①U——整體結(jié)構(gòu)在外載作用下的線彈性變形能②

Pn視為變量，結(jié)構(gòu)反力和變形能等都必須表示為Pn的函數(shù)③n為Pn

作用點(diǎn)的沿Pn

方向的變形。④當(dāng)無與n對應(yīng)的Pn

時，先加一沿n

方向的Pn

，求偏導(dǎo)后，再令其為零。能量方法dn19第19頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月三、特殊結(jié)構(gòu)（桿）的卡氏定理：能量方法20第20頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月[例5]結(jié)構(gòu)如圖，用卡氏定理求A

面的撓度和轉(zhuǎn)角。③變形①求內(nèi)力解：求撓度，建坐標(biāo)系②將內(nèi)力對PA求偏導(dǎo)能量方法ALPEIxO

()21第21頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月求轉(zhuǎn)角

A①求內(nèi)力沒有與A向相對應(yīng)的力（廣義力），加之。“負(fù)號”說明

A與所加廣義力MA反向。()②將內(nèi)力對MA求偏導(dǎo)后，令M

A=0③

求變形（注意：MA=0）能量方法LxO

APMA22第22頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月[例6]結(jié)構(gòu)如圖，用卡氏定理求梁的撓曲線。解：求撓曲線——任意點(diǎn)的撓度f（x）①求內(nèi)力②將內(nèi)力對Px求偏導(dǎo)后，令Px=0沒有與f（x）相對應(yīng)的力，加之。能量方法PALxBPx

CfxOx123第23頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月③變形（注意：Px=0）能量方法24第24頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月[例7]等截面梁如圖，用卡氏定理求B

點(diǎn)的撓度。②求內(nèi)力解：1.依求多余反力，③將內(nèi)力對RC求偏導(dǎo)①取靜定基如圖能量方法PCAL0.5LBfxOPCAL0.5LBRC25第25頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月④變形能量方法26第26頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月2.求②將內(nèi)力對P求偏導(dǎo)①求內(nèi)力能量方法27第27頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月③變形能量方法()28第28頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月③變形解：①畫單位載荷圖②求內(nèi)力[例8

]結(jié)構(gòu)如圖，求A、B兩面的拉開距離。PPAB能量方法1129第29頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月

一、抗拉（壓）剛度為EI的等直桿，受力如圖，其變形能是否為：

二、試述如何用卡氏定理求圖示梁自由端的撓度。三、剛架受力如圖，已知EI為常數(shù)，試用莫爾定理求A、B兩點(diǎn)間的相對位移（忽略CD段的拉伸變形）能量方法練習(xí)題30第30頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月解：

能量方法