指點(diǎn)迷津(九)求曲線(xiàn)軌跡方程的方法第九章求曲線(xiàn)軌跡方程的方法解析幾何的基本思想有兩個(gè)要點(diǎn):第一,在平面建立坐標(biāo)系;第二,曲線(xiàn)用帶兩個(gè)變量的代數(shù)方程表示.所以求曲線(xiàn)的方程是解析幾何的一個(gè)重點(diǎn),曲線(xiàn)方程求出來(lái)了,不僅可以運(yùn)用坐標(biāo)法把幾何問(wèn)題通過(guò)代數(shù)的方法解決,而且還把變量、函數(shù)以及數(shù)和形等重要概念密切聯(lián)系了起來(lái).一、定義法如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線(xiàn)(如圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn))的定義,則可先設(shè)出軌跡方程,再根據(jù)已知條件,確定方程中的常數(shù),即可得到軌跡方程.例1.已知△ABC的頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-4,0),(4,0),C為動(dòng)點(diǎn),且滿(mǎn)足sinA+sinB=sinC,求點(diǎn)C的軌跡方程.例2.一動(dòng)圓與圓x2+y2+6x+5=0外切,同時(shí)與圓x2+y2-6x-91=0內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.解:設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x,y),半徑為R,設(shè)已知圓的圓心分別為O1,O2,將兩個(gè)已知圓的方程分別化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x+3)2+y2=4,(x-3)2+y2=100,當(dāng)圓M與圓O1外切時(shí),有|O1M|=R+2,①當(dāng)圓M與圓O2內(nèi)切時(shí),有|O2M|=10-R,②將①②兩式的兩邊分別相加,得|O1M|+|O2M|=12,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知圓(x+4)2+y2=25的圓心為M1,圓(x-4)2+y2=1的圓心為M2,一動(dòng)圓與這兩個(gè)圓外切,求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程.解:設(shè)動(dòng)圓的半徑為R,由兩圓外切的條件可得|PM1|=R+5,|PM2|=R+1.∴|PM1|-5=|PM2|-1,|PM1|-|PM2|=4.∴動(dòng)圓圓心P的軌跡是以M1,M2為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支,c=4,a=2,b2=12.二、直譯法如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線(xiàn)的定義難以判斷,但點(diǎn)P滿(mǎn)足的等量關(guān)系易于建立,則可以先表示出點(diǎn)P所滿(mǎn)足的幾何上的等量關(guān)系,再用點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)表示該等量關(guān)系式,即可得到軌跡方程.例3.一條線(xiàn)段AB的長(zhǎng)等于2a,兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng),求AB中點(diǎn)M的軌跡方程.例4.已知點(diǎn)A(-2,0),B(3,0).動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿(mǎn)足

=x2,則點(diǎn)P的軌跡為(

)A.圓

B.橢圓C.雙曲線(xiàn) D.拋物線(xiàn)答案:D

由條件,x2-x-6+y2=x2,整理得y2=x+6,此即點(diǎn)P的軌跡方程,∴點(diǎn)P的軌跡為拋物線(xiàn),故選D.三、參數(shù)法如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效,則可尋求引發(fā)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的某個(gè)幾何量t,以此量作為參變數(shù),分別建立P點(diǎn)坐標(biāo)x,y與該參數(shù)t的函數(shù)關(guān)系x=f(t),y=g(t),進(jìn)而通過(guò)消參化為軌跡的普通方程F(x,y)=0.例5.過(guò)點(diǎn)P(2,4)作兩條互相垂直的直線(xiàn)l1,l2,若l1交x軸于A點(diǎn),l2交y軸于B點(diǎn),求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.另外,當(dāng)直線(xiàn)l1的斜率不存在時(shí),AB的中點(diǎn)為M(1,2),也滿(mǎn)足上述軌跡方程.綜上所述,M的軌跡方程為x+2y-5=0.解法2:設(shè)M(x,y),連接MP(圖略),則A(2x,0),B(0,2y),∵l1⊥l2,∴△PAB為直角三角形.此即點(diǎn)M的軌跡方程.

解法3:設(shè)M(x,y),∵M(jìn)為AB的中點(diǎn),∴A(2x,0),B(0,2y).又l1,l2過(guò)點(diǎn)P(2,4),且l1⊥l2,∴PA⊥PB,從而kPA·kPB=-1,化簡(jiǎn),得x+2y-5=0.注意到l1⊥x軸時(shí),l2⊥y軸,此時(shí)A(2,0),B(0,4),中點(diǎn)M(1,2),經(jīng)檢驗(yàn),它也滿(mǎn)足方程x+2y-5=0.綜上可知,點(diǎn)M的軌跡方程為x+2y-5=0.例6.過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的頂點(diǎn)O作兩條互相垂直的弦OA,OB,求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3過(guò)圓O:x2+y2=4外一點(diǎn)A(4,0),作圓的割線(xiàn),求割線(xiàn)被圓截得的弦BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.解:設(shè)點(diǎn)M(x,y),B(x1,y1),C(x2,y2),直線(xiàn)AB的方程為y=k(x-4),由直線(xiàn)與圓的方程得(1+k2)x2-8k2x+16k2-4=0,(*)由方程①②消去k得(x-2)2+y2=4(x≠0),當(dāng)k=0時(shí),易知M(0,0),也滿(mǎn)足(x-2)2+y2=4.又由方程(*)的Δ>0,得0≤k2<

,所以0≤x<1.所以點(diǎn)M的軌跡方程為(x-2)2+y2=4(0≤x<1).四、代入法(相關(guān)點(diǎn)法)如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的,而點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知(該點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足某已知曲線(xiàn)方程),則可以設(shè)出P(x,y),用x,y表示出相關(guān)點(diǎn)P'的坐標(biāo),然后把P'的坐標(biāo)代入已知曲線(xiàn)方程,即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.例7.如圖所示,已知P(4,0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn),A,B是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿(mǎn)足∠APB=90°,求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.解:設(shè)AB的中點(diǎn)為R,坐標(biāo)為(x,y),則在Rt△ABP中,|AR|=|PR|.又R是弦AB的中點(diǎn),則在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2).所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2),即x2+y2-4x-10=0.因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上,而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng).設(shè)Q(x,y),R(x1,y1),因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn),整理得x2+y2=56,這就是所求的點(diǎn)Q的軌跡方程.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4已知拋物線(xiàn)y2=x+1,定點(diǎn)A(3,1),B為拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn),點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上,且有BP∶PA=1∶2,當(dāng)點(diǎn)B在拋物線(xiàn)上變動(dòng)時(shí),求點(diǎn)P的軌跡方程.五、交軌法在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí),有時(shí)會(huì)出現(xiàn)要求兩動(dòng)曲線(xiàn)交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題,這種問(wèn)題通常通過(guò)解方程組得出交點(diǎn)(含參數(shù))的坐標(biāo),再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程(若能直接消去兩方程的參數(shù),也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程),該法經(jīng)常與參數(shù)法并用.例8.過(guò)拋物線(xiàn)y2=4px(p>0)的頂點(diǎn)作互相垂直的兩弦OA,OB,求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)O在直線(xiàn)AB上的射影M的軌跡方程.即(yA+yB)y-4px-yAyB=0,把yAyB=-16p2代入,得直線(xiàn)AB的方程為(yA+yB)y-4px+16p2=0,①由①②消去yA+yB,得x2+y2-4px=0.當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí),易得M(4p,0),滿(mǎn)足x2+y2-4px=0,所以點(diǎn)M的軌跡方程是x2+y2-4px=0.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5已知MN是橢圓(a>b>0)中垂直于長(zhǎng)軸的動(dòng)弦,A,B是橢圓的左、右頂點(diǎn),求直線(xiàn)MA和NB的交點(diǎn)P的軌跡方程.解:(方法1

利用點(diǎn)的坐標(biāo)作參數(shù))設(shè)M(x1,y1),則N(x