隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義課堂練習(xí)小結(jié)布置作業(yè)第四節(jié)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義第四節(jié)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量兩事件A,B獨(dú)立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨(dú)立.設(shè)X,Y是兩個(gè)r.v，若對任意的x,y,有

則稱X和Y相互獨(dú)立

.一、隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義兩事件A,B獨(dú)立的定義是：若P(AB)=P(A)P(用分布函數(shù)表示,即

設(shè)X,Y是兩個(gè)r.v，若對任意的x,y,有則稱X和Y相互獨(dú)立

.

它表明，兩個(gè)r.v相互獨(dú)立時(shí)，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積.用分布函數(shù)表示,即設(shè)X,Y是兩個(gè)r.v，若對任意其中是X和Y的聯(lián)合密度，

幾乎處處成立，則稱X和Y相互獨(dú)立

.對任意的x,y,有

若(X,Y)是連續(xù)型r.v

，則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：這里“幾乎處處成立”的含義是：在平面上除去面積為0的集合外，處處成立.分別是X的邊緣密度和Y

的邊緣密度.其中是X和Y的聯(lián)合密度，幾乎處處成立，則稱X和Y

若(X,Y)是離散型r.v

，則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：則稱X和Y相互獨(dú)立.對(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有若(X,Y)是離散型r.v，則上述獨(dú)立

例1

設(shè)(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨(dú)立？

二、例題例1設(shè)(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨(dú)立？二、例

若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？解0<x<10<y<1由于存在面積不為0的區(qū)域，故X和Y不獨(dú)立.若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？解0<x<10<y例2甲乙兩人約定中午12時(shí)30分在某地會面.如果甲來到的時(shí)間在12:15到12:45之間是均勻分布.乙獨(dú)立地到達(dá),而且到達(dá)時(shí)間在12:00到13:00之間是均勻分布.試求先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過5分鐘的概率.又甲先到的概率是多少？例2甲乙兩人約定中午12時(shí)30分在某地會面.如果甲來到的時(shí)類似的問題如：

甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭，設(shè)兩船各自獨(dú)立地到達(dá)，并且每艘船在一晝夜間到達(dá)是等可能的.若甲船需停泊1小時(shí)，乙船需停泊2小時(shí)，而該碼頭只能停泊一艘船，試求其中一艘船要等待碼頭空出的概率.類似的問題如：甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭，設(shè)

在某一分鐘的任何時(shí)刻，信號進(jìn)入收音機(jī)是等可能的.若收到兩個(gè)互相獨(dú)立的這種信號的時(shí)間間隔小于0.5秒，則信號將產(chǎn)生互相干擾.求發(fā)生兩信號互相干擾的概率.在某一分鐘的任何時(shí)刻，信號進(jìn)入收音機(jī)是等可盒內(nèi)有個(gè)白球,個(gè)黑球,有放回地摸球

例3兩次.設(shè)第1次摸到白球第1次摸到黑球第2次摸到白球第2次摸到黑球試求(1)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律;(2)判斷的相互獨(dú)立性;(3)若改為無放回摸球,解上述兩個(gè)問題.盒內(nèi)有個(gè)白球,個(gè)黑球,有放回地摸球例3兩(1)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律解如下表所示:(2)由上表可知故的相互獨(dú)立.(1)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律解如下(3)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下表所示:(3)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下表故不是相互獨(dú)立.由上表知:可見故不是相互獨(dú)立.由上表知:可見

這一講，我們由兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念引入兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念.給出了各種情況下隨機(jī)變量相互