蒙特卡羅方法（三）蒙特卡羅方法（三）15.3Metropolis算法目的：在積分變量X

的空間（可能是多維的）內(nèi)產(chǎn)生一組按概率密度ω(X)

分布的點Metropolis

算法：假想有一個隨機行走者在X的空間中運動。該隨機行走過程相繼各步經(jīng)過的點產(chǎn)生出一個序列：X0,

X1,

…；隨著行走的路程越長，這些點的分布會逼近所要求的分布ω(X)

。5.3Metropolis算法目的：在積分變量X的2注意在這里，行走不是完全無規(guī)的。每一步可能達到的位置依賴且僅依賴于上一步的位置。這種隨機行走可以用下列躍遷概率描述狀態(tài)ABCDA1/21/401/4B01/32/30C0100D1/201/20注意在這里，行走不是完全無規(guī)的。每一步可能達到的位置依賴且僅3考慮大量行走者從不同的初始點出發(fā)在X

空間獨立的隨機行走。若Nn(X)

是n

步后這些行走者在X點的密度，

Nn(Y)

是n

步后這些行走者在Y

點的密度，那么在下一步從X

點走到Y(jié)點的行走者凈數(shù)目為X點上的一個行走者轉(zhuǎn)移到Y(jié)的概率當時，行走者的布局不會有凈變化，系統(tǒng)將會達到平衡。這個條件稱為細致平衡條件?？紤]大量行走者從不同的初始點出發(fā)在X空間獨立的隨機行走。4有多種具體方案給出躍遷概率，其中最重要的是Metropolis方案細致平衡條件并不能唯一的定出躍遷概率為了使行走者的分布達到給定的概率密度分布ω(X)，需要規(guī)定適當?shù)能S遷概率有多種具體方案給出躍遷概率，其中最重要的是Metropol5設(shè)行走者處于序列中的

Xn

點上，為了產(chǎn)生Xn+1，行走者邁出試探性的一步到一新點Xt

。該新點可以用任何方便的方法選取，如可以在點

Xn

周圍的一個邊長為d

的多維立方體中均勻地隨機選取。然后按比值來決定是“接受”還是“拒絕”該試探步。Metropolis的方案Metropolis提出的隨機行走的規(guī)則設(shè)行走者處于序列中的Xn點上，為了產(chǎn)生Xn+1，行走者6這樣產(chǎn)生出Xn+1

之后，可以再從Xn+1

出發(fā)邁出一個試驗步，按照同樣的過程產(chǎn)生Xn+2

，不斷重復(fù)以上步驟，得到整個隨機行走序列。如果r≥1，接受該步（即取Xn+1

=Xt）；如果r<1，則以概率r

接受這一步：把r和一個在［0,1］區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)h

比較，若h<r就接受這一步（即取Xn+1

=Xt），否則就舍棄該步（即取Xn+1

=Xn）這樣產(chǎn)生出Xn+1之后，可以再從Xn+1出發(fā)邁7證明Metropopis方案能導(dǎo)致平衡分布ω(X)其中T是從X

試探到Y(jié)

的概率，A

是接受這一試探步的概率。根據(jù)Metropopis方案，從X

到Y(jié)

的轉(zhuǎn)移概率為因此，Metropopis隨機行走者的平衡分布滿足首先試探概率滿足證明Metropopis方案能導(dǎo)致平衡分布ω(X)8若ω(X)<ω(Y)，

則

A

(X→Y)=1

，

在兩種情況下，Metropolis隨機行走者的平衡分布都滿足所以行走者最終確實會達到分布ω

。

若ω(X)>ω(Y)，則A

(Y→X)=1

，

若ω(X)<ω(Y)，則A(X→Y)=9細致平衡條件并沒有定出躍遷概率的具體形式，因此除了Metropolis方案外，還存在其它一些選擇，例如Barker方法容易證明Barker方法確實滿足細致平衡條件。其它的選擇細致平衡條件并沒有定出躍遷概率的具體形式，因此除了Metr103.構(gòu)成隨機行走的點X0,X1,X2,…，由于產(chǎn)生的方法，彼此不是獨立的。1.隨機行走從何出發(fā)，即選擇何處為X0。原則上，任何位置都合適，但實際中，合適的起始點是ω

值大的地方。Metropolis方法要注意的地方太小了關(guān)聯(lián)太強，需要很多步才能達到一個統(tǒng)計獨立的構(gòu)型。太大了會使大多數(shù)嘗試都失敗，導(dǎo)致更新緩慢。經(jīng)驗的做法是使得大約的一半試探步入選。2.步長d

如何選取？3.構(gòu)成隨機行走的點X0,X1,X2,…，由11關(guān)聯(lián)函數(shù)實際做蒙特卡羅模擬時，需要在生成的點列中進行采樣。相鄰兩個樣本點之間應(yīng)有足夠大的的間隔，使得C(l)足夠小。關(guān)聯(lián)函數(shù)定義為關(guān)聯(lián)函數(shù)實際做蒙特卡羅模擬時，需要在生成的點列中進行采樣。相12自相關(guān)函數(shù)圖例自相關(guān)函數(shù)圖例13其中R=(r1,r2,…,rN)

為3N

維坐標矢量，假設(shè)粒子間為對勢應(yīng)用實例：單原子氣體Metropolis算法最早被用在經(jīng)典流體的的模擬中（Metropolis,1953）。這里討論最簡單的經(jīng)典流體——單原子氣體。考慮一定體積，溫度為T

的單原子氣體，這是一個正則系綜，其物理量A的期望值為其中R=(r1,r2,…,rN)為3N維坐標矢14這里沒有考慮U對速度的依賴，因為速度的分布由麥克斯韋分布給出。任何依賴于速度的物理量可以直接用該分布解析的計算。下面只考慮依賴于位形的物理量，如總勢能等。其中Ri

為相空間中依據(jù)下面的分布函數(shù)抽樣得到的樣本點用蒙特卡洛方法計算<A>的方法為這里沒有考慮U對速度的依賴，因為速度的分布由麥克斯韋分布15其中hk

為第k個方向的步長，α、β、

?

為[0,1]區(qū)間的隨機數(shù)很多時候，更新一次構(gòu)型的只改變一個粒子的坐標效率較高，特別是當系統(tǒng)非常接近平衡態(tài)或接近相變時。構(gòu)型的更新隨機的選擇第i個粒子，其坐標被更新為其中hk為第k個方向的步長，α、β、?為[0,16這步更新被接受的概率為新構(gòu)型中，只有第i

個粒子的坐標變化了，因此沒有必要為了得到概率p而計算整個ω(Rn+1)我們將ΔU

表示為新舊構(gòu)型的能量差這步更新被接受的概率為新構(gòu)型中，只有第i個粒子的坐標變化17.構(gòu)造系統(tǒng)的一個初始態(tài).隨機選擇一個粒子i，產(chǎn)生一個試探步r’i=ri+δ.計算這一試探位移引起的能量變化?E.

如果

?E<0,接受試探步；執(zhí)行第(2)步.如果?E>0，生成一個隨機數(shù)r,滿足0<r<1.如果r<exp(-?E/KT)，接受這一試探步；否則拒絕.執(zhí)行第(2)步。單原子氣體的具體算法.構(gòu)造系統(tǒng)的一個初始態(tài)單原子氣體的具體算法18為了有效的降低計算量，需要對位勢引入截斷,rij≤rc

。勢函數(shù)的截斷其截斷長度可取為rc=3σ，其中σ

為勢函數(shù)為0

時的距離長程相互作用，例如庫侖勢，不能被截斷，需要額外的方法來處理。例如簡單流體中典型的相互作用為Lennard-Jones勢為了有效的降低計算量，需要對位勢引入截斷,rij≤rc19步長

h

如果太小：粒子只能移動很小的距離，所以需要很多步才能達到一個統(tǒng)計獨立的構(gòu)型。步長

h

如果太大：粒子雖然平均來說可以移動更大的距離，但是絕大多數(shù)移動對系統(tǒng)構(gòu)型的改變過大，以至于能量會顯著的增加。這導(dǎo)致拒絕率過高，從而構(gòu)型的更新緩慢。步長的選擇一個經(jīng)驗法則是接受率平均在

0.4

和0.6

之間。對于硬球，接受率應(yīng)該低些，約為0.1。

用來取平均的樣本點之間典型的應(yīng)有10-15個間隔樣本點。步長h如果太?。毫Ｗ又荒芤苿雍苄〉木嚯x，所以需要很20經(jīng)典的二維Ising模型：在一個二維正方格子上，每個格點i

上有一個自旋，可以取值+1或-1。相鄰自旋通過一個交換耦合能J

相互作用，此外還存在一個外磁場

B。其中

<ij>

代表對最近鄰求和。應(yīng)用實例——Ising模型系統(tǒng)的哈密頓量為伊辛模型最早被用來研究磁相變，另一個有趣的應(yīng)用是二元合金。經(jīng)典的二維Ising模型：在一個二維正方格子上，每個格點21零溫下，當沒有外磁場時J

>0：如果所有自旋都朝同一方向，系統(tǒng)能量會最低，

對應(yīng)鐵磁態(tài)J<0：如果相鄰兩個自旋朝向相反，系統(tǒng)能量會最低。對應(yīng)反鐵磁態(tài)交換耦合能J零溫下，當沒有外磁場時交換耦合能J22二維Ising模型示意圖二維Ising模型示意圖23周期性邊條件周期性邊條件24二維Ising模型不同溫度下典型的自旋構(gòu)型二維Ising模型不同溫度下典型的自旋構(gòu)型25二維Ising模型的解析結(jié)果三維伊辛模型仍然缺乏精確解LarsOnsager于1944年得到二維Ising模型的精確解，并證明存在相變點，這是統(tǒng)計物理學發(fā)展過程中的里程碑。其臨界指數(shù)為二維Ising模型的解析結(jié)果三維伊辛模型仍然缺乏精確解L26磁化強度磁化率內(nèi)能比熱需要計算的物理量磁化強度磁化率內(nèi)能比熱需要計算的物理量27正則系綜下磁化強度的平均值被定義為磁化強度可以通過蒙特卡羅方法計算其中σ=1，2，…，M

根據(jù)下面的分布函數(shù)取樣正則系綜下物理量的計算其中為構(gòu)型σ的平均自旋。正則系綜下磁化強度的平均值被定義為磁化強度可以通過蒙特卡羅方28注意與每一個格點相聯(lián)系的可以儲存并在模擬中更新。另外，接受概率只有5種可能的值，可以事先計算并儲存起來，以避免重復(fù)進行指數(shù)運算。隨機的在所有格點生成1

或-1，然后隨機的選擇一個格點來更新它,接受率為其中j

對i

的所有鄰居求和。注意與每一個格點相聯(lián)系的可以儲29.隨機生成一個初始構(gòu)型.隨機選擇一個格點

i.計算如果將點i

的自旋翻轉(zhuǎn)引起的能量變化?