圓的證明綜合【例題精講】如圖四邊形為菱形以為直徑作交于點(diǎn)連接交于點(diǎn)是上的一點(diǎn)且連接．（1）求證：是的切線．（2）若求的半徑．【解答】（1）證明：如圖1連接四邊形為菱形即是的直徑是的半徑是的切線；（2）解：如圖2連接是的直徑在和中．的半徑為．如圖已知是外一點(diǎn)交于點(diǎn)弦劣弧的度數(shù)為連接．（1）求的長；（2）求證：是的切線．【解答】（1）解：連接弦劣弧的度數(shù)為弧與弧的度數(shù)為：是等邊三角形；（2）證明：是等邊三角形點(diǎn)在上是的切線．【題組訓(xùn)練】1．如圖為的切線為切點(diǎn)過點(diǎn)作垂足為點(diǎn)交于點(diǎn)延長與的延長線交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若求的長．【解答】（1）證明：連接是的切線在與中是半徑是的切線；（2）解：在中、為的切線在中即在中．2．如圖在中是的直徑是的弦垂足為．過點(diǎn)作的切線與的延長線交于點(diǎn)．若求的度數(shù)．【解答】解：連接是的直徑是的切線故的度數(shù)為．6．如圖是的直徑點(diǎn)和點(diǎn)是上的兩點(diǎn)過點(diǎn)作的切線交延長線于點(diǎn)．（1）若求的度數(shù)；（2）若求半徑的長．【解答】解：（1）連接是的切線是的半徑；（2）設(shè)的半徑為解得：的半徑為2．7．如圖是的直徑點(diǎn)在的延長線上、是上的兩點(diǎn)延長交的延長線于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）求證：；【解答】解：（1）連接如右圖所示是的直徑是的切線；（2）又；10．如圖在中的平分線交于點(diǎn)過點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)是的外接圓．（1）求證：是的切線；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)求證：平分；（3）求證：．【解答】（1）證明：如圖連接．是圓的直徑平分是的切線；（2）證明：是是直徑平分．（3）證明：如圖連接．是的平分線于于．11．如圖是的直徑過點(diǎn)作的切線弦交于點(diǎn)且連接延長交于點(diǎn)．（1）求證：是等邊三角形；（2）連接若求的長．【解答】（1）證明：是的直徑是的切線是等邊三角形；（2）解：連接過作于由（1）知是等邊三角形設(shè)的半徑為：在與中即．12．如圖在中以為直徑的交于點(diǎn)過點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)的反向延長線交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若的半徑為10求的長度．【解答】（1）證明：．是的切線是半徑；（2）如圖過點(diǎn)作于點(diǎn)則四邊形是矩形．設(shè)．．在中由勾股定理知：即解得（不合題意舍去）．．．13．如圖內(nèi)接于是的直徑交于點(diǎn)過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)連接．（1）求證：是的切線；（2）已知求的長．【解答】（1）證明：是的直徑即即又是的半徑是的切線；（2）解：．14．如圖內(nèi)接于是的直徑點(diǎn)是延長線上的一點(diǎn)且．（1）求證：是的切線；（2）若求的半徑．【解答】（1）證明：連接．又又是的切線；（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)．在中在中．在中的半徑為．15．如圖是的直徑點(diǎn)是上兩點(diǎn)且連接過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)垂足為．（1）求證：是的切線；（2）若求的半徑．【解答】（1）證明：連接如圖是的切線；（2）解：連接如圖為直徑在中在中的半徑為4．16．如圖中以為直徑作半圓交與點(diǎn)點(diǎn)為的中點(diǎn)連接．（1）求證：是半圓的切線．（2）若求的長．【解答】（1）證明：連接為圓的直徑在中為斜邊的中點(diǎn)在和中則為圓的切線；（2）在中又為等邊三角形即則．17．如圖在中是邊上一點(diǎn)以為直徑的經(jīng)過點(diǎn)且．（1）請判斷直線是否是的切線并說明理由；（2）若求弦的長．【解答】解：（1）直線是的切線理由如下：如圖連接為的直徑又又是半徑直線是的切線；（2）方法一、過點(diǎn)作于．方法二、．18．如圖在中于點(diǎn)是上一點(diǎn)以為直徑的交于點(diǎn)連接且．（1）求證：是的切線；（2）若求的長．【解答】（1）證明：又是的切線；（2）解：連接、為的直徑．20．如圖是的直徑點(diǎn)在上且點(diǎn)是外一點(diǎn)與相切于點(diǎn)連接過點(diǎn)作交于點(diǎn)連接交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：是的切線；（3）若連接求的長．【解答】（1）證明：是的直徑又為的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為的中位線；（2）證明：如圖所示：連接在與中又是的切線又是半徑是的切線；（3）解：是的直徑過點(diǎn)作于點(diǎn)．21．如圖在中點(diǎn)在邊上經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)且與邊相交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若求的半徑．【解答】（1）證明：連接是的切線；（2）解：連接是等邊三角形的半徑．22．如圖為的直徑為上一點(diǎn)弦的延長線與過點(diǎn)的切線互相垂直垂足為連接．（1）求的度數(shù)；（2）若求的長．【解答】解：（1）連接如圖是的切線為的直徑；（2）連接的直徑的長為：．23．已知：如圖中以為直徑的交于點(diǎn)于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若求的值．【解答】（1）證明：是的切線；（2）解：連接如圖為直徑在中．24．如圖在中的平分線交于點(diǎn)過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)是的外接圓．（1）求證：是的切線．（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)求證：．【解答】證明：（1）如圖1連接．是圓的直徑．平分是的切線；（2）如圖2連接．于于．．在與中．25．如圖是的直徑點(diǎn)、在上且平分過點(diǎn)作的垂線與的延長線相交于與的延長線相交于點(diǎn)為的下半圓弧的中點(diǎn)交于連接、．（1）證明是的切線；（2）求證：；（3）已知圓的半徑求的長．【解答】解：（1）證明：連接又平分又是的切線；（2）是的直徑由（1）得是的切線又（3）連接是半圓弧中點(diǎn)在中．．26．如圖在中以斜邊上的中線為直徑作與、分別交于點(diǎn)、與的另一個(gè)交點(diǎn)為．過點(diǎn)作垂足為．（1）求證：是的切線；（2）若求弦的長．【解答】（1）證明：連接．如圖所示：在中是邊的中線又過半徑的外端是的切線；（2）解：過點(diǎn)作垂足為如圖2所示：設(shè)的半徑為．四邊形為矩形．在中即．且過圓心．28．如圖在中點(diǎn)在邊上以為直徑作交于點(diǎn)連接且．（1）求證：是的切線；（2）若求的半徑．【解答】（1）證明：如圖連接是的直徑即．是的半徑是的切線；（2）解：在中設(shè)的半徑為則在中解得或（舍去）．的半徑為3．30