一元二次方程目錄一元二次方程的定義 1一元二次方程項(xiàng)數(shù)系數(shù) 2一元二次方程含參 4一元二次方程的解 5直接開平方法 6配方法 8一元二次方程判別式 11含參求根的辨別式 12根的辨別式綜合運(yùn)用 13因式分解法 16十字相乘 17根與系數(shù)的關(guān)系 19一元二次方程的定義一元二次方程的定義：一元二次方程的定義：

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；

②只含有一個未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．下列方程中不是一元二次方程的是A． B． C． D．【解答】解：．根據(jù)一元二次方程的定義是一元二次方程那么不符合題意．．根據(jù)一元二次方程的定義是一元二次方程那么不符合題意．．根據(jù)一元二次方程的定義不是一元二次方程那么符合題意．．根據(jù)一元二次方程的定義是一元二次方程那么不符合題意．故選：．下列方程中是一元二次方程的是A． B． C． D．【解答】解：．由得那么不是一元二次方程故不符合題意．．根據(jù)一元二次方程的定義是一元二次方程故符合題意．．根據(jù)一元二次方程的定義不是一元二次方程而是分式方程故不符合題意．．根據(jù)一元二次方程不是一元二次方程故不符合題意．故選：．下列是一元二次方程的是A． B． C． D．【解答】解：、當(dāng)時不屬于一元二次方程故該選項(xiàng)不符合題意；、它符合一元二次方程的定義故該選項(xiàng)符合題意；、化簡后它不含有二次項(xiàng)不屬于一元二次方程故該選項(xiàng)不符合題意；、是分式方程不屬于一元二次方程故該選項(xiàng)不符合題意．故選：．下列方程是關(guān)于的一元二次方程的是A． B． C． D．【解答】解：．該方程是分式方程故本選項(xiàng)不合題意；．當(dāng)時不是關(guān)于的一元二次方程故本選項(xiàng)不合題意；．該方程是一元二次方程故本選項(xiàng)符合題意；、化簡后不是一元二次方程故此選項(xiàng)不符合題意；故選：．已知關(guān)于的方程是一元二次方程．（1）求的值；（2）解該一元二次方程．【解答】解：（1）關(guān)于的方程是一元二次方程解得；（2）方程為即故原方程無解．已知方程是關(guān)于的一元二次方程求的值．【解答】解：方程是關(guān)于的一元二次方程且解得：．已知關(guān)于的方程試問：（1）為何值時該方程是關(guān)于的一元一次方程？（2）為何值時該方程是關(guān)于的一元二次方程？【解答】解：（1）由題意得解得當(dāng)時該方程是一元一次方程；解得當(dāng)時該方程是一元一次方程；解得時該方程是一元一次方程；（2）由題意得且解得當(dāng)時該方程是關(guān)于的一元二次方程．關(guān)于的方程能否為一元二次方程？若能求出的值；若不能請說明理由．【解答】解：若關(guān)于的方程是一元二次方程則無解關(guān)于的方程不能為一元二次方程．一元二次方程項(xiàng)數(shù)系數(shù)一般地，任何一個關(guān)于一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次項(xiàng)，叫做二次項(xiàng)系數(shù)；叫做一次項(xiàng)；叫做常數(shù)項(xiàng)．把一元二次方程化成一般形式正確的是A． B． C． D．【解答】解：即故選：．一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)、二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)的和是A．1 B．8 C．7 D．2【解答】解：關(guān)于的一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)、二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為4、1和．所以一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)、二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)的和是．故選：．方程化成一般形式后二次項(xiàng)系數(shù)為正其中一次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)分別是A．4 B．41 C． D．1【解答】解：化成一元二次方程一般形式是它的一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)是．故選：．把方程化成的形式則的值分別為A．12 B．17 C．112 D．110【解答】解：則故選：．一元二次方程含參若關(guān)于的方程為一元二次方程則滿足A． B． C． D．【解答】解：方程為一元二次方程解得．故選：．若是關(guān)于的一元二次方程則的值為A．3 B． C． D．【解答】解：由題意可知：解得：故選：．若方程是關(guān)于的一元二次方程則的值為A．1 B． C． D．不存在【解答】解：由題意得：且解得：故選：．已知關(guān)于的方程是一元二次方程則A． B． C． D．【解答】解：關(guān)于的方程是一元二次方程解得故選：．一元二次方程的解一元二次方程的解（根）的意義：一元二次方程的解（根）的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．已知為方程的根那么的值為A． B．0 C．2022 D．4044【解答】解：為方程的根原式．故選：．若是的一個根則的值是A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【解答】解：是的一個根．故選：．已知是方程的一個根則的值為A． B．2022 C．2021 D．無法計(jì)算【解答】解：是方程的一個根即則．故選：．已知是一元二次方程的一個根則的值為A． B．2021 C．2020 D．2022【解答】解：把代入方程得所以所以．故選：．一元二次方程與三角形已知關(guān)于的方程其中是方程的一個根．（1）求的值及方程的另一個根；（2）若的三條邊長都是此方程的根求的周長．【解答】解：（1）把代入方程得解得原方程為故它的另一個根是1；（2）由題意知三角形的三邊中至少有兩條邊相等則有下列兩種情形：①三邊相等邊長為111；或333那么三角形的周長是3或9；②僅有兩邊相等三角形的邊長只能為331那么三角形的周長是7；由①、②知三角形的周長可以是3或7或已知是關(guān)于的方程的一個實(shí)數(shù)根并且這個方程的兩個實(shí)數(shù)根恰好是等腰三角形的兩條邊長．（1）求的值；（2）求的周長．【解答】解：（1）把代入方程得解得；（2）方程化為解得等腰三角形的腰長為4底邊長為2的周長為．已知關(guān)于的方程．（1）判斷方程根的情況；（2）若兩根異號且正根的絕對值較大求整數(shù)的值；（3）若等腰的一邊長為3另兩邊的長恰好是方程的兩個根求的周長．【解答】解：（1）△方程有兩個實(shí)數(shù)根；（2）所以兩根異號正根的絕對值較大整數(shù)的值為；（3）當(dāng)時三角形三邊為2、2、3則三角形的周長為；當(dāng)時三角形三邊為2、3、3則三角形的周長為．綜上所述三角形的周長為7或已知2是關(guān)于的方程的一個根而這個方程的兩個根恰好是等腰的兩條邊長．（1）求的值；（2）求的周長．【解答】解：（1）把代入方程得解得；（2）當(dāng)時原方程變?yōu)榻獾迷摲匠痰膬蓚€根恰好是等腰的兩條邊長且不存在三邊為226的等腰三角形的腰為6底邊為2的周長為．直接開平方法一元二次方程的定義：一元二次方程的定義：

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；

②只含有一個未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．方程的解為A． B． C． D．【解答】解：方程開方得：或解得：．故選：．一元二次方程的根是A．4 B． C． D．16【解答】解：故選：．解方程．【解答】解：．解方程：．【解答】解：．解方程：．【解答】解：方程：開方得：或解得：．解方程：．【解答】解：或所以．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋海窘獯稹拷猓核裕夥匠蹋海窘獯稹拷猓核裕浞椒ǎǎ?）將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.（2）用配方法解一元二次方程的步驟：（1）把原方程化為的形式；（2）方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊;（3）方程兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方;（4）把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；（5）如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解.一元二次方程配方后可化為A． B． C． D．【解答】解：故選：．把一元二次方程配方后下列變形正確的是A． B． C． D．【解答】解：故選：．方程經(jīng)配方后可化為A． B． C． D．【解答】解：則即故選：．下列配方中變形正確的是A． B． C． D．【解答】解：錯誤．．錯誤．．正確．錯誤．故選：．用配方法解一元二次方程：．【解答】解：方程整理得：配方得：即開方得：解得：．解一元二次方程：．【解答】解：則即．用配方法解方程：．【解答】解：即或．用配方法解方程：．【解答】解：或．一元二次方程判別式利用一元二次方程根的判別式利用一元二次方程根的判別式判斷方程的根的情況.一元二次方程的根與有如下關(guān)系:（1）當(dāng)時，方程有兩個不相等的兩個實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)時，方程有兩個相等的兩個實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)時，方程無實(shí)數(shù)根.上面的結(jié)論反過來也成立.方程的根的情況為A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法判定【解答】解：方程△方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．故選：．一元二次方程的根的情況是A．沒有實(shí)數(shù)根 B．只有一個實(shí)數(shù)根 C．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根【解答】解：一元二次方程中△有兩個相等的實(shí)數(shù)根故選：．一元二次方程的根的情況是A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．有無數(shù)個實(shí)數(shù)根【解答】解：對一元二次方程△有兩個相等實(shí)數(shù)根故選：．關(guān)于的一元二次方程下列選項(xiàng)正確的是A．沒有實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 C．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 D．根的個數(shù)與的取值有關(guān)【解答】解：方程△則方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．故選：．含參求根的辨別式關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．且 C．且 D．【解答】解：關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根△且解得：且．故選：．若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根則的值是A．36 B．9 C．6 D．【解答】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根△解得故選：．若關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根則的最大整數(shù)值是A． B． C．0 D．1【解答】解：關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根解得：則的最大整數(shù)值是．故選：．關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根則的取值范圍是A． B． C．且 D．且【解答】解：根據(jù)題意得且△解得且．故選：．根的辨別式綜合運(yùn)用已知關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）若此方程有一個根為1求的值．【解答】解：（1）關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根△解得：；（2）關(guān)于的方程的一個根為1把代入方程得：解得：或故的值為1或．已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：對于任意實(shí)數(shù)該方程總有兩個不相等實(shí)數(shù)根；（2）如果此方程有一個根為0求的值．【解答】（1）證明：對關(guān)于的一元二次方程△△對于任意實(shí)數(shù)一元二次方程總有兩個不相等實(shí)數(shù)根；（2）解：如果此方程有一個根為0則解得或答：的值為0或已知關(guān)于的一元二次方程．（1）當(dāng)時求一元二次方程的解；（2）求證：無論為何實(shí)數(shù)方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．【解答】（1）解：當(dāng)時方程可化為；（2）證明：△而△．對任意實(shí)數(shù)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．已知關(guān)于的方程．（1）求證：無論取任何實(shí)數(shù)值方程總有兩個實(shí)數(shù)根．（2）等腰的底邊長為2另兩邊的長恰好是這個方程的兩個根求的周長．【解答】（1）證明：△故不論取何實(shí)數(shù)該方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：依題意有△則將其代入方程得．解得．故的周長是．因式分解法因式分解法解一元二次方程的一般步驟：因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．方程的解是A． B． C． D．【解答】解：或故選：．方程的解是A． B． C． D．【解答】解：或所以．故選：．方程的解是A． B． C． D．【解答】解：故選：．如果那么的值是A．0 B．2 C．02 D．0【解答】解：或故選：．十字相乘用十字相乘法把形如用十字相乘法把形如分解因式使.步驟:(1)堅(jiān)分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)(2)交叉相乘,和相加(3)檢驗(yàn)確定,橫寫因式順口溜:堅(jiān)分常數(shù)交叉驗(yàn),橫寫因式不能亂.方程的根是A． B． C． D．【解答】解：或解得故選：．方程的兩個根為A． B． C． D．【解答】解：或故選：．方程的兩個根為A． B． C． D．【解答】解：或故選：．下列各數(shù)是方程的根的是A．2和5 B．和3 C．5和3 D．和2【解答】解：方程分解因式得：所以或解得：或．故選：．根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程如果一元二次方程的兩根分別為x1、x2，則有：。不解方程，求二次方程的根x1、x2的對稱式的值，特別注意以下公式：①②③④⑤⑥設(shè)方程的兩根分別是則的值為A．8 B． C．4 D．2【解答】解：由可知其二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)由根與系數(shù)的關(guān)系：．故選：．下列一元二次方程兩實(shí)數(shù)根和等于的是A． B． C． D．【解答】解：、兩實(shí)數(shù)根的和等于所以選項(xiàng)不符合題意；、兩實(shí)數(shù)根的和等于4所以選項(xiàng)不符合題意；、△方程沒有實(shí)數(shù)根所以選項(xiàng)符合題意；、兩實(shí)數(shù)根的和等于所以選項(xiàng)不符合題意．故選：．設(shè)是方程的兩個實(shí)數(shù)根則的值為A．2022 B． C．2020 D．【解答】解：根據(jù)題意得故選：．若矩形的長和寬是方程的兩個根則該矩形的周長和面積分別為A．3和 B．和3 C．和6 D．6和【解答】解：矩形的長和寬是方程的兩個根設(shè)長為寬為則該矩形的周長為面積為．故選：．已知、分別是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根則的值為A． B． C．1 D．【解答】解：根據(jù)題意可知故選：．關(guān)于的方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為和且則的值是A． B． C． D．【解答】解：的方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為和解得根據(jù)題意得△當(dāng)時△不符合題意當(dāng)時△符合題意故選：．已知、是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根則的值是A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得所以．故選：．一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根為則的值是A． B． C．0 D．1【解答】解：一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根為．故選：．關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若、是方程的兩個實(shí)根且求的值．【解答】（1）證明：△方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：根據(jù)題意得解得或4即的值為1或4已知關(guān)于的方程．（1）求證：此方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)此方程的兩個根分別為若求的值．【解答】（1）證明：△方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：化簡得解得或．若、是關(guān)于的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若求的值．【解答】解：（1）關(guān)于的一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根且△解得且；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得解得．．關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若方程的兩個實(shí)數(shù)根為且滿足求的值．【解答】解：（1）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根△解得：．（2）關(guān)于的一元二次方程的兩個根分別為即整理得：解得：．的值為21．下列方程中屬于一元二次方程的是A． B． C． D．【解答】解：．是一元一次方程故不符合題意；．是分式方程故不符合題意；．方程整理可得是一元一次方程故不符合題意；．是一元二次方程故符合題意；故選：．2．下列方程中屬于一元二次方程的是A． B． C． D．【解答】解：．是二元一次方程故本選項(xiàng)不合題意；．是一元二次方程故本選項(xiàng)符合題意；．是分式方程故本選項(xiàng)不合題