數(shù)學建模中的

層次分析法數(shù)學建模中的

層次分析法1層次分析法(AHP)一、概述二、基本思路三、步驟四、應用舉例五、幾個問題六、建模中的應用層次分析法(AHP)一、概述2一、層次分析法概述層次分析法美國運籌學家Saaty于二十世紀70年代提出一種實用的多方案或多目標的決策方法它合理地將定性與定量的決策結合起來按照思維、心理的規(guī)律把決策過程層次化、數(shù)量化

是一種定性和定量相結合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。背景：決策問題----在多種方案中依據(jù)一定的標準選擇某一種方案。

（購物、旅游、排隊、擇業(yè)……）人物：

T.L.Saaty----美國著名運籌學專家，皮斯堡大學教授歷史：曾研究應急計劃、電力分配、運輸業(yè)研究，1979正式提出層次分析法。美國高等教育事業(yè)1985-2000展望，1985年世界石油價格預測等。工具：矩陣理論，Matlab作用：層次分析法在決策工作中有廣泛的應用。主要用于確定綜合評價的權重數(shù)。

-------能源系統(tǒng)分析、城市規(guī)劃、經濟管理、科研評價、決策一、層次分析法概述層次分析法3二、基本思路分解建立確定計算判斷實際問題層次結構多個因素諸因素的相對重要性權向量綜合決策先分解后綜合的系統(tǒng)思想：首先將所要分析的問題層次化：根據(jù)問題的性質和要達到的總目標，將問題分解成不同的組成因素，按照因素間的相互關系及隸屬關系，按不同層次聚集組合，形成一個多層分析結構模型，最終歸結為最低層（方案、措施、指標等）相對于最高層（總目標）相對重要程度的權值或相對優(yōu)劣次序的問題。二、基本思路分解建立確定計算判斷實際問題層次結構多個因素諸4決策目標準則1方案1準則m1準則2子準則1方案2子準則2方案mr子準則m2…………………方案層準則層目標層遞階層次結構決策目標準則1方案1準則m1準則2子準則1方案2子準則2方案5判別矩陣ZC1C2C3…CnC1a11a12a13…a1nC21/a12a22a23…a2nC31/a131/a23a33…a3n………………Cn1/a1n1/a2n1/a3n…ann判別矩陣ZC1C2C3…CnC1a11a12a13…a1nC6三、基本步驟1、建立系統(tǒng)的遞階層次結構(如圖)

（分析系統(tǒng)中各個因素的關系）2、構造兩兩比較判斷矩陣（正互反矩陣）(如圖)

（對同一層次的各元素關于上一層次中某一準則的重要性進行兩兩比較）3、層次單排序及一致性檢驗

（根據(jù)判斷矩陣計算被比較元素對于該準則的相對權重，并做一致性檢驗)4、層次總排序及一致性檢驗

(計算各層元素對系統(tǒng)目標的合成權重，并進行排序、檢驗)以例說明三、基本步驟1、建立系統(tǒng)的遞階層次結構(如圖)以例說明7目標層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準則層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途例.選擇旅游地如何在3個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇.目標層O(選擇旅游地)P2P1P3準則層方案層C3C1C2C8“選擇旅游地”思維過程的歸納將決策問題分為3個層次：目標層O，準則層C，方案層P；每層有若干元素，各層元素間的關系用相連的直線表示。通過相互比較確定各準則對目標的權重，及各方案對每一準則的權重。將上述兩組權重進行綜合，確定各方案對目標的權重。層次分析法將定性分析與定量分析結合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結果?！斑x擇旅游地”思維過程的歸納將決策問題分為3個層次：目標層9層次分析法的基本步驟成對比較陣和權向量元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度設要比較各準則C1,C2,…,Cn對目標O的重要性A~成對比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對O的權向量選擇旅游地層次分析法的基本步驟成對比較陣和權向量元素之間兩兩對比，對10

O

C1

C2

C3

C4

C5

C1

1

1/2

4

3

3

C2

2

1

7

5

5

C3

1/4

1/7

1

1/21/3

C4

1/3

1/5

2

1

1

C5

1/3

1/5

3

1

1OC1C2C3C4C5C111/211成對比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況成對比較陣和權向量成對比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致12成對比較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱一致陣，如

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n

A的任一列向量是對應于n的特征向量

A的歸一化特征向量可作為權向量對于不一致(但在允許范圍內)的成對比較陣A，建議用對應于最大特征根的特征向量作為權向量w，即一致陣性質成對比較陣和權向量成對比較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱一致陣，如A的秩為132468比較尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反數(shù)1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍強強明顯強絕對強aij=1,1/2,,…1/9的重要性與上面相反心理學家認為成對比較的因素不宜超過9個用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27種比較尺度對若干實例構造成對比較陣，算出權向量，與實際對比發(fā)現(xiàn)，1~9尺度較優(yōu)。便于定性到定量的轉化：成對比較陣和權向量2414一致性檢驗對A確定不一致的允許范圍已知：n階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n

階正互反陣最大特征根

n,且

=n時為一致陣定義一致性指標:CI越大，不一致越嚴重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110為衡量CI的大小，引入隨機一致性指標RI——隨機模擬得到aij,形成A，計算CI即得RI。定義一致性比率CR=CI/RI當CR<0.1時，通過一致性檢驗Saaty的結果如下一致性檢驗對A確定不一致的允許范圍已知：n階一致陣的唯一非15“選擇旅游地”中準則層對目標的權向量及一致性檢驗準則層對目標的成對比較陣最大特征根=5.073權向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標隨機一致性指標RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗“選擇旅游地”中準則層對目標的權向量及一致性檢驗準則層對目標16組合權向量記第2層（準則）對第1層（目標）的權向量為同樣求第3層(方案)對第2層每一元素(準則)的權向量方案層對C1(景色)的成對比較陣方案層對C2(費用)的成對比較陣…Cn…Bn最大特征根1

2

…

n

權向量w1(3)w2(3)…

wn(3)組合權向量記第2層（準則）對第1層（目標）的權向量為同樣求第17第3層對第2層的計算結果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665組合權向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過一致性檢驗

w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1對目標的組合權重為0.5950.263+…=0.300方案層對目標的組合權向量為(0.300,0.246,0.456)T第3層對第2層的計算結果k10.5950.2770.129318組合權向量第1層O第2層C1,…Cn第3層P1,…Pm第2層對第1層的權向量第3層對第2層各元素的權向量構造矩陣則第3層對第1層的組合權向量第s層對第1層的組合權向量其中W(p)是由第p層對第p-1層權向量組成的矩陣組合第1層O第2層C1,…Cn第3層P1,…Pm第2層對第19層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結構模型深入分析實際問題，將有關因素自上而下分層（目標—準則或指標—方案或對象），上層受下層影響，而層內各因素基本上相對獨立。2）構造成對比較陣用成對比較法和1~9尺度，構造各層對上一層每一因素的成對比較陣。3）計算權向量并作一致性檢驗對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗，若通過，則特征向量為權向量。4）計算組合權向量（作組合一致性檢驗*）組合權向量可作為決策的定量依據(jù)。層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結構模型深入分析實際問題20四.

層次分析法的廣泛應用應用領域：經濟計劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評價，生產決策，交通運輸，科研選題，產業(yè)結構，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。處理問題類型：決策、評價、分析、預測等。建立層次分析結構模型是關鍵一步，要有主要決策層參與。構造成對比較陣是數(shù)量依據(jù)，應由經驗豐富、判斷力強的專家給出。四.層次分析法的廣泛應用應用領域：經濟計劃和管理，能源政21國家綜合實力國民收入軍事力量科技水平社會穩(wěn)定對外貿易美、俄、中、日、德等大國工作選擇貢獻發(fā)展聲譽關系位置供選擇的崗位例1

國家實力分析例2

工作選擇國家綜合實力國民軍事科技社會對外美、俄、中、日、德等大國工作22過河的效益

A經濟效益B1社會效益B2環(huán)境效益B3節(jié)省時間C1收入C2岸間商業(yè)C3當?shù)厣虡I(yè)C4建筑就業(yè)C5安全可靠C6交往溝通C7自豪感C8舒適C9進出方便C10美化C11橋梁D1隧道D2渡船D3（1）過河效益層次結構例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇過河的效益經濟效益社會效益環(huán)境效益節(jié)省時間C1收入C2岸間商23過河的代價

A經濟代價

B1環(huán)境代價B3社會代價B2投入資金C1操作維護C2沖擊渡船業(yè)C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷C6汽車排放物C7對水的污染C8對生態(tài)的破壞C9橋梁D1隧道D2渡船D2（2）過河代價層次結構例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇過河的代價經濟代價環(huán)境代價社會代價投入資金C1操作維護C2沖24待評價的科技成果直接經濟效益

C11間接經濟效益

C12社會效益

C13學識水平

C21學術創(chuàng)新

C22技術水平

C23技術創(chuàng)新

C24效益C1水平C2規(guī)模C3科技成果評價例4科技成果的綜合評價待評價的科技成果直接間接社會學識學術技術技術效益C1水平C225五.層次分析法的若干問題正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量是否為