第十章曲線積分與曲面積分curvillnearintegralandsurfaceintegral1第十章曲線積分與曲面積分curvillnearinte問題的提出對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念幾何意義與物理意義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算arclength第一節(jié)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分第十章曲線積分與曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分2問題的提出對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念幾何意義與物理意義對(duì)弧長(zhǎng)的曲一、問題的提出實(shí)例勻質(zhì)之質(zhì)量分割求和取極限取近似曲線形構(gòu)件的質(zhì)量近似值精確值對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分3一、問題的提出實(shí)例勻質(zhì)之質(zhì)量分割求和取極限取近似曲線形構(gòu)件的二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念1.定義設(shè)L為xOy面內(nèi)一條光滑曲線弧,在L上有界.作乘積并作和如果當(dāng)各小弧段的長(zhǎng)度的最大值對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分在L上任意插入一點(diǎn)列把L分成n個(gè)小段.設(shè)第i個(gè)小段的第i個(gè)小段上任意取定的①②③長(zhǎng)度為一點(diǎn),④4二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念1.定義設(shè)L為xOy面內(nèi)一條光滑曲線形構(gòu)件的質(zhì)量即這和的極限存在,則稱此極限為在曲線弧L對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或第一類曲線積分.積分和式被積函數(shù)弧元素積分弧段記作對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分5曲線形構(gòu)件的質(zhì)量即這和的極限存在,則稱此極限為在曲線弧L對(duì)2.存在條件3.推廣對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分連續(xù),對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分62.存在條件3.推廣對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分連續(xù),對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積注意閉曲線L上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分記作(對(duì)路徑具有可加性)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分7注意閉曲線L上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分記作(對(duì)路徑具有可加性)對(duì)弧長(zhǎng)4.性質(zhì)

(1)(2)(3)與積分路徑的方向無關(guān),即⌒⌒對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分84.性質(zhì)(1)(2)(3)與積分路徑的方向無關(guān),即⌒⌒對(duì)在一條光滑(或分段光滑)的是L上關(guān)于x的奇函數(shù)

是L上關(guān)于x的偶函數(shù)

L1是曲線L落在y軸一側(cè)的部分.在分析問題和算題時(shí)常用的L關(guān)于y軸對(duì)稱,補(bǔ)充對(duì)稱性質(zhì)曲線L上連續(xù),則當(dāng)(或y)(或y)當(dāng)(或x軸)(或x)

運(yùn)用對(duì)稱性簡(jiǎn)化對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分計(jì)算時(shí),應(yīng)同時(shí)考慮被積函數(shù)的奇偶性與積分曲線L的對(duì)稱性.對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分9在一條光滑(或分段光滑)的是L上關(guān)于x的例其中L是圓周解因積分曲線L關(guān)于被積函數(shù)x是L上被積函數(shù)因積分曲線L關(guān)于對(duì)稱性,計(jì)算得是L上y軸對(duì)稱,關(guān)于x的奇函數(shù)x軸對(duì)稱,關(guān)于y的奇函數(shù)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分10例其中L是圓周解因積分曲線L關(guān)于被積函數(shù)x是L上被積函數(shù)因積三、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算定理其中且有定義且連續(xù),具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),解法化為參變量的定積分計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分注意對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求定積分的下限一定要小于上限!11三、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算定理其中且有定義且連續(xù),具有一階連續(xù)特殊情形(1)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分(2)12特殊情形(1)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分(2)12(3)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分特殊情形推廣13(3)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分特殊情形推廣13或此時(shí)需把它化為參數(shù)方程再按上述方法計(jì)算.?對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分為參數(shù)),14或此時(shí)需把它化為參數(shù)方程再按上述方法計(jì)算.?對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分例解例解對(duì)x積分?對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分15例解例解對(duì)x積分?對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分15例解⌒⌒⌒對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分得16例解⌒⌒⌒對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分得16解此題時(shí)也可用故⌒對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)稱性質(zhì)17解此題時(shí)也可用故⌒對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)稱性質(zhì)17練習(xí)在第一象限中所圍圖形的邊界.⌒提示解⌒⌒對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分18練習(xí)在第一象限中所圍圖形的邊界.⌒提示解⌒⌒對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分故對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分19故對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分19幾何意義(1)(2)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分四、幾何意義與物理意義柱面面積弧長(zhǎng)物理意義L的質(zhì)量20幾何意義(1)(2)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分四、幾何意義與物理意義柱1989年研究生考題,填空(3分)解設(shè)下半圓周的參數(shù)方程則對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分通過幾何直觀,還有更簡(jiǎn)單的方法嗎?想一想211989年研究生考題,填空(3分)解設(shè)下半圓周的參數(shù)方程則例解由于有對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的方程中的x,y,z的地位完全對(duì)稱,

22例解由于有對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的方程中的x,y,z的地位1988年研究生考題,填空(3分)解

對(duì)稱性對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分231988年研究生考題,填空(3分)解對(duì)稱性對(duì)弧長(zhǎng)的曲線思考題是非題

對(duì)弧長(zhǎng)的