第第頁江西省撫州市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期學(xué)生學(xué)業(yè)發(fā)展水平測試（期末）數(shù)學(xué)試題（含解析）江西省撫州市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期學(xué)生學(xué)業(yè)發(fā)展水平測試（期末）數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、單選題

1．已知函數(shù)，則（）

A．2B．C．D．3

2．在等差數(shù)列中，首項，前3項和為6，則等于（）

A．0B．6C．12D．18

3．已知數(shù)列為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，則的值為（）

A．B．C．D．

4．函數(shù)的圖象如圖，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是下圖中的（）

A．B．

C．D．

5．“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，在數(shù)論代數(shù)學(xué)非歐幾何復(fù)變函數(shù)和微分幾何等方面都作出了開創(chuàng)性的貢獻.我們高中階段也學(xué)習(xí)過很多高斯的數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)倒序相加法最小二乘法等等.已知某數(shù)列的通項，則（）

A．B．C．D．

6．兩人擲一枚硬幣，擲出正面多者為勝，但這枚硬幣質(zhì)地不均勻，以致出現(xiàn)正面的概率與出現(xiàn)反面的概率不相等，已知出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面是對立事件，設(shè)兩人各擲一次成平局的概率為，則與0.5的大小關(guān)系是（）

A．B．C．D．不確定

7．設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍為（）

A．B．C．D．

8．定義：如果函數(shù)在上存在，滿足，，則稱函數(shù)是上的“雙中值函數(shù)”，已知函數(shù)是上“雙中值函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（）

A．B．C．D．

二、多選題

9．下列說法正確的是（）

A．相關(guān)系數(shù)r越大，兩變量的線性相關(guān)程度越強

B．若一組數(shù)據(jù)，，，…，的方差為2，則，，，…，的方差為2

C．若隨機變量X服從正態(tài)分布，，則

D．若，，，則

10．若直線l為曲線與曲線的公切線，則直線l的斜率為（）

A．0B．2C．D．

11．已知正數(shù)，滿足，則下列不等式正確的是（）

A．B．

C．D．

12．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，且，是數(shù)列的前n項和，則（）

A．

B．

C．

D．

三、填空題

13．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則.

14．某同學(xué)連續(xù)兩次投籃，已知第一次投中的概率為0.8，在第一次投中的情況下，第二次也投中的概率為0.7，且第一次投不中，第二次投中的概率為0.5，則在第二次投中的條件下，第一次也投中的概率為．

15．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若對任意正整數(shù)n，都有，則整數(shù).

16．已知函數(shù)有且僅有一條切線經(jīng)過點.若，恒成立，則實數(shù)的最大值是.

四、解答題

17．已知函數(shù)在處取得極值-14.

(1)求曲線在點處的切線方程；

(2)求函數(shù)在上的最值.

18．設(shè)是數(shù)列的前n項和，且，．

(1)求；

(2)求數(shù)列的前n項和．

19．常言說“病從口入”，其實手才是罪魁禍?zhǔn)祝鼡?dān)任了病菌與口之間的運輸工具.洗手是預(yù)防傳染病最簡便有效的措施之一，保持手的清潔衛(wèi)生可以有效降低感染新型冠狀病毒的風(fēng)險.正確的洗手應(yīng)遵循“七步洗手法”，精簡為一句話就是“內(nèi)外夾弓大立腕”，每一個字代表一個步驟.某學(xué)校在開學(xué)復(fù)課前為了解學(xué)生對“七步洗手法”的掌握程度，隨機抽取100名學(xué)生進行網(wǎng)上測試，滿分10分，具體得分情況的頻數(shù)分布表如下：

得分45678910

女生2914131154

男生357111042

(1)現(xiàn)以7分為界限，將學(xué)生對“七步洗手法”的掌握程度分為兩類，得分低于7分的學(xué)生為“未能掌握”，得分不低于7分的學(xué)生為“基本掌握”.完成下面列聯(lián)表，并判斷可否認為學(xué)生對“七步洗手法”的掌握程度與性別有關(guān)，且犯錯誤的概率不大于0.05？

未能掌握基本掌握合計

女生

男生

合計

(2)從參與網(wǎng)上測試且得分不低于9分的學(xué)生中，按照性別以分層抽樣的方法抽取10名同學(xué)，在10人中隨機抽取3人，記抽到女生的人數(shù)為X，求X的分布列與期望.

附：，.

臨界值表：

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

20．已知數(shù)列滿足．

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)若，求數(shù)列前項和．

21．紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害，每只紅鈴蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)和平均溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

平均溫度21232527293133

平均產(chǎn)卵數(shù)/個711212466115325

1.92.43.03.24.24.75.8

（1）根據(jù)散點圖判斷，與（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于平均溫度的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程.（計算結(jié)果精確到0.01）

（2）根據(jù)以往統(tǒng)計，該地每年平均溫度達到以上時紅鈴蟲會造成嚴(yán)重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治，記該地每年平均溫度達到以上的概率為.記該地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率為，求的最大值，并求出相應(yīng)的概率.

附：回歸方程中，，.

參考數(shù)據(jù)

52151771371781.33.6

22．已知函數(shù)(a≠0)．

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若a＝1，證明：曲線y＝f(x)與直線y＝x＋1恰有兩個公共點，且這兩個公共點關(guān)于點(0，1)對稱．

參考答案：

1．B

【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，以及導(dǎo)數(shù)的計算，即可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意，對函數(shù)，有，

又由，

則，則有.

故選：B.

【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的定義，以及導(dǎo)數(shù)的計算，屬綜合基礎(chǔ)題.

2．A

【分析】根據(jù)題意求出公差，從而可得出答案.

【詳解】設(shè)公差為，

則，解得，

所以.

故選：A.

3．B

【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，根據(jù)已知條件求出的值，可得出等比數(shù)列的通項公式，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)以及等差數(shù)列的求和公式可求得所求代數(shù)式的值.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，

整理可得，解得，所以，，

所以，.

故選：B.

4．A

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，判斷導(dǎo)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)值的正負即可求解.

【詳解】由函數(shù)圖象知為偶函數(shù)，則，因為的導(dǎo)數(shù)存在，

兩邊取導(dǎo)數(shù)可得，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式可得，故，

即為奇函數(shù)，排除CD，

由原函數(shù)圖象可知當(dāng)時，先遞增再遞減，故在時，函數(shù)值先正后負，故排除B，

故選：A

5．D

【分析】分離常數(shù)后可得，再利用倒序相加法，即可求解．

【詳解】當(dāng)時，，

，

，

，

，

，即.

故選：D．

6．C

【分析】由已知得，利用作差法能比較P與0.5的大小關(guān)系.

【詳解】這枚硬幣質(zhì)地不均勻，以致出現(xiàn)正面的概率與出現(xiàn)反面的概率不相等，

出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面是對立事件，設(shè)兩人各擲一次成平局的概率為，

所以，

因為且，所以，

所以．

故選：C．

7．B

【分析】由題可得與在區(qū)間上有三個交點，利用導(dǎo)數(shù)可得與相切時的斜率，進而可得；或把問題轉(zhuǎn)化為與在內(nèi)有三個不同交點．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，再利用數(shù)形結(jié)合即得.

【詳解】方法一：∵函數(shù)在區(qū)間上有三個零點，

與在區(qū)間上有三個交點，

對于函數(shù)，，

設(shè)切點坐標(biāo)為，則，

解得，

，

所以實數(shù)a的取值范圍為；

方法二：函數(shù)在區(qū)間上有三個零點方程在有三個實根與在內(nèi)有三個不同交點．

對于函數(shù)，求導(dǎo)知列表如下：

+0－

注意到當(dāng)時，當(dāng)，

同理，可探究的性質(zhì)，

，故單調(diào)遞減，

作出函數(shù)的圖象，

由圖象可知：.

故選：B．

8．B

【分析】先根據(jù)是上“雙中值函數(shù)”，得到，

再對進行求導(dǎo)，根據(jù)題意得到在上有兩個根，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上有兩個零點，即可求解.

【詳解】解：是上“雙中值函數(shù)”，

，

又，

，

即在上有兩個根，

令，

其對稱軸為：，

故，

解得：.

故選B．

【點睛】方法點睛：本題主要根據(jù)是上“雙中值函數(shù)”，轉(zhuǎn)化為在上有兩個根，設(shè)出二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，列出條件，即可求解的范圍.

9．BCD

【分析】由相關(guān)系數(shù)的實際意義判斷A；由方差性質(zhì)判斷B；根據(jù)正態(tài)分布對稱性求概率判斷C；應(yīng)用全概率公式、條件概率公式求概率判斷D.

【詳解】A：相關(guān)系數(shù)r的絕對值越大，兩變量的線性相關(guān)程度越強，錯；

B：由，則，對；

C：由正態(tài)分布的對稱性知：，對；

D：由，

而，

所以，對.

故選：BCD

10．AD

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.

【詳解】曲線，則，曲線，則，

設(shè)直線l與曲線的切點坐標(biāo)為，則切線方程為，

設(shè)直線l與曲線的切點坐標(biāo)為，則切線方程為，

或，

直線l的斜率為0或．

故選：AD.

11．BD

【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出，由基本不等式判斷A；由指數(shù)和對數(shù)的單調(diào)性以及不等式的性質(zhì)判斷BCD.

【詳解】解：因為正數(shù)，滿足，

所以，構(gòu)造函數(shù)，，

令，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，

所以在上單調(diào)遞增，由，可得，

對于A，，所以，故A錯誤

對于B，由，可得，所以，故B正確

對于C，由，可得，則，故C錯誤

對于D，由，可得，，所以，所以，故D正確．

故選：BD．

12．BCD

【分析】A.將條件變形，利用求根公式，即可求解；

B.根據(jù)通項公式求；

C.作除法，和1比較大小，即可判斷；

D.利用通項公式求，再構(gòu)造函數(shù)證明，利用不等式變形，結(jié)合等差數(shù)列求和，即可證明.

【詳解】A.，變形為，

根據(jù)求根公式可知，因為，

所以，故A錯誤；

B.，故B正確；

C.，

，

所以（）,故C正確；

D.

所以

，

設(shè)，，

，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最大值0，所以，即，當(dāng)時，等號成立，

所以，，

所以

，故D正確.

故選：BCD

13．1

【分析】求導(dǎo)，計算，即可求解.

【詳解】由可得，

所以，解得.

故答案為：1

14．

【分析】設(shè)事件A表示“第一次投中”，事件B表示“第二次投中”，根據(jù)貝葉斯公式直接求解.

【詳解】設(shè)事件A表示“第一次投中”，事件B表示“第二次投中”，由貝葉斯公式可得:

故答案為：.

15．18

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前n項和公式，結(jié)合通項的性質(zhì)計算判斷其所有負數(shù)項作答.

【詳解】等差數(shù)列中，，則，

又，則，即有，

于是數(shù)列的公差，即是遞增等差數(shù)列，其前18項均為負數(shù)，從第19項起為正數(shù)，

因此，所以對任意正整數(shù)n，都有的整數(shù).

故答案為：18

16．

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點斜式方程，將所求問題轉(zhuǎn)化為方程的根的問題，求出函數(shù)表達式，然后再分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求最值即可

【詳解】因為，所以，設(shè)切點為，

由題意，有且僅有一解，即只有一解，

則，解得或（舍），所以，恒成立，即在上恒成立，

當(dāng)時，，此時；

當(dāng)時，在上恒成立，

記，則，，

令，則，，

令，得，令，得，

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

又，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

所以，所以，即，

綜上，，所以實數(shù)的最大值是

故答案為：

【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，如果一次求導(dǎo)無法解決時，可以利用多次求導(dǎo)的方法來解決.在此過程中，要注意導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)間的對應(yīng)關(guān)系.

17．(1)

(2)最小值為-14，最大值18

【分析】（1）由極值和極值點，利用導(dǎo)數(shù)求出未知系數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點處切線的方程.

（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)在區(qū)間上的最值.

【詳解】（1）因，故

由于在處取得極值-14，故有，

化簡得，解得，

經(jīng)檢驗，時，符合題意，所以.

則，，故.

所以曲線在點處的切線方程為：，即

（2），，

解得或；解得，

即函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，

，

因此在的最小值為.最大值為

18．(1)

(2)

【分析】（1）首先根據(jù)與的關(guān)系得到，然后由等差數(shù)列通項公式可得；

（2）利用裂項相消法求解即可.

【詳解】（1）因為，，

所以，

兩邊同除以得，

因為，所以，

因此數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，

所以，所以.

（2）由（1）知，

∴，

∴

.

19．(1)列聯(lián)表答案見解析，沒有足夠證據(jù)認為學(xué)生對“七步洗手法”的掌握程度與性別有關(guān)

(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望

【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，結(jié)合題意，完成列聯(lián)表，再求，即可判斷；（2）根據(jù)分層抽樣的特點求得抽取10人中，女生和男生的分布情況，再結(jié)合X的取值，結(jié)合超幾何分布的概率求解求得分布列，再求數(shù)學(xué)期望即可.

【詳解】（1）由得分情況的頻數(shù)分布表得列聯(lián)表如下：

未能掌握基本掌握合計

女生253358

男生152742

合計4060100

故，

因為，所以沒有足夠證據(jù)認為學(xué)生對“七步洗手法”的掌握程度與性別有關(guān).

（2）由得分情況的頻數(shù)分布表可知，參與網(wǎng)上測試且得分不低于9分的學(xué)生中，

女生9人，男生6人，從而分層抽樣抽取的10人中，女生6人，男生4人.

在10人中隨機抽取3人，記抽到女生的人數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2，3，

所以，，，，

所以隨機變量X的分布列為

X0123

P

所以.

20．(1)

(2)

【分析】（1）用數(shù)列中前項和與項的關(guān)系求解；

（2）先寫出奇數(shù)項、偶數(shù)項的通項公式，再按奇數(shù)項、偶數(shù)項分組求和.

【詳解】（1）由題意

當(dāng)時，；

當(dāng)時，

兩式相減得，

所以，當(dāng)時也成立．

所以數(shù)列的通項公式.

（2）根據(jù)題意，得

所以

所以

21．（1）；

（2）當(dāng)時，.

【分析】（1）根據(jù)散點圖判斷更適宜作為關(guān)于的回歸方程類型；對兩邊取自然對數(shù)，求出回歸方程，再化為關(guān)于的回歸方程；

（2）由對其求對數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)的最值以及對應(yīng)的值.

【詳解】解：（1）由散點圖可以判斷，適宜作為