第三章多指標(biāo)決策3.1概述3.2多指標(biāo)決策基本概念3.3指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化處理3.4無信息的決策原則 3.5線性加權(quán)和法 3.6加權(quán)系數(shù)的確定方法3.7熵技術(shù)

第三章多指標(biāo)決策3.1概述3.1 概述1、單目標(biāo)：實(shí)數(shù)大小比較，多目標(biāo)：多維向量比較2、例圖3.1五個方案的比較3.1 概述1、單目標(biāo)：實(shí)數(shù)大小比較，多目標(biāo)：多維向量比較圖3.1 概述(續(xù)）從圖3.1可知，方案1、2和3可以被方案4和5淘汰。但是，方案4和5無法判斷其優(yōu)劣。此時，決策者有三個選擇1）認(rèn)為方案4和5都是好方案，從中任選一個方案進(jìn)行實(shí)施2）認(rèn)為方案4和5都是好方案，然后把它們再綜合出一個新的好方案進(jìn)行實(shí)施；3）根據(jù)某種意義的最優(yōu)原則，繼續(xù)從方案4和5中選擇一個滿意的方案進(jìn)行實(shí)施。用多目指標(biāo)決策的術(shù)語，方案1、2和3稱為劣解，方案4和5稱為非劣解，又稱有效解，決策者最后選擇的那個實(shí)施方案稱為滿意解。3、多目指決策基本步驟1）從可行解中淘汰劣解；2）從非劣解集合中選取一個滿意解3.1 概述(續(xù)）從圖3.1可知，方案1、2和3可以被方案43.2多指標(biāo)決策基本概念一、實(shí)例 考慮一個購買戰(zhàn)斗機(jī)問題?，F(xiàn)有4種飛機(jī)可供選擇，決策者根據(jù)戰(zhàn)斗機(jī)的性能和費(fèi)用，考慮了6項評價指標(biāo)。如表3.1所示。表3.1購買戰(zhàn)斗機(jī)問題決策矩陣顯然，這是一個多指標(biāo)多方案的決策問題，決策者必須根據(jù)自己的偏愛，在綜合考慮每個方案的各種指標(biāo)后進(jìn)行決策。3.2多指標(biāo)決策基本概念一、實(shí)例顯然，這是一個多指標(biāo)多方案3.2多指標(biāo)決策基本概念（續(xù)）二、多指標(biāo)決策和多目標(biāo)規(guī)劃1、多指標(biāo)決策：具有多指標(biāo)多方案的決策問題2、多目標(biāo)規(guī)劃：具有多個目標(biāo)和約束條件的數(shù)學(xué)規(guī)劃。3、多目標(biāo)決策和多目標(biāo)規(guī)劃的差別：見表3.2所示。多指標(biāo)決策其主要特征是具有有限個離散的方案。它在決策論、經(jīng)濟(jì)學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、心理學(xué)、管理學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用。3.2多指標(biāo)決策基本概念（續(xù)）二、多指標(biāo)決策和多目標(biāo)規(guī)劃多3.2多指標(biāo)決策基本概念（續(xù)）三、多指標(biāo)決策三個構(gòu)成要素1、有n個評價指標(biāo)fj，（1

j

n）2、有m個決策方案Ai，（1

i

m）3、有一個決策矩陣D=(xi,j)m

n，（1

i

m，1

j

n）四、解的意義定義1單指標(biāo)排序下的最大值和最小值（假定多指標(biāo)都是求max）3.2多指標(biāo)決策基本概念（續(xù)）三、多指標(biāo)決策三個構(gòu)成要素3.2多指標(biāo)決策基本概念（續(xù)）定義2理想點(diǎn)F*和最優(yōu)解A*令F*=(f1*,f2*,...,fn*)，稱F*為多指標(biāo)決策的理想點(diǎn)。如果在m個備選方案中，方案A*的n個指標(biāo)恰好等于fj*，則A*就是最優(yōu)解.定義3優(yōu)勢原則和劣解如果2個備選方案As和At有關(guān)系式則稱方案As優(yōu)于At，記為As}At，這時方案At就是劣解，可將其淘汰。定義4非劣解對于某一方案Ak，如果不存在其他方案Ai優(yōu)于它(i=1,2,...,m,i

k)，則稱Ak為非劣解，或稱有效解3.2多指標(biāo)決策基本概念（續(xù)）定義2理想點(diǎn)F*和最優(yōu)解3.2多指標(biāo)決策基本概念（續(xù)）定義5滿意解根據(jù)決策者的偏好信息，從非劣解中選擇出來最優(yōu)非劣解，一般來說它總是某種意義下的最優(yōu)非劣解推論1如果m個方案只有一個非劣解，則其它m-1個方案一定是劣解推論2如果m個方案只有r個非劣解，則其它m-r個方案一定是劣解（1

r

m）五、非劣解的平均個數(shù)表3.3非劣解的平均數(shù)N與方案個m和指標(biāo)數(shù)n統(tǒng)計關(guān)系表3.2多指標(biāo)決策基本概念（續(xù)）定義5滿意解根據(jù)決策3.3指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化處理一、標(biāo)準(zhǔn)化處理方法假定原決策矩陣為D=(xij)m

n，經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化處理后得到的矩陣為R=(rij)m

n

1、向量歸一化優(yōu)點(diǎn)：1）0

rij

1,（1

i

m，1

j

n）2）對于每一個指標(biāo)fj，矩陣R中列向量的模為13.3指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化處理一、標(biāo)準(zhǔn)化處理方法3.3指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化處理（續(xù)）2、線性比例變換優(yōu)點(diǎn)1）0

rij

1,（1

i

m，1

j

n）2）計算方便3）保留了相對排序關(guān)系3、極差變換優(yōu)點(diǎn)1）0

rij

1,（1

i

m，1

j

n）2）對于每一個指標(biāo)總是有最優(yōu)值為1和最劣值為03.3指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化處理（續(xù)）2、線性比例變換3.3指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化處理（續(xù)）二、模糊指標(biāo)變量化1、效益指標(biāo)2、成本指標(biāo)圖3.2模糊效益指標(biāo)的量化圖3.3模糊成本指標(biāo)的量化3.3指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化處理（續(xù)）二、模糊指標(biāo)變量化圖3.23.3指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化處理（續(xù)）三、計算實(shí)例 考慮一個購買戰(zhàn)斗機(jī)為題，有4種飛機(jī)，選擇評價指標(biāo)有6個。如3.1節(jié)中表3.1所示。試對這些指標(biāo)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。表3.1購買戰(zhàn)斗機(jī)問題決策矩陣3.3指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化處理（續(xù)）三、計算實(shí)例3.3指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化處理（續(xù)）1、定性指標(biāo)量化首先將第5個指標(biāo)（可靠性）和第6個指標(biāo)（靈敏度）進(jìn)行定量化處理。這兩個都是效益指標(biāo)。根據(jù)圖3.2可知，它們的量化值如表3.4。 表3.4可靠性和靈敏度指標(biāo)的量化3.3指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化處理（續(xù)）1、定性指標(biāo)量化首先將第53.3指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化處理（續(xù)）1）采用向量歸一化處理公式，可得3.3指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化處理（續(xù)）1）采用向量歸一化處理公式，可3.3指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化處理（續(xù)）2）采用線性比例變換公式，可得3.3指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化處理（續(xù)）2）采用線性比例變換公式，可得3.3指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化處理（續(xù)）2）采用線性比例變換公式，可得3.3指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化處理（續(xù)）2）采用線性比例變換公式，可得3.4無信息的決策原則一、最大最小原則（MaxMin）如購買戰(zhàn)斗機(jī)問題的標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣為按最大最小原則得到所以最優(yōu)方案A*=A33.4無信息的決策原則一、最大最小原則（MaxMin3.4無信息的決策原則（續(xù)）二、最大最大原則（MaxMax）如根據(jù)購買戰(zhàn)斗機(jī)問題的標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣可得所以，最優(yōu)方案A*=A1或A*=A2

或A*=A33.4無信息的決策原則（續(xù)）二、最大最大原則（Max3.4無信息的決策原則（續(xù)）三、折中系數(shù)法如取

=0.6，則根據(jù)購買戰(zhàn)斗機(jī)問題的標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣可得所以最優(yōu)方案A*=A3。3.4無信息的決策原則（續(xù)）三、折中系數(shù)法3.5線性加權(quán)和法1、加權(quán)公式：線性加權(quán)和法是在標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣R=(rij)m

n基礎(chǔ)上進(jìn)行的，它先對n個標(biāo)準(zhǔn)化的指標(biāo)構(gòu)造如下線性加權(quán)和評價函數(shù)然后按如下原則選擇滿意方案A*：如在購買戰(zhàn)斗機(jī)問題中，分別取6個指標(biāo)的重要性權(quán)系數(shù)為w1=0.2，w2=0.1，w3=0.1，w4=0.1，w5=0.2，w6=0.3，則，則根據(jù)其標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣可得U(A1)=0.835U(A2)=0.709U(A3)=0.852U(A4)=0.738Max{U(A1)，U(A2)，U(A3)，U(A4)}=U(A3)=0.702所以最優(yōu)方案A*=A3。3.5線性加權(quán)和法1、加權(quán)公式：線性加權(quán)和法是在標(biāo)準(zhǔn)化決策3.6加權(quán)系數(shù)的確定方法一、專家法1、分別填表并計算有關(guān)參數(shù)表3.5指標(biāo)權(quán)系數(shù)計算表3.6加權(quán)系數(shù)的確定方法一、專家法3.6加權(quán)系數(shù)的確定方法（續(xù)）2、開會討論 首先讓那些有最大偏差的專家發(fā)表意見，通過充分討論以達(dá)到對各目標(biāo)重要性的比較一致的認(rèn)識。二、二項系數(shù)加權(quán)法 假設(shè)已知n個指標(biāo)重要性的優(yōu)先序。不失一般性，我們可按對稱的方式將給定的優(yōu)先序重新調(diào)整，使得中間位置的指標(biāo)最重要，同時重要性分別向兩邊遞減。則當(dāng)n=2k時，排序?yàn)?而當(dāng)n=2k+1時排序?yàn)榱疃椪归_式的各項系數(shù)作為著n個指標(biāo)的權(quán)系數(shù)3.6加權(quán)系數(shù)的確定方法（續(xù)）2、開會討論3.6加權(quán)系數(shù)的確定方法（續(xù)）3.6加權(quán)系數(shù)的確定方法（續(xù)）3.6加權(quán)系數(shù)的確定方法（續(xù)）三、相對比較法 如果決策者比較容易確定兩兩指標(biāo)之間相對重要性程度，則可采用相對比較法確定各指標(biāo)的權(quán)系數(shù)。例如將指標(biāo)f1和f2進(jìn)行比較，如果決策認(rèn)為指標(biāo)f1的重要性程度是指標(biāo)f2的四倍，則取w12=0.8，w21=0.2。其余類推。并令wjj=0，j=1,2,...,n。這樣，各指標(biāo)的權(quán)系數(shù)可按如下公式確定。3.6加權(quán)系數(shù)的確定方法（續(xù)）三、相對比較法3.6加權(quán)系數(shù)的確定方法（續(xù)）例：4種電報設(shè)備選擇 假設(shè)某工廠要新投產(chǎn)一電報設(shè)備，選定4個評價指標(biāo)為造價、功耗、速率和可靠性。共制作了4種樣機(jī)?，F(xiàn)要決定其中一種進(jìn)行批量生產(chǎn)。4種樣機(jī)的各項指標(biāo)如表3.7. 表3.74種樣機(jī)的各項指標(biāo)表3.6加權(quán)系數(shù)的確定方法（續(xù)）例：4種電報設(shè)備選擇3.6加權(quán)系數(shù)的確定方法（續(xù)）解、1）指標(biāo)成標(biāo)準(zhǔn)化先利用線性比例變換將上表的各方案指標(biāo)變換成標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣，如表3.8所示。其中，造價和功耗為成本指標(biāo)，速率和可靠性為效益指標(biāo)。 表3.84種樣機(jī)的各項指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化值表3.6加權(quán)系數(shù)的確定方法（續(xù)）解、1）指標(biāo)成標(biāo)準(zhǔn)化先利用3.6加權(quán)系數(shù)的確定方法（續(xù)）2）確定各指標(biāo)的權(quán)系數(shù) 假設(shè)各指標(biāo)的兩兩相對重要性程度如表3.9所示 表3.9各指標(biāo)的兩兩相對重要性程度表根據(jù)表3.9的各指標(biāo)的兩兩相對重要性程度，可得w1=(0.6+0.7+0.8)/6=0.350,w2=(0.4+0.6+0.7)/6=0.283,w3=(0.3+0.4+0.6)/6=0.217,w4=(0.2+0.3+0.4)/6=0.1503）求各方案的綜合評價值（利用線性加權(quán)和公式）U(A1)=0.756U(A2)=0.7332U(A3)=0.645U(A4)=0.580Max{U(A1)，U(A2)，U(A3)，U(A4)}=Max{0.756,0.7332,0.645,0.580}=0.756所以最優(yōu)方案A*=A1。3.6加權(quán)系數(shù)的確定方法（續(xù)）2）確定各指標(biāo)的權(quán)系數(shù)3.7熵技術(shù)熵技術(shù)是確定多指標(biāo)決策問題中各指標(biāo)權(quán)系數(shù)的一種方法。它是利用決策矩陣和各指標(biāo)的輸出熵來確定各指標(biāo)的權(quán)系數(shù)。考慮m個方案，n各指標(biāo)的多指標(biāo)決策問題的決策矩陣D則利用熵技術(shù)確定各目標(biāo)的權(quán)系數(shù)步驟如下：1、由標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣R=(rij)m

n求Pij3.7熵技術(shù)則利用熵技術(shù)確定各目標(biāo)的權(quán)系數(shù)步驟如下：2、求指標(biāo)fj輸出的熵3、求偏差度dj=1-Ejj=1,2,…,n4、求各目標(biāo)的權(quán)系數(shù)wj，當(dāng)決策者沒有明顯偏好時的權(quán)系數(shù)2、求指標(biāo)fj輸出的熵5、利用wj求修正權(quán)系數(shù)

’j假設(shè)決策者對指標(biāo)fj已