第5章線性二次型的最優(yōu)控制本章主要內(nèi)容：5.1線性二次型問題5.2狀態(tài)調(diào)節(jié)器

5.3輸出調(diào)節(jié)器5.4跟蹤器線性二次型問題的特點（1）最優(yōu)解可寫成統(tǒng)一的解析表達式，實現(xiàn)求解過程規(guī)范化（2）可以兼顧系統(tǒng)的性能指標（快速性、準確性、穩(wěn)定性、靈敏度）第5章線性二次型的最優(yōu)控制本章主要內(nèi)容：線性二次型問題的5.1線性二次型問題線性二次性問題的提法：設(shè)線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

假設(shè)控制向量不受約束，用表示期望輸出，則誤差向量為正定二次型半正定二次型實對稱陣A為正定（半正定）的充要條件是全部特征值>0（>=0)。加權(quán)矩陣總可化為對稱形式。求最優(yōu)控制，使下列二次型性能指標最小。5.1線性二次型問題線性二次性問題的提法：假設(shè)控制向性能指標的物理含義：加權(quán)矩陣的意義：（1）F,Q,R是衡量誤差分量和控制分量的加權(quán)矩陣，可根據(jù)各分量的重要性靈活選取。（2）采用時變矩陣Q(t),R(t)更能適應(yīng)各種特殊情況。例如：

Q(t)可開始取值小，而后取值大性能指標的物理含義：加權(quán)矩陣的意義：線性二次型問題的本質(zhì)：用不大的控制，來保持較小的誤差，以達到能量和誤差綜合最優(yōu)的目的。

線性二次型問題的三種重要情形：

線性二次型問題的本質(zhì)：線性二次型問題的三種重要情形：5.2狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題設(shè)線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

假設(shè)控制向量不受約束，求最優(yōu)控制，使系統(tǒng)的二次型性能指標取極小值。5.2.1有限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題物理意義：以較小的控制能量為代價，使狀態(tài)保持在零值附近。

5.2狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題設(shè)線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為解：1.應(yīng)用最小值原理求解u(t)關(guān)系式因控制不受約束，故沿最優(yōu)軌線有：（R(t)正定，保證其逆陣的存在。）規(guī)范方程組：寫成矩陣形式：其解為：下面思路：確定與的關(guān)系，帶入（5-6）形成狀態(tài)反饋解：1.應(yīng)用最小值原理求解u(t)關(guān)系式因控制不受約束，故沿橫截條件給出了終端時刻二者的關(guān)系：即為了與（5-10）建立聯(lián)系，將（5-9）寫成向終端轉(zhuǎn)移形式：（5-13）-（5-12）*F可得橫截條件給出了終端時刻二者的關(guān)系：即為了與（5-10）建立聯(lián)可實現(xiàn)最優(yōu)

線性反饋控制下面思路：求解P(t),但直接利用（5-16）求解，涉及矩陣求逆，運算量大可實現(xiàn)最優(yōu)

線性反饋控制下面思路：（5-17）對時間求導(dǎo)2.應(yīng)用其性質(zhì)求解p(t)（5-20）與（5-19）相等，可得黎卡提方程（Riccati)邊界條件：

（5-17）對時間求導(dǎo)2.應(yīng)用其性質(zhì)求解p(t)（5-20）還可進一步證明，最優(yōu)性能指標為：黎卡提方程求解問題：（1）可以證明，P(t)為對稱矩陣，只需求解n(n+1)/2個一階微分方程組。（2）為非線性微分方程，大多數(shù)情況下只能通過計算機求出數(shù)值解。還可進一步證明，最優(yōu)性能指標為：黎卡提方程求解問題：（1）根據(jù)系統(tǒng)要求和工程實際經(jīng)驗，選取加權(quán)矩陣F,Q,R3.狀態(tài)調(diào)節(jié)器的設(shè)計步驟（2）求解黎卡提微分方程，求得矩陣P(t)（3）求反饋增益矩陣K(t)及最優(yōu)控制u*(t)（4）求解最優(yōu)軌線x*(t)（5）計算性能指標最優(yōu)值（1）根據(jù)系統(tǒng)要求和工程實際經(jīng)驗，選取加權(quán)矩陣F,Q,R3.例[5-1]已知一階系統(tǒng)的微分方程為求使性能指標為極小值時的最優(yōu)控制。解：二次型性能指標為：其中p(t)為黎卡提方程的解最優(yōu)軌為如下時變一階微分方程的解(可得出解析解）例[5-1]已知一階系統(tǒng)的微分方程為求使性能指標為極小值時的利用matlab求解黎卡提方程的解（數(shù)值解）文件名：dfun1.matfunctiondy=dfun1(t,y)dy=zeros(1,1);%acolumnvectora=-1;q=1;r=1;dy(1)=-2*a*y(1)+y(1)^2-q;利用matlab求解黎卡提方程的解（數(shù)值解）文件名：dfun利用matlab求解黎卡提方程的解（數(shù)值解）文件名：cal_p.mat(主程序）options=odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-4);f=0;%initialvaluesol=ode45(@dfun1,[10],f,options);x=linspace(1,0,100);y=deval(sol,x);plot(x,y);disp(y(100));%p(t0)=y(100)利用matlab求解黎卡提方程的解（數(shù)值解）文件名：cal_利用matlab進行最優(yōu)控制系統(tǒng)仿真利用matlab進行線性二次型的最優(yōu)控制ppt課件線性二次型的最優(yōu)控制ppt課件線性二次型的最優(yōu)控制ppt課件設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

假設(shè)控制向量不受約束，求最優(yōu)控制，使系統(tǒng)的二次型性能指標取極小值。5.2.1無限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題說明：1）要求系統(tǒng)完全能控。2）F=0,人們所關(guān)心的總是系統(tǒng)在有限時間內(nèi)的響應(yīng)設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為假設(shè)控制最優(yōu)軌線滿足下列線性定常齊次方程：性能指標最優(yōu)值可以證明：

P為正定常數(shù)矩陣，滿足下列黎卡提矩陣代數(shù)方程?？梢宰C明：線性定常最優(yōu)調(diào)節(jié)器組成的閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)，是漸近穩(wěn)定的。最優(yōu)軌線滿足下列線性定常齊次方程：性能指標最優(yōu)值可以例[5-2]已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程為求使性能指標為極小值時的最優(yōu)控制。解：化為標準矩陣形式二次型性能指標為：驗證系統(tǒng)能控性例[5-2]已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程為求使性能指標為極小值時的展開整理得到三個代數(shù)方程

P滿足下列黎卡提矩陣代數(shù)方程：系統(tǒng)完全能控，且Q,R為正定對稱矩陣，故最優(yōu)控制存在且唯一解之利用矩陣P正定的性質(zhì)展開整理得到三個代數(shù)方程P滿足下列黎卡提矩陣代數(shù)方程：系與給定條件矛盾，故假設(shè)不成立下面用反證法證明不是所求的根最優(yōu)控制為：利用矩陣P正定的性質(zhì)與給定條件矛盾，故假設(shè)最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)閉環(huán)極點為

a>2,實根，過阻尼a<2,復(fù)根，衰減震蕩最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)閉環(huán)利用matlab計算和仿真A=[01;00]B=[0;1]a=2b=1Q=[1b;ba]R=1K=lqr(A,B,Q,R,0)利用matlab計算和仿真A=[01;線性二次型的最優(yōu)控制ppt課件5.3輸出調(diào)節(jié)器5.2.1有限時間輸出調(diào)節(jié)器問題設(shè)線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

假設(shè)控制向量不受約束，求最優(yōu)控制，使下列二次型性能指標最小。

物理意義：以較小的控制能量為代價，使輸出保持在零值附近。

根據(jù)系統(tǒng)能觀條件，輸出調(diào)節(jié)器問題可轉(zhuǎn)化為狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題

5.3輸出調(diào)節(jié)器5.2.1有限時間輸出調(diào)節(jié)器問題設(shè)將（5-29）代入（5-30）

若是半正定的，則轉(zhuǎn)化為狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題。最優(yōu)控制為：可以證明，如果系統(tǒng)完全可觀測，則是半正定的。將（5-29）代入（5-30）若

有限時間最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。說明：（1）仍然是狀態(tài)反饋，而不是輸出反饋，說明構(gòu)成最優(yōu)控制系統(tǒng)需要全部信息。（2）從工程上講，x(t)是通過y(t)觀測出來的，所以控制的先決條件是，受控系統(tǒng)應(yīng)是可觀測的。有限時間最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。說明：5.2.2無限時間輸出調(diào)節(jié)器問題設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

假設(shè)控制向量不受約束，求最優(yōu)控制，使下列二次型性能指標最小。

與無限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題類似，最優(yōu)控制為：

5.2.2無限時間輸出調(diào)節(jié)器問題設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)例[5-3]已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程為求使性能指標為極小值時的最優(yōu)控制。解：化為標準矩陣形式二次型性能指標為：驗證系統(tǒng)能控性驗證系統(tǒng)能觀性例[5-3]已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程為求使性能指標為極小值時的展開整理得到三個代數(shù)方程

P滿足下列黎卡提矩陣代數(shù)方程：系統(tǒng)完全能控且完全能觀，故最優(yōu)控制為：解之利用矩陣P正定的性質(zhì)展開整理得到三個代數(shù)方程P滿足下列黎卡提矩陣代數(shù)方程：系閉環(huán)傳遞函數(shù)為：最優(yōu)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖：說明：加權(quán)系數(shù)r的取值，只影響閉環(huán)系統(tǒng)的增益，阻尼系數(shù)不變閉環(huán)傳遞函數(shù)為：最優(yōu)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖：說明：加權(quán)系數(shù)r的利用matlab計算和仿真A=[01;00]B=[0;1]C=[10]D=0sys=ss(A,B,C,D)Q=1R=1K=lqry(sys,Q,R,0)利用matlab計算和仿真A=[01;線性二次型的最優(yōu)控制ppt課件5.4跟蹤器設(shè)線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（系統(tǒng)完全可觀測）

假設(shè)控制向量不受約束，用表示期望輸出，則誤差向量為求最優(yōu)控制，使下列二次型性能指標最小。物理意義：以較小的控制能量為代價，使誤差保持在零值附近。

5.4.1線性時變系統(tǒng)的跟蹤問題5.4跟蹤器設(shè)線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（系統(tǒng)完全可觀測）解：1.應(yīng)用最小值原理求解u(t)關(guān)系式規(guī)范方程組：寫成矩陣形式：因控制不受約束，故沿最優(yōu)軌線有：為非齊次線性時變微分方程，其中右邊第二項起著驅(qū)動函數(shù)的作用。解：1.應(yīng)用最小值原理求解u(t)關(guān)系式規(guī)范方程組：寫成矩陣橫截條件給出了終端時刻二者的關(guān)系：將（5-42）代入（5-41），并化簡整理，可得：其解為：橫截條件給出了終端時刻二者的關(guān)系：將（5-42）代入（5-4（5-43）對時間求導(dǎo)2.應(yīng)用系統(tǒng)特性求解p(t)，g(t)（5-45）與（5-46）相等，可得（5-43）對時間求導(dǎo)2.應(yīng)用系統(tǒng)特性求解p(t)，g(t)邊界條件：對所有均成立，推出：邊界條件：對所有均成立，推出：綜上所述，跟蹤問題的最優(yōu)控制規(guī)律如下：

最優(yōu)跟蹤系統(tǒng)反饋結(jié)構(gòu)與最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器反饋結(jié)構(gòu)完全相同，與預(yù)期輸出無關(guān)。

綜上所述，跟蹤問題的最優(yōu)控制規(guī)律如下：最優(yōu)跟蹤系統(tǒng)反饋結(jié)構(gòu)最優(yōu)跟蹤系統(tǒng)與最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器系統(tǒng)的本質(zhì)差異，反映在上。互為負的轉(zhuǎn)置關(guān)系（伴隨矩陣）由（5-54）可知，為了求得，必須在控制過程開始之前知道全部的信息。與有關(guān)，則最優(yōu)控制的現(xiàn)時值也要依賴于預(yù)期輸出的全部未來值。關(guān)鍵在于掌握

變化規(guī)律的方法：預(yù)估，隨機處理（平均最優(yōu)）最優(yōu)跟蹤系統(tǒng)與最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器系統(tǒng)的本質(zhì)差異，反映在最優(yōu)跟蹤系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖伴隨矩陣最優(yōu)跟蹤系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖伴隨矩陣設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（系統(tǒng)完全可觀、可控）

控制向量不受約束，用表示期望輸出，則誤差向量為求最優(yōu)控制，使下列二次型性能指標最小。5.4.2線性定常系統(tǒng)的跟蹤問題設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（系統(tǒng)完全可觀、可控）當足夠大且為有限值時，可得出如下近似結(jié)果：線性定常最優(yōu)跟蹤系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖當足夠大且為有限值時，可得出如下近似結(jié)果：線性定常例[5-4]已知一階系統(tǒng)的狀態(tài)方程：求使性能指標為極小值時的最優(yōu)控制。解：二次型性能指標為：其中p(t)，g(t)為下列方程的解：例[5-4]已知一階系統(tǒng)的狀態(tài)方程：求使性能指標為極小值時的線性二次型的最優(yōu)控制ppt課件線性二次型的最優(yōu)控制ppt課件第5章結(jié)束語研究對象：線性系統(tǒng)在二次型性能