中考數(shù)學專題：將軍飲馬模型(制作人：鄭娥梅)2020

中考數(shù)學專題：將軍飲馬模型(制作人：鄭娥梅)201

【傳說】早在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學和物理的學者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題．將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營B開會，應該怎樣走才能使路程最短？這個問題的答案并不難，據(jù)說海倫略加思索就解決了它．從此以后，這個被稱為“將軍飲馬”的問題便流傳至今．【傳說】212【問題原型】將軍飲馬造橋選址【涉及知識】兩點之間線段最短，垂線段最短；三角形兩邊三邊關(guān)系；軸對稱；平移；3【解題思路】找對稱點，實現(xiàn)折轉(zhuǎn)直知識導航

12【問題原型】將軍飲馬造橋選址【涉及知識】兩3將軍飲馬問題常見模型1將軍飲馬問題141兩定一動型：.

在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之和最小，即PA+PB的和最小.例2

在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之差最小，即PA-PB最小.例3在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之和最小，即PA+PB最小.例1例5

在定直線l上找一個動點C，使動點C到兩個定點A與B的距離之差最大，即|PA-PB|最大例6

在定直線l上找一個動點C，使動點C到兩個定點A與B的距離之差最大，即|PA-PB|最大例4

在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之差最小，即PA-PB最小.1兩定一動型：.在定直線l上找一個動點P，使51例1在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩定點A與B的距離之和最小，即PA+PB最小原理：兩點之間線段最短。針對訓練11例1在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩定點A與B的距離61例2在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之和最小，即PA+PB的和最小.原理：兩點之間線段最短。針對訓練2針對訓練31例2在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距71例3在定直線l上找一個動點p，使動點p到兩個定點A與B的距離之差最大，即|PA-PB|最大原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊針對訓練41例3在定直線l上找一個動點p，使動點p到兩個定點A與B的距81例4在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之差最大，即|PA-PB|最大原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊針對訓練51例4在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距91例5在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之差最小，即∣PA-PB∣最小.原理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等1例5在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距101例6在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之差最小，即∣PA-PB∣最小.原理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等1例6在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距11在∠MON的內(nèi)部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找一點C，使得△BAC周長最短．例7

在∠MON的內(nèi)部有點A和點B，在OM上找一點C，在ON上找一點D，使得四邊形ABCD周長最短．例8

在∠MON的內(nèi)部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找一點C，使得AB＋BC最短．例92兩動一定型在∠MON的內(nèi)部有一點A，在OM上找一點B，121例7在∠MON的內(nèi)部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找一點C，使得△BAC周長最短．原理：兩點之間，線段最短針對訓練6針對訓練71例7在∠MON的內(nèi)部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找131例8在∠MON的外部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找一點C，使得AB＋BC最短．原理：垂線段最短1例8在∠MON的外部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找141例9在∠MON的內(nèi)部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找一點C，使得AB＋BC最短．原理：垂線段最短1例9在∠MON的內(nèi)部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找15

（造橋選址）3

已知A、B是兩個定點，在定直線l上找兩個動點M與N，且MN長度等于定長d（動點M位于動點N左側(cè)），使AM+MN+NB的值最小.例10兩定兩動型最值例12

在∠MON的內(nèi)部有點A和點B，在OM上找一點C，在ON上找一點D，使得四邊形ABCD周長最短．例11（造橋選址）3已知A、B是兩個定點，在定161例10在∠MON的內(nèi)部有點A和點B，在OM上找一點C，在ON上找一點D，使得四邊形ABCD周長最短．原理：兩點之間，線段最短針對訓練81例10在∠MON的內(nèi)部有點A和點B，在OM上找一點C，在O171例11已知A、B是兩個定點，在定直線l上找兩個動點M與N，且MN長度等于定長d（動點M位于動點N左側(cè)），使AM+MN+NB的值最小.原理：兩點之間，線段最短，最小值為A’’B+MN提示：存在定長的動點問題一定要考慮平移1例11已知A、B是兩個定點，在定直線l上找兩個動點M與N，181例12將軍每日需騎馬從軍營出發(fā)，去河岸對側(cè)的瞭望臺觀察敵情，已知河流的寬度為30米，請問，在何地修浮橋，可使得將軍每日的行程最短？直線l1∥l2，在直線l1上找一個點C，直線l2上找一個點D，使得CD⊥l2,且AC＋BD＋CD最短．原理：兩點之間，線段最短1例12將軍每日需騎馬從軍營出發(fā)，去河岸對側(cè)的瞭望臺觀察敵情19用模型戰(zhàn)試題

每一個試題都是模型，每一種模型都有方法2綜合訓練用模型戰(zhàn)試題每一個試題都是模型，每202針對訓練1第1題圖B

1.如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點，E是AB邊上一點，且AE＝2，則線段EF＋CF的最小值為()A.B.2C.D.2返回2針對訓練1第1題圖B1.如圖，等邊△ABC的邊長為4212針對訓練22.如圖，Rt△ABC中，AC＝BC＝4，點D，E分別是AB，AC的中點，在CD上找一點P，使PA＋PE值最小，則這個最小值為()第2題圖D

A.B.2

C.

D.2返回2針對訓練22.如圖，Rt△ABC中，AC＝BC＝4，點D222針對訓練33.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是AB邊上的一點，且AE＝1，點Q為對角線AC上的動點，則△BEQ周長的最小值為(

)第3題圖C

A.B.2

C.

D.返回2針對訓練33.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠DAB232針對訓練4第4題圖A

4.如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，連接AC，O是AC的中點，M是AD上一點，且MD＝1，P是BC上一動點，則PM－PO的最大值為()A.B.

C.

D.3返回2針對訓練4第4題圖A4.如圖，在矩形ABCD中，AB242針對訓練5第5題圖B

5.如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P為CD上的動點，則|PA－PB|的最大值為()A.3B.4

C.5

D.返回2針對訓練5第5題圖B5.如圖，已知△ABC為等腰直角252針對訓練66.如圖，∠AOB＝30°，點M、N分別是射線OA、OB上的動點，OP平分∠AOB，且OP＝6，則△PMN的周長最小值為()第6題圖C

A.4B.5

C.6

D.72針對訓練66.如圖，∠AOB＝30°，點M、N分別是射線262針對訓練77.如圖，已知點C(1，0)，直線y＝－x＋7與兩坐標軸分別交于A、B兩點，D、E分別是AB，OA上的動點，當△CDE周長最小時，點D坐標為________．第7題圖返回2針對訓練77.如圖，已知點C(1，0)，直線y＝－x＋7272針對訓練88.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，點G，H分別是邊BC、CD上的動點，則四邊形EFGH周長的最小值為________．第8題圖返回2針對訓練88.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6281綜合訓練1.如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，點E為AB的中點，M、N是CD上的兩動點，且MN＝1，則EM＋EN的最小值為____。

1綜合訓練1.如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，291綜合訓練2.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，P為對角線BD上的一個動點，則下列線段的長等于AP＋EP最小值的是____。

A.AB

B.DE

C.BD

D.

AF1綜合訓練2.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，3013.如圖，∠AOB＝60°，點P是∠AOB內(nèi)的定點且OP＝，若點M，N分別是射線OA，OB上異于點O的動點，則△PMN周長的最小值是____。

綜合訓練13.如圖，∠AOB＝60°，點P是∠AOB內(nèi)的定點且OP3114.如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝8cm，，M是AB上一動點，CM＋DM的最小值是________．

綜合訓練AC＝CD＝BD︵︵︵14.如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝8cm，3215.如圖，在直角坐標系中，A(－3，－1)，B(－1，－3)，若D是x軸上一動點，C是y軸上的一個動點，則四邊形ABCD的周長的最小值是________．

綜合訓練15.如圖，在直角坐標系中，A(－3，－1)，B(－1，－331綜合訓練61綜合訓練634

此類試題往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標軸、拋物