第十一章曲線回歸第一節(jié)曲線的類型與特點第二節(jié)曲線方程的配置第三節(jié)多項式回歸第十一章曲線回歸第一節(jié)曲線的類型與特點1曲線回歸(curvilinearregression)或非線性回歸(non-linearregression)：兩個變數(shù)間呈現(xiàn)曲線關(guān)系的回歸。曲線回歸分析或非線性回歸分析：以最小二乘法分析曲線關(guān)系資料在數(shù)量變化上的特征和規(guī)律的方法。

曲線回歸(curvilinearregression)或非2曲線回歸分析方法的主要內(nèi)容有：①確定兩個變數(shù)間數(shù)量變化的某種特定的規(guī)則或規(guī)律；②估計表示該種曲線關(guān)系特點的一些重要參數(shù)，如回歸參數(shù)、極大值、極小值和漸近值等；③為生產(chǎn)預(yù)測或試驗控制進行內(nèi)插，或在論據(jù)充足時作出理論上的外推。曲線回歸分析方法的主要內(nèi)容有：3第一節(jié)曲線的類型與特點一、指數(shù)函數(shù)曲線二、對數(shù)函數(shù)曲線三、冪函數(shù)曲線四、雙曲函數(shù)曲線五、S型曲線第一節(jié)曲線的類型與特點一、指數(shù)函數(shù)曲線4一、指數(shù)函數(shù)曲線指數(shù)函數(shù)方程有兩種形式：

圖11.1方程的圖象一、指數(shù)函數(shù)曲線指數(shù)函數(shù)方程有兩種形式：5二、對數(shù)函數(shù)曲線對數(shù)函數(shù)方程的一般表達式為：

圖11.2方程=a+blnx的圖象二、對數(shù)函數(shù)曲線6三、冪函數(shù)曲線冪函數(shù)曲線指y是x某次冪的函數(shù)曲線，其方程為：

圖11.3方程的圖象三、冪函數(shù)曲線7四、雙曲函數(shù)曲線雙曲函數(shù)因其屬于變形雙曲線而得名，其曲線方程一般有以下3種形式：

圖11.4方程的圖象四、雙曲函數(shù)曲線8五、S型曲線S型曲線主要用于描述動、植物的自然生長過程，故又稱生長曲線。Logistic曲線方程為：

五、S型曲線9第二節(jié)曲線方程的配置一、曲線回歸分析的一般程序二、指數(shù)曲線方程的配置三、冪函數(shù)曲線方程的配置四、Logistic曲線方程的配置第二節(jié)曲線方程的配置一、曲線回歸分析的一般程序10一、曲線回歸分析的一般程序曲線方程配置(curvefitting)：是指對兩個變數(shù)資料進行曲線回歸分析，獲得一個顯著的曲線方程的過程。由試驗數(shù)據(jù)配置曲線回歸方程，一般包括以下3個基本步驟：一、曲線回歸分析的一般程序曲線方程配置(curvefitt111．根據(jù)變數(shù)X與Y之間的確切關(guān)系，選擇適當?shù)那€類型。2．對選定的曲線類型，在線性化后按最小二乘法原理配置直線回歸方程，并作顯著性測驗。3．將直線回歸方程轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的曲線回歸方程，并對有關(guān)統(tǒng)計參數(shù)作出推斷。1．根據(jù)變數(shù)X與Y之間的確切關(guān)系，選擇適當?shù)那€類型。12表11.1常用曲線回歸方程的直線化方法表11.1常用曲線回歸方程的直線化方法13應(yīng)用上述程序配置曲線方程時，應(yīng)注意以下3點：(1)若同一資料有多種不同類型的曲線方程配置，需通過判斷來選擇。統(tǒng)計標準是離回歸平方和最小的當選。(2)若轉(zhuǎn)換無法找出顯著的直線化方程，可采用多項式逼近，(3)當一些方程無法進行直線化轉(zhuǎn)換，可采用最小二乘法擬合。應(yīng)用上述程序配置曲線方程時，應(yīng)注意以下3點：14二、指數(shù)曲線方程的配置

(11·1)兩邊取對數(shù)：(11·2)令，可得直線回歸方程：

(11·3)

若

與x的線性相關(guān)系數(shù)：

(11·4)

二、指數(shù)曲線方程的配置15顯著，就可進一步計算回歸統(tǒng)計數(shù)：

(11·5)三、冪函數(shù)曲線方程的配置

(11·6)

顯著，就可進一步計算回歸統(tǒng)計數(shù)：16當y和x都大于0時可線性化為：

(11·7)若令，，即有線性回歸方程：

(11·8)

若線性相關(guān)系數(shù)：

(11·9)當y和x都大于0時可線性化為：17顯著，回歸統(tǒng)計數(shù)：

(11·10)

四、Logistic曲線方程的配置

（a、b、k均＞0）(11·11)

顯著，回歸統(tǒng)計數(shù)：18K可由兩種方法估計：

①如果y是累積頻率，則顯然k=100%；②如果y是生長量或繁殖量，則可取3對觀察值（x1，y1）、（x2，y2）、和（x3，y3），代入(11·11)

得：K可由兩種方法估計：19若令，解得：移項，取自然對數(shù)得：

(11·13)(11·12)若令，解得：(11·13)(1120令，可得直線回歸方程：

(11·14)

和x的相關(guān)系數(shù)：

(11·15)

回歸統(tǒng)計數(shù)a

和b

由下式估計：令，可得直線回歸方程：21

(11·16)(11·16)22第三節(jié)多項式回歸一、多項式回歸方程二、多項式回歸的假設(shè)測驗第三節(jié)多項式回歸一、多項式回歸方程23一、多項式回歸方程(一)多項式回歸方程式多項式回歸(polynomialregression)：當兩個變數(shù)間的曲線關(guān)系很難確定時，可以使用多項式去逼近。二次多項式，其方程為：

(11·17)

一、多項式回歸方程(一)多項式回歸方程式24

三次多項式的方程式為：

(11·18)

三次多項式的方程式為：25多項式方程的一般形式為：

(11·19)

(二)多項式方程次數(shù)的初步確定多項式回歸方程取的次數(shù)：散點所表現(xiàn)的曲線趨勢的峰數(shù)＋谷數(shù)＋１。若散點波動較大或峰谷兩側(cè)不對稱，可再高一次。多項式方程的一般形式為：26(三)多項式回歸統(tǒng)計數(shù)的計算可采用類似于多元線性回歸的方法求解多項式回歸的統(tǒng)計數(shù)。令，，…，(11·19)可化為：

(11·20)

(三)多項式回歸統(tǒng)計數(shù)的計算27可采用矩陣方法求解。即由和可采用矩陣方法求解。即由28求得、和()-1，并由b=()-1()獲得相應(yīng)的多項式回歸統(tǒng)計數(shù)。(四)多項式回歸方程的估計標準誤

y的總平方和SSy可分解為回歸和離回歸兩部分：

SSy=Uk+Qk(11·21)求得、和(29

k次多項式的離回歸標準誤可定義為：

即是多項式回歸方程的估計標準誤。

(11·22)(11·23)

(11·22)(11·23)30二、多項式回歸的假設(shè)測驗多項式回歸的假設(shè)測驗包括三項內(nèi)容：①總的多項式回歸關(guān)系是否成立？②能否以k-1次多項式代替k次多項式，即是否有必要配到k次式？③在一個k次多項式中，X的一次分量項、二次分量項、…、k-1次分量項能否被略去(相應(yīng)的自由度和平方和并入誤差)？

二、多項式回歸的假設(shè)測驗31(一)多項式回歸關(guān)系的假設(shè)測驗多項式回歸(Uk)由X的各次分量項的不同所引起，具有：。離回歸(Qk)：與X的不同無，具有。

可測驗多項式回歸關(guān)系的真實性。

(11·24)(一)多項式回歸關(guān)系的假設(shè)測驗(11·24)32相關(guān)指數(shù)：，k次多項式的回歸平方和占Y總平方和的比率的平方根值，可用來表示Y與X的多項式的相關(guān)密切程度。

決定系數(shù)：在Y的總變異中，可由X的k次多項式說明的部分所占的比率。(11·25)相關(guān)指數(shù)：，k次多項式的回歸平方33(二)k次多項式必要性的假設(shè)測驗若k次多項式的k次項不顯著，可由（k-1）次方程描述Y與X的曲線關(guān)系。

有必要測驗多項式增加一次所用去的1個自由度，對于離回歸平方和的減少(或回歸平方和的增加)是否“合算”。因此由：第十一章-------曲線回歸ppt課件34