第第頁人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.1~5.3綜合拔高練(含解析)人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊

第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.1~5.3綜合拔高練

考點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及其幾何意義

1.(2023課標(biāo)全國Ⅲ,6,5分,)已知曲線y=aex+xlnx在點(diǎn)(1,ae)處的切線方程為y=2x+b,則()

A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1

2.(2023課標(biāo)全國Ⅰ,13,5分,)曲線y=3(x2+x)ex在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.

3.(2023江蘇,11,5分,)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A在曲線y=lnx上,且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)(-e,-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)),則點(diǎn)A的坐標(biāo)是.

4.(2023北京,15,5分,)為滿足人民對美好生活的向往,環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理,排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改.設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為W=f(t),用-的大小評價(jià)在[a,b]這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱.已知整改期內(nèi),甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如圖所示.

給出下列四個(gè)結(jié)論:

①在[t1,t2]這段時(shí)間內(nèi),甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng);②在t2時(shí)刻,甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng);③在t3時(shí)刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo);④甲企業(yè)在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]這三段時(shí)間中,在[0,t1]的污水治理能力最強(qiáng).其中所有正確結(jié)論的序號是.

考點(diǎn)2函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性

5.(2023課標(biāo)全國Ⅲ,7,5分,)函數(shù)y=-x4+x2+2的圖象大致為()

6.(2023北京,13,5分,)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+ae-x(a為常數(shù)).若f(x)為奇函數(shù),則a=;若f(x)是R上的增函數(shù),則a的取值范圍是.

7.(2023課標(biāo)全國Ⅰ文,20,12分,)已知函數(shù)f(x)=ex-a(x+2).

(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

8.(2023課標(biāo)全國Ⅱ,20,12分,)已知函數(shù)f(x)=lnx-.

(1)討論f(x)的單調(diào)性,并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn);

(2)設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn),證明曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0,lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線.

考點(diǎn)3函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值、最大(小)值

9.(2023天津,8,5分,)已知a∈R.設(shè)函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,則a的取值范圍為()

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1,e]

10.(2023課標(biāo)全國Ⅱ,11,5分,)若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)的極值點(diǎn),則f(x)的極小值為()

A.-1B.-2e-3

C.5e-3D.1

11.(2023江蘇,11,5分,)若函數(shù)f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值的和為.

12.(2023課標(biāo)全國Ⅰ,16,5分,)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值是.

13.(2023課標(biāo)全國Ⅰ,16,5分,)如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點(diǎn),△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長變化時(shí),所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為.

14.(2023課標(biāo)全國Ⅲ,20,12分,)已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)是否存在a,b,使得f(x)在區(qū)間[0,1]的最小值為-1且最大值為1若存在,求出a,b的所有值;若不存在,說明理由.

15.(2023課標(biāo)全國Ⅲ理,21,12分,)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+bx+c,曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線與y軸垂直.

(1)求b;

(2)若f(x)有一個(gè)絕對值不大于1的零點(diǎn),證明:f(x)所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1.

16.(2023新高考Ⅰ,21,12分,)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

17.(2023北京,19,13分,)已知函數(shù)f(x)=x3-x2+x.

(1)求曲線y=f(x)的斜率為1的切線方程;

(2)當(dāng)x∈[-2,4]時(shí),求證:x-6≤f(x)≤x;

(3)設(shè)F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R),記F(x)在區(qū)間[-2,4]上的最大值為M(a).當(dāng)M(a)最小時(shí),求a的值.

三年模擬練

應(yīng)用實(shí)踐

1.(2023重慶九校聯(lián)盟高二上期末聯(lián)考,)設(shè)三次函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),函數(shù)y=xf'(x)的圖象的一部分如圖所示,則下列說法正確的是(易錯(cuò))

A.f(x)的極大值為f(3),極小值為f(-3)

B.f(x)的極大值為f(),極小值為f(-)

C.f(x)的極大值為f(-3),極小值為f(3)

D.f(x)的極大值為f(-),極小值為f()

2.(2023江西南昌二中高二上期末,)若函數(shù)f(x)=x2-1與函數(shù)g(x)=alnx-1的圖象存在公切線,則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,e)B.(0,e]C.(0,2e)D.(0,2e]

3.(2023福建福州高三上期末質(zhì)量檢測,)已知函數(shù)f(x)=x2+2ax,g(x)=-,若存在點(diǎn)A(x1,f(x1)),B(x2,g(x2)),使得直線AB與兩曲線y=f(x)和y=g(x)都相切,則當(dāng)實(shí)數(shù)a取最小值時(shí),x1+x2=()

A.2B.C.D.-

4.(多選)(2023山東臨沂高三上期末,)已知函數(shù)f(x)=x+sinx-xcosx的定義域?yàn)閇-2π,2π),則()

A.f(x)為奇函數(shù)

B.f(x)在[0,π)上單調(diào)遞增

C.f(x)恰有4個(gè)極大值點(diǎn)

D.f(x)有且僅有4個(gè)極值點(diǎn)

5.(2023遼寧大連高三上雙基測試,)若點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1.

遷移創(chuàng)新

11.(2023浙江嘉興高三上期末,)已知函數(shù)f(x)=alnx+bx+c(a≠0)有極小值.

(1)試判斷a,b的符號,求f(x)的極小值點(diǎn);

(2)設(shè)f(x)的極小值為m,求證:m+a0),

則g'(x)=+,則g'(x)>0,

∴g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).

又g(e)=0,∴l(xiāng)nx=有唯一解x=e.

∴x0=e,

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(e,1).

4.答案①②③

解析設(shè)y=-,由已知條件可得甲、乙兩個(gè)企業(yè)在[t1,t2]這段時(shí)間內(nèi)污水治理能力強(qiáng)弱的數(shù)值計(jì)算式為-,由題圖易知y甲>y乙,即甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng),所以①對;

由題圖可知,在t=t2處,甲、乙的切線斜率滿足k甲-k乙,即甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng),所以②對;

在t3時(shí)刻,由題圖可知甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水達(dá)標(biāo)排放量以下,所以③對;

由計(jì)算式-可知,甲企業(yè)在[0,t1]這段時(shí)間內(nèi)污水治理能力最弱,所以④錯(cuò).

解后反思本題以環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水處理,排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改這個(gè)情境為載體,貼近生活,要求考生能夠在短時(shí)間內(nèi)審清題意,理清解決問題的思路,建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題,體現(xiàn)試題的教育價(jià)值.通過企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱的計(jì)算式,考查學(xué)生的抽象概括、直觀想象、分析和解決具有實(shí)際意義問題的能力,同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想.

正確理解題目所給的信息,并把信息翻譯成數(shù)學(xué)問題是解決本題的第一個(gè)關(guān)鍵;理解一段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱的計(jì)算式,并把這個(gè)計(jì)算式與函數(shù)圖象在某點(diǎn)處切線的斜率聯(lián)系起來是正確解決本題的第二個(gè)關(guān)鍵.

5.Dy'=-4x3+2x=-2x(x-1)(x+1),當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)y=-x4+x2+2在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.又函數(shù)y=-x4+x2+2為偶函數(shù),所以D選項(xiàng)符合題意.故選D.

6.答案-1;(-∞,0]

解析因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),且f(x)的定義域?yàn)镽,所以f(0)=0,所以e0+a=0,解得a=-1.因?yàn)閒(x)在R上為增函數(shù),所以f'(x)=ex-≥0在R上恒成立,即a≤e2x在R上恒成立,又因?yàn)閑2x>0,所以a≤0,即a的取值范圍為(-∞,0].

7.解析(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ex-x-2,則f'(x)=ex-1.

當(dāng)x0時(shí),f'(x)>0.

所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

(2)f'(x)=ex-a.

當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,

故f(x)至多存在1個(gè)零點(diǎn),不合題意.

當(dāng)a>0時(shí),由f'(x)=0可得x=lna.當(dāng)x∈(-∞,lna)時(shí),f'(x)0.所以f(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增,故當(dāng)x=lna時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(lna)=-a(1+lna).

(i)若0(ii)若a>,則f(lna)0,所以f(x)在(-∞,lna)存在唯一零點(diǎn).

由(1)知,當(dāng)x>2時(shí),ex-x-2>0,所以當(dāng)x>4且x>2ln(2a)時(shí),f(x)=·-a(x+2)>eln(2a)·-a(x+2)=2a>0.

故f(x)在(lna,+∞)存在唯一零點(diǎn).從而f(x)在(-∞,+∞)有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上,a的取值范圍是.

方法總結(jié)已知函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍

(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理構(gòu)建不等式(組)求解.

(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.

(3)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題,從而構(gòu)建不等式(組)求解.

(4)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象和性質(zhì),由函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),判斷函數(shù)的極值大于零還是小于零,從而建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.

8.解析(1)f(x)的定義域?yàn)?0,1)∪(1,+∞).

因?yàn)閒'(x)=+>0,所以f(x)在(0,1),(1,+∞)上單調(diào)遞增.

因?yàn)閒(e)=1-0,所以f(x)在(1,+∞)上有唯一零點(diǎn)x1,即f(x1)=0.又01,則f(x)=x-alnx,f'(x)=1-,

因?yàn)?≤a≤1,x>1,所以f'(x)=1->0,

所以f(x)=x-alnx在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)>1-aln1=1>0.

所以當(dāng)0≤a≤1時(shí),f(x)≥0在R上恒成立.

當(dāng)a>1時(shí),若x≤1,則f(x)=(x-a)2+2a-a2在(-∞,1]上單調(diào)遞減,所以f(x)min=f(1)=1>0.若x>1,則f(x)=x-alnx,f'(x)=1-,令f'(x)=0,得x=a.當(dāng)x∈(1,a)時(shí),f'(x)0,所以f(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x>1時(shí),f(x)min=f(a)=a-alna,若f(x)≥0恒成立,則f(x)min=a-alna≥0,即lna≤1,解得1綜上可知,若f(x)≥0在R上恒成立,則0≤a≤e.故選C.

10.Af'(x)=[x2+(a+2)x+a-1].因?yàn)閤=-2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),所以f'(-2)=0,所以4-2(a+2)+a-1=0,解得a=-1,此時(shí)f'(x)=(x2+x-2).由f'(x)=0,解得x=-2或x=1,且當(dāng)-21時(shí),f'(x)>0,故x=1為f(x)的極小值點(diǎn),所以f(x)的極小值為f(1)=-1.

11.答案-3

解析由題意得,f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).當(dāng)a≤0時(shí),對任意x∈(0,+∞),f'(x)>0,則函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),則f(x)>f(0)=1,則f(x)在(0,+∞)上沒有零點(diǎn),不滿足題意,舍去.當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0及x>0,得x=,則當(dāng)x∈時(shí),f'(x)0,因此函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是,在x=處f(x)取得極小值f=-+1.而函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),所以f=-+1=0,解得a=3,因此f(x)=2x3-3x2+1,則f'(x)=2x(3x-3).令f'(x)=0,結(jié)合x∈[-1,1],得x=0或x=1.而當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)0,則當(dāng)x∈(-∞,0)∪,+∞時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈時(shí),f'(x)0;當(dāng)x∈時(shí),f'(x)時(shí),f(x)只有小于-1的零點(diǎn).

由題設(shè)可知-≤c≤.

當(dāng)c=-時(shí),f(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)-和1.

當(dāng)c=時(shí),f(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)-1和.

當(dāng)-0.所以當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(1)=1,從而f(x)≥1.

當(dāng)a>1時(shí),f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥1.

綜上,a的取值范圍是[1,+∞).

名師點(diǎn)評本題第(2)問中,由不等式成立求參數(shù)的取值范圍,常規(guī)解法是分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,而本題中參數(shù)分布范圍較廣,無法分離,所以要對參數(shù)進(jìn)行分類討論,怎樣分類是本題的一個(gè)難點(diǎn),特別是當(dāng)a>1時(shí),證明f(x)≥1需要用到a=1時(shí)的結(jié)論,思路很窄,技巧性較強(qiáng).

17.解析(1)由f(x)=x3-x2+x,得f'(x)=x2-2x+1.

令f'(x)=1,即x2-2x+1=1,得x=0或x=.

又f(0)=0,f=,所以曲線y=f(x)的斜率為1的切線方程是y=x與y-=x-,即y=x與y=x-.

(2)證明:令g(x)=f(x)-x,x∈[-2,4].則g(x)=x3-x2,g'(x)=x2-2x.

令g'(x)=0,得x=0或x=.

當(dāng)x變化時(shí),g'(x),g(x)的變化情況如下表:

x-2(-2,0)04

g'(x)+0-0+

g(x)-6↗0↘-↗0

所以g(x)的最小值為-6,最大值為0.故-6≤g(x)≤0,即x-6≤f(x)≤x.

(3)由(2)知,當(dāng)a3;

當(dāng)a>-3時(shí),M(a)≥F(-2)=|g(-2)-a|=6+a>3;當(dāng)a=-3時(shí),M(a)=3.

綜上,當(dāng)M(a)最小時(shí),a=-3.

三年模擬練

應(yīng)用實(shí)踐

1.A結(jié)合題中圖象列表如下:

x(-∞,-3)-3(-3,0)0(0,3)3(3,+∞)

xf'(x)+0-0+0-

f'(x)-0++0-

f(x)↘極小值↗↗極大值↘

由表知,A正確,故選A.

易錯(cuò)警示f'(x)與f(x)的圖象可以相互轉(zhuǎn)化,在轉(zhuǎn)化的過程中,導(dǎo)函數(shù)看正負(fù),原函數(shù)看增減;區(qū)間端點(diǎn)值在解題時(shí)要單獨(dú)判斷,如f'(0)的值不能確定,解題時(shí)要防止漏判導(dǎo)致錯(cuò)誤.

2.D設(shè)公切線在f(x)上的切點(diǎn)為P(x1,-1),在g(x)上的切點(diǎn)為Q(x2,alnx2-1).

∵f'(x)=2x,g'(x)=,

∴kPQ=2x1==.

∴2x1x2=a,①

2x1x2-2=alnx2-,即a-=alnx2,

∴a=4-4lnx2.

令h(x)=4x2-4x2lnx(x>0),

則h'(x)=4x(1-2lnx),

令h'(x)=0,得lnx=,解得x=.

當(dāng)00;

當(dāng)x>時(shí),h'(x)h(0)=0恒成立,

當(dāng)x∈(,+∞)時(shí),h(x)單調(diào)遞增,

∴當(dāng)x=時(shí),h(x)有最小值,∴x1=,

則x2==,∴x1+x2=2.故選A.

4.BD∵f(x)的定義域?yàn)閇-2π,2π),

∴f(x)是非奇非偶函數(shù),A錯(cuò)誤.

∵f(x)=x+sinx-xcosx,

∴f'(x)=1+cosx-(cosx-xsinx)

=1+xsinx,

當(dāng)x∈[0,π)時(shí),f'(x)>0,則f(x)在[0,π)上單調(diào)遞增,B正確.

顯然f'(0)≠0,令f'(x)=0,得sinx=-,

分別作出y=sinx,y=-在區(qū)間[-2π,2π)上的圖象,如圖.

由圖可知,這兩個(gè)函數(shù)的圖象在區(qū)間[-2π,2π)上共有4個(gè)公共點(diǎn),且兩個(gè)圖象在這些公共點(diǎn)上都不相切,故f(x)在區(qū)間[-2π,2π)上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4,且f(x)只有2個(gè)極大值點(diǎn),C錯(cuò)誤,D正確.故選BD.

5.D因?yàn)閒(x)=點(diǎn)A(x