第二章直線與平面、

平面與平面的相對(duì)位置

3.1平行問(wèn)題2-1平行問(wèn)題2-2相交問(wèn)題2-3垂直問(wèn)題2-4綜合問(wèn)題分析1第二章直線與平面、

平面與平面的相對(duì)位置3.12-1平行問(wèn)題2.1.1直線與平面平行2.1.2平面與平面平行22-1平行問(wèn)題2.1.1直線與平面平行2.1.22.1.1直線與平面平行若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與該平面平行。PCDBA32.1.1直線與平面平行若平面外的一條直線與平面例1試判斷直線AB是否平行于平面CDE。fg

f

gb

a

abc

e

d

edc結(jié)論：直線AB不平行于定平面XO4例1試判斷直線AB是否平行于平面CDE。fgfgb例2過(guò)點(diǎn)K作一水平線AB平行于已知平面ΔCDE。b

a

af

fbc

e

d

edk

kcXO5例2過(guò)點(diǎn)K作一水平線AB平行于已知平面ΔCDE。ba2.1.2平面與平面平行

若平面內(nèi)的兩相交直線對(duì)應(yīng)地平行于另一平面內(nèi)的兩相交直線，則這兩個(gè)平面平行。PSEFDACB62.1.2平面與平面平行若平面內(nèi)的兩相交直線對(duì)應(yīng)f

e

d

edfc

a

acb

bm

n

mnr

rss

結(jié)論：兩平面平行XO例3試判斷兩平面是否平行7fededfcaacbbmnmnrrss例4已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過(guò)點(diǎn)K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rd

dc

a

acb

bk

kXO8例4已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過(guò)點(diǎn)K作一平面例5試判斷兩平面是否平行結(jié)論：兩平面平行ef

e

fsr

s

d

dc

a

acb

brPHSHXO9例5試判斷兩平面是否平行結(jié)論：兩平面平行efefsr2-2相交問(wèn)題2.2.1積聚性法2.2.2輔助平面法102-2相交問(wèn)題2.2.1積聚性法2.2.2輔助交點(diǎn)與交線的性質(zhì)

直線與平面、平面與平面不平行則必相交。直線與平面相交有交點(diǎn)，交點(diǎn)既在直線上又在平面上，因而交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。兩平面的交線是直線，它是兩個(gè)平面的共有線。求線與面交點(diǎn)、面與面交線的實(shí)質(zhì)是求共有點(diǎn)、共有線的投影。PABKDBCALKEF11交點(diǎn)與交線的性質(zhì)直線與平面、平面與平面不2.2.1積聚性法當(dāng)直線為一般位置，平面的某個(gè)投影具有積聚性時(shí)，交點(diǎn)的一個(gè)投影為直線與平面積聚性投影的交點(diǎn)，另一個(gè)投影可在直線的另一個(gè)投影上找到。VHPHPABCacbkNKM122.2.1積聚性法當(dāng)直線為一般位置，平面的某個(gè)投影直線可見(jiàn)性的判別b

ba

acc

m

mn

k

n

特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影能直接判別直線的可見(jiàn)性--觀察法VHPHPABCacbkNKMk在平面之前13直線可見(jiàn)性的判別bbaaccmmnknXOa’a(b)b’c’e’d’cefdf’kk’例6鉛垂線AB與一般位置平面ΔCDE相交，求交點(diǎn)并判別可見(jiàn)性。14XOa’a(b)b’c’e’d’cefdf’kk’例6鉛（2）兩平面相交f

k

求兩平面交線的問(wèn)題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問(wèn)題,由于特殊位置平面的某些投影有積聚性，交線可直接求出。VHMmnlPBCacbPHkfFKNLnlmm

l

n

bacc

a

b

XOfk15（2）兩平面相交fk求兩平面交線的問(wèn)題平面可見(jiàn)性的判別VHMmnlBCackfFKNLb

bacnlmc

m

a

l

n

fkf

k

XO16平面可見(jiàn)性的判別VHMmnlBCackfFKNLbbacn平面可見(jiàn)性的判別VHMmnlBCackfFKNLXOb

bacnlmc

m

a

l

n

fkf

k

17平面可見(jiàn)性的判別VHMmnlBCackfFKNLXObba過(guò)AB作平面P垂直于H投影面2.2.2輔助平面法DECP12KBA18過(guò)AB作平面P垂直于H投影面2.2.2輔助平面法DECP2PH1

作題步驟：1、過(guò)AB作鉛垂平面P。2、求P平面與ΔCDE的交線ⅠⅡ。3、求交線ⅠⅡ與AB的交點(diǎn)K。XOa

b

bacd

e

edc

12

kk

192PH1作題步驟：2、求P平面與ΔCDE的交線ⅠⅡ。3、求直線AB與平面ΔCDE相交，判別可見(jiàn)性。(

)a

b

bace

edc

d

124

（

）kk

XO3

342

1

20直線AB與平面ΔCDE相交，判別可見(jiàn)性。()ab以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)1

2

QV21步驟：1、過(guò)EF作正垂平面Q。2、求Q平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3、求交線ⅠⅡ與EF的交點(diǎn)K。f

e

efba

acb

c

k

k21以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)12QV21步驟：2、求Q平利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。FBCALKED兩一般位置平面相交求交線的方法22利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其1、用直線與平面求交點(diǎn)的方法求出兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)K、L。bacc

b

a

dd

eff

e

PVQV21k

kl

l2、連接兩個(gè)共有點(diǎn)，畫出交線KL。XO作題步驟1

2

231、用直線與平面求交點(diǎn)的方法求出兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)K、L。利用重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性bacc

b

a

ll

nmm

n

kee

k

3

4

()34

21()1

2

XO兩平面相交，判別可見(jiàn)性24利用重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性baccballnmmnke例7試過(guò)K點(diǎn)作一直線平行于已知平面ΔABC，并與直線EF相交。ac

ba

cb

f

e

efk

kXO25例7試過(guò)K點(diǎn)作一直線平行于已知平面ΔABC，并與直線EF相分析FPCABEKH

過(guò)已知點(diǎn)K作平面P平行于

ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。26分析FPCABEKH過(guò)已知點(diǎn)K作平面P平行于作圖步驟m

n

h

hnmff

ac

ba

cb

e

ek

kPV1

12

21、過(guò)點(diǎn)K作平面KMN//

ABC平面。2、過(guò)直線EF作正垂平面P。3、求平面P與平面KMN的交線ⅠⅡ。4、求交線ⅠⅡ與EF的交點(diǎn)H。5、連接KH，KH即為所求。27作圖步驟mnhhnmffacbacbeek2-3垂直問(wèn)題2.3.1直線與平面垂直2.3.2平面與平面垂直282-3垂直問(wèn)題2.3.1直線與平面垂直2.3.22.3.1直線與平面垂直VHPAKLDCBE幾何條件：若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。292.3.1直線與平面垂直VHPAKLDCBE幾何條件定理1：若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。VPAKLDCBEHa

ad

c

b

dcbe

eknk

n

XO30定理1：若一直線垂直于一平面、則直線的水平投定理2（逆）：若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影、則直線必垂直于該平面。a

cac

n

nkf

d

b

dbfk

VPAKLDCBEHXO31定理2（逆）：若一直線垂直于屬于平面的水平線的水a(chǎn)

cac

nn

mf

d

b

dbfm

例8平面由

BDF給定，試過(guò)定點(diǎn)M作平面的垂線。32acacnnmfdbdbfm例8平面由h

hh

hh

hkk

SVk

kPVk

kQH例9試過(guò)定點(diǎn)K作特殊位置平面的法線。33hhhhhhkkSVkkPVkkQH例9試e

f

em

nmn

c

a

ad

b

cdbfXO例10平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線MN是否垂直于定平面。34efemnmncaadbcdbfXO例10例11試過(guò)點(diǎn)N作一平面，使該平面與V面的夾角為60°，與H面的夾角為45°。n

nXO35例11試過(guò)點(diǎn)N作一平面，使該平面與V面的夾角為60°，平面的法線與平面的最大斜度線對(duì)同一投影面的夾角互為補(bǔ)角HPAKFDCBEf

分析36平面的法線與平面的最大斜度線對(duì)同一投影面的夾角互為補(bǔ)角HPA直徑任取NM|yM-yN||zM-zN|m

h

mnmk|zM-zN||yM-yN|30°45°mnm

n

k

hn

nXO作圖過(guò)程37直徑任取NM|yM-yN||zM-zN|mhmnmk|2.3.2兩平面垂直幾何條件：若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。PAB382.3.2兩平面垂直幾何條件：若一直線垂反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個(gè)平面的任意一點(diǎn)向第二個(gè)平面作的垂線必屬于第一個(gè)平面。ABⅠⅡ兩平面垂直兩平面不垂直ⅡⅠAB39反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個(gè)平面的任意一點(diǎn)向g

ha

cac

h

kk

f

d

b

dbfgXO例12平面由

BDF給定，試過(guò)定點(diǎn)K作已知平面的垂面40ghacachkkfdbdbfgXO例12g

h

a

chac

kk

b

bgf

fd

d結(jié)論：兩平面不平行。XO例13試判斷

ABC與相交兩直線KG和KH所給定的平面是否垂直。41ghachackkbbgffdd結(jié)論：兩平面2-4綜合問(wèn)題分析及解法2.4.1空間幾何元素定位問(wèn)題2.4.2空間幾何元素度量問(wèn)題422-4綜合問(wèn)題分析及解法2.4.1空間幾何元素平行、相交、及垂直等問(wèn)題側(cè)重于探求每一個(gè)單個(gè)問(wèn)題的投影特性、作圖原理與方法。而實(shí)際問(wèn)題是綜合性的，涉及多項(xiàng)內(nèi)容，需要多種作圖方法才能解決。求解綜合問(wèn)題主要包括：空間幾何元素的定位問(wèn)題（交點(diǎn)、交線）和空間幾何元素的度量問(wèn)題（如距離、角度）。綜合問(wèn)題解題的一般步驟：

1.分析題意2.明確所求結(jié)果，找出解題方法3.擬定解題步驟43平行、相交、及垂直等問(wèn)題側(cè)重于探例14已知三條直線CD、EF和GH，求作一直線AB與CD平行，并且與EF、GH均相交。c

g

h

e

f

d

cefghdXO2.4.1空間幾何元素定位問(wèn)題44例14已知三條直線CD、EF和GH，求作一直線AB與CD分析所求得直線AB一定在平行于CD的平面上，并且與交叉直線EF、GH相交。ABCDHGEF45分析所求得直線AB一定在平行于CD的平面上，作圖過(guò)程k

kc

g

h

e

f

d

cefghdXOPV11

2

2aa

bb

46作圖過(guò)程kkcghefdcefghdXOPV1例15試過(guò)定點(diǎn)A作直線與已知直線EF正交。a

efaf

e

XO47例15試過(guò)定點(diǎn)A作直線與已知直線EF正交。aefaf分析EQFAK過(guò)已知點(diǎn)A作平面與已知直線EF交于點(diǎn)K，連接AK，AK即為所求。48分析EQFAK過(guò)已知點(diǎn)A作平面與已知直線EF交于點(diǎn)K，連接A作圖過(guò)程2

1a

efaf

e

1

22

PVa

efaf

e

1

k

k2149作圖過(guò)程21aefafe122PVaefaf例16求點(diǎn)C到直線AB的距離。c

a

b

cabXO50例16求點(diǎn)C到直線AB的距離。cabcabXO50分析PABCK過(guò)C點(diǎn)作直線AB的垂線CK一定在過(guò)C點(diǎn)并且與AB垂直的平面P內(nèi)，過(guò)C點(diǎn)作一平面與直線AB垂直，求出該平面與AB的交點(diǎn)K，最后求出垂線CK的實(shí)長(zhǎng)即為所求。51分析PABCK過(guò)C點(diǎn)作直線AB的垂線CK一定作圖過(guò)程c

a

b

cabXOe

d

ed1

2

12kk

所求距離52作圖過(guò)程cabcabXOeded1212kk例17求交叉直線AB和CD的公垂線。cc

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