北師大新版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

第六章

概率4.2超幾何分布學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)具體實(shí)例，了解超幾何分布的概念；（重點(diǎn)）2.理解超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系（難點(diǎn)）3.會(huì)用超幾何分布解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.（難點(diǎn)）復(fù)習(xí)導(dǎo)入1.離散型隨機(jī)變量

所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量的分布列······3.分布列的性質(zhì)Xx1x2…xi…xnPP1P2…Pi…Pn復(fù)習(xí)導(dǎo)入2.二項(xiàng)分布X01knP1.n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)式定理有聯(lián)系嗎?(其中k=0，1，2，···，n)隨機(jī)變量X的分布列:

X01kn

P引例：已知在10件產(chǎn)品中有4件次品，現(xiàn)從這10件產(chǎn)品中任取3件，用X表示取得的次品數(shù)，試寫出X的分布列.

分析

已知在10件產(chǎn)品中有4件次品，故X的可能取值為0,1,2,3.

類似地，“X=1”表示“任取的3件產(chǎn)品中恰有1件次品”，這意味著，取出1件次品和3-1件正品，共有C41C10-43-1種取法。故

事實(shí)上，“X=k”（k=0,1,2,3）表示“取出的3件產(chǎn)品中恰有k件次品”，這意味著，從4件次品中取出k件，再?gòu)?0-4件正品中取出3-k件，共有C4kC10-43-k種取法，故X的分布列為

當(dāng)總產(chǎn)品個(gè)數(shù)為N個(gè)，其中次品個(gè)數(shù)為M個(gè)，從中任取n件產(chǎn)品，用X表示取出的次品個(gè)數(shù)，你能寫出它的分布列嗎？？因此，隨機(jī)變量X的分布列如下表：X0123P

超幾何分布

注意：1.由較明顯的兩部分組成；2.不放回抽樣；3.注意分布列的表達(dá)式中，各個(gè)字母的含義及隨機(jī)變量的取值范圍.1.公式中個(gè)字母的含義N—總體中的個(gè)體總數(shù)M—總體中的特殊個(gè)體總數(shù)(如次品總數(shù))n—樣本容量k—樣本中的特殊個(gè)體數(shù)(如次品數(shù))2.求分布列時(shí)可以直接利用組合數(shù)的意義列式計(jì)算,不必機(jī)械記憶這個(gè)概率分布列.3.“任取n件,恰有k件次品”是一次性抽取,用組合數(shù)列式.4.各對(duì)應(yīng)的概率和必須為1.

其中n≤N,M≤N,n,M,N∈N+.注意：例1、下列隨機(jī)變量X是否服從超幾何分布？如果服從，那么各分布的參數(shù)（即定義中的N,M,n）分別是多少？（1）一個(gè)班共有45名同學(xué)，其中女生20人，現(xiàn)從中任選7人，用X表示其中女生的人數(shù)；是，N=45，M=20，n=7是，N=8，M=6，n=3題型一：判斷是否為超幾何分布（2）袋中有完全相同的6個(gè)黑球和2個(gè)白球，從中取出3個(gè)球，用X表示取出的黑球的個(gè)數(shù).

超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系（1）由古典概型得出超幾何分布，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)得出二項(xiàng)分布，放回摸球是二項(xiàng)分布，不放回摸球是超幾何分布.（2）對(duì)于不放回摸球，當(dāng)N充分大，且n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí)，各次抽樣結(jié)果彼此影響很小，可近似認(rèn)為是獨(dú)立的.此時(shí)，超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似.因此X的分布列為X0123P求分布列的步驟:定值

求概率

列表

（1）求取出的3個(gè)球的顏色都不相同的概率；

0123

現(xiàn)有10張獎(jiǎng)券，其中8張1元的，2張5元的，從中同時(shí)任取3張，求所得金額的分布列．

3711因此，X的分布列為：

X

0

12

3

P變式訓(xùn)練

盒中有16個(gè)白球和4個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，設(shè)X表示其中黑球的個(gè)數(shù)，求出X的分布列.若X服從超幾何分布,

超幾何分布的均值若X服從超幾何分布,

探究2

超幾何分布的期望

根據(jù)國(guó)家工信部關(guān)于全面推行中國(guó)特色企業(yè)新型學(xué)徒制，加強(qiáng)技能人才培養(yǎng)的通知，我區(qū)明確面向各類企業(yè)全面推行企業(yè)新型學(xué)徒制培訓(xùn)，深化產(chǎn)教融合，校企合作，學(xué)徒培養(yǎng)以符合企業(yè)崗位需要的中、高級(jí)技術(shù)工人.2022年度某企業(yè)共需要學(xué)徒制培訓(xùn)200人，培訓(xùn)結(jié)束后進(jìn)行考核，現(xiàn)對(duì)考核取得相應(yīng)崗位證書(shū)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)情況如下表：崗位證書(shū)初級(jí)工中級(jí)工高級(jí)工技師高級(jí)技師人數(shù)2060604020問(wèn)題1：.現(xiàn)從這200人中采用分層隨機(jī)抽樣的方式選出10人組成學(xué)習(xí)技能經(jīng)驗(yàn)交流團(tuán)，則交流團(tuán)中取得技師類（包括技師和高級(jí)技師）崗位證書(shū)的人數(shù)是多少？

0123

方法總結(jié)：

解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是，先判斷所給的問(wèn)題是否是超幾何分布問(wèn)題，若是則直接利用公式求出離散型隨機(jī)變量X的概率，要注意N,M,n的取值.當(dāng)然也可以用古典概型來(lái)求概率.

（1）從混合的芯片中任取1個(gè)，求這個(gè)芯片是合格品的概率；

0123

某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來(lái)自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來(lái)自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)（每位同學(xué)被選到的可能性相同）．（1）

求選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率；

0123

當(dāng)堂檢測(cè)2、一批產(chǎn)品共10件，次品率為20﹪，從中任取2件，則正好取到1件次品的概率是（）B10351、設(shè)10件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從中抽取5件，用X表示抽到的次品的件數(shù)，則X服從參數(shù)為_(kāi)__、____、____(即定義中的N,M,n)的超幾何分布.

C

D

注意：1.由較明顯的兩部分組成；2.不放回抽樣；3.注意分布列的表達(dá)式中，各個(gè)字母的含義及隨機(jī)變量的取值范圍.

一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(M≤N)件次品.從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品，用X表示取岀的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么

其中n≤N,M≤N,n,M,N∈N+.1.超幾何分布

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