學(xué)生姓名學(xué)生姓名填寫時(shí)間數(shù)學(xué)年級上課時(shí)間課題名正余弦定理解三角形課時(shí)計(jì)劃稱1．正、余弦定理解三角形.教學(xué)目2．正、余弦定理判斷三角形的形狀以及計(jì)算三角形的面積.3.正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用（靈活運(yùn)用）教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)1．掌握利用正、余弦定理解任意三角形的方法.2．正、余弦定理判斷三角形的形狀以及計(jì)算三角形的面積.標(biāo)【知識梳理】(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sinA＝2R，sinB＝2R，sinC＝2R等形式，以解決不同的三角形問題.＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b23．S△ABC＝2absinC＝2bcsinA＝2acsinB＝4R＝2(a＋b4.三角形內(nèi)角和為π,故有sinA>0sinA＝sin(B+C)，cosAcos(B+C)5.三角形大邊對大角，或者說大角對大邊。即：若a>b,A>B,sinA>sinB知一推二6.正弦值(不是1)的情況下，對應(yīng)角度有兩個(gè)，而余弦值與角度一一對應(yīng)?！境？伎键c(diǎn)】1．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法.2．考查利用正、余弦定理判斷三角形的形狀以及計(jì)算三角形的面積.3.正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用（靈活運(yùn)用）【解題關(guān)鍵】1．三角函數(shù)及三角恒等變換的基礎(chǔ).3.能利用三角形的判定方法準(zhǔn)確判斷解三角形的情況。5．已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時(shí)，注意解的情況．如已知a，b，A，則AA為鈍角或A為銳角直角bsinA＜aa＜bsinA解的兩解個(gè)數(shù)式a＝bsinA無解無解【一條規(guī)律】在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較【兩類問題】已知兩邊及一邊的對角，求其它邊或角．情況(2)中結(jié)果可能有一解、兩解、無解，應(yīng)已知三邊，求各角.【兩種途徑】根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：雙基自測A．52B．102解析由A＋B＋C＝180°,知C＝45°,答案CA．30°B．45°C．60°D．90°答案BA．30°B．45°C．60°D．75°∵0＜A<π,∴A＝60°.答案C14．在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝3，則△ABC的面積為().1解析∵cosC＝3，0＜C<π,1△ABC2△ABC2答案C＋b2－c23ab，∴cosC==-＋b2－∴cosC==-故C＝150°為三角形的最大內(nèi)角.考點(diǎn)一利用正弦定理解三角形[審題視點(diǎn)]已知兩邊及一邊對角或已知兩角及一邊，可利用正弦定理解這個(gè)三角形，但要注意解的判斷.解322=＝180°-45°-60°=75°,c==;c==;＝180°-45°-120°=15°,c.bsinCc.(1)已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意.且＝2，sin2A＋cos2A＝1，聯(lián)立解得sin再由正弦定理得=再由正弦定理得=代入數(shù)據(jù)解得a＝210.答案5考點(diǎn)二利用余弦定理解三角形(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面積.[審題視點(diǎn)]由cosC2a＋c，利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解.＋c2－b2＋b2＋b2－c2＋b2－c2b＋b2－c2b=-＋c2－b2ac.＋c2－b2－ac＋c2－b2－ac122＋c2－2accosB，22－2ac－2accosB，(1)(1)△ABC＝2acsinB＝4.(1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵.用.【訓(xùn)練2】已知A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，其所對的邊分別為a，b，c，A且2cos22＋cosA＝0.(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面積.A得1＋cosA＋cosA＝0，∵0＜A<π,∴A＝.＋c2－2bccosA，A2－bc，又a＝23，b＋c＝4，考點(diǎn)三利用正、余弦定理判斷三角形形狀[審題視點(diǎn)]首先邊化角或角化邊，再整理化簡即可判斷.－B)＋sinC]＝a2[sinC－sin(A－B)]，即b2sinAcosB＝a2cosAsinB，即sin2BsinAcosB＝sin2AcosBsinB，所以sin2B＝sin2A，由于A，B是三角形的內(nèi)角.=π-2B，故△ABC為等腰三角形或直角三角形.判斷三角形的形狀的基本思想是；利用正、余弦定理進(jìn)行邊角的統(tǒng)一．即將條件化為只含角的三角函數(shù)關(guān)系式，然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見的化簡變形得出三邊的關(guān)系.【訓(xùn)練3】在△ABC中，若cosA＝cosB＝cosC；則△ABC是().A．直角三角形B．等邊三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形解析由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R為△ABC外接圓半徑).即tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C.答案B考點(diǎn)四正、余弦定理的綜合應(yīng)用3【例3】?在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c＝2，C＝-.3(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面積.程組求解；第(2)問根據(jù)sinC＋sin(B－A)＝2sin2A進(jìn)行三角恒等變換，將角的關(guān)系轉(zhuǎn)換為邊的關(guān)系，求出邊a，b的值即可解決問題.解(1)由余弦定理及已知條件，得a2＋b2－ab＝4.＋b2－ablab＝4，lb＝2.(2)由題意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA.當(dāng)cosA≠0時(shí)，得sinB＝2sin由正弦定理，得b＝2a.＋聯(lián)立方程組〈解得lb＝43正弦定理、余弦定理、三角形面積公式對任意三角形都成立，通過這些等式就可以把有限的條件納入到方程中，通過解方程組獲得更多的元素，再通過這些新的條件解決問題.【訓(xùn)練3】(2011·北京西城一模)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，4c，且cosB＝5，b＝2.4由正弦定理sinA＝sinB，可得sin30°=-3，5所以a＝3.5(2)因?yàn)椤鰽BC的面積S＝2ac·sinB，sinB＝3所以10ac＝3，ac＝10.38585所以a＋c＝210.閱卷報(bào)告4——忽視三角形中的邊角條件致錯不對，對而不全”的情況，其主要原因就是忽視三角形中的邊角條件.,中的邊角條件.b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求邊BC上的高.錯因忽視三角形中“大邊對大角”的定理，產(chǎn)生了增根.以下解答過程略.∴1＋2cos(B＋C)＝1－2cosA＝0，∴A＝-3.∴sinB==bsin∴sinB===π-(A＋B)＝-∴sinC＝sin(B＋A)＝sinBcosA＋cosBsinA∴BC邊上的高為bsin【試一試】△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB＋bcos2bsin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝2sinA.b故sinB＝2sinA，所以a＝2.2.【鞏固練習(xí)】A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．不確定2A.π6B.π3C.3D.6面積為()π64A．10B．9C．8D．53