17161716例說影響數(shù)學問題解決的主要因素摘要：數(shù)學問題的解決是一項非常復雜的心理活動，受各方面因素的影響.本文以實例為基礎(chǔ)，選取思維定勢、問題表征、元認知、基礎(chǔ)經(jīng)驗和情感因素等五個角度，來說明它們對數(shù)學問題解決具有重要的作用.關(guān)鍵詞：問題解決；思維定勢；元認知；問題表征；情感數(shù)學問題的解決是一項非常復雜的心理活動，受多方面因素的影.從已有的研究來看，大體上可以分為兩類：內(nèi)部因素和外部因素.下面我們通過一些實例來說明影響數(shù)學問題解決的因素.思維定勢思維定勢是一種思維的定向預備狀態(tài)，是在思維不受到新干擾的情況下，人們依照既定的方向或方法去思考問題.它容易使人們把面臨的問題和以前解決過的問題進行比較；把當前情境和已有知識經(jīng)驗聯(lián)系起來，去識別、理解那些意義不明、特征不清、條件隱蔽的對象，從而為問題解決做好準備.它對問題解決有積極作用，可以提高學生解題能力，加快解題速度，這是顯而易見的.但它也有消極的一面，它可能產(chǎn)生干擾作用，使學生思維僵化，解題方法固定化，影響學生思維的拓展，更嚴重的會使解題過程中出現(xiàn)原則性錯誤.例1.求二次函數(shù)y二ax2+bx+c的最大值或最小值，通常用“配方法”y=ax2+bx+y=ax2+bx+c=a因此，當a<0時,x=-2-時,2a(b)2)(b￥+c=ax+——t2a丿丿t2a丿4ac-b2y最大4ac-b24ab4ac-b2當a>0時，x=-云時，y最小=F_(b￥在學習過程中，許多學生都把注意力放在“配方”和x+丁>0上，而對于是否能t2a丿b取x=-則往往不予注意。若教師在開始訓練階段，對這點沒有給予充分重視，則經(jīng)過2a一段時間的強化訓練后，學生就會形成“不顧x的取值范圍”的定勢?當遇到下面類似的問題時就會產(chǎn)生錯誤：a,卩是方程4x2-4mx+m+2=0的兩個根，問m為何值時，a2+卩2有最小值？解：因為a2解：因為a2邛2=(a邛?-2aB=m2-因此當m二與7時,4a2+P2有最小值0.17還有許多學生得出最小值為-二.16出現(xiàn)上述錯誤的原因不是因為學生頭腦中缺乏相關(guān)知識，而是因為用“配方法”求''最值”的規(guī)則在一定的強化訓練后已經(jīng)程序化了，形成了一種定勢這樣以來，學生就很難對它進行有意識的檢驗和評價，因而很少甚至絕不會想到再考慮另一些更可取的方法問題表征有研究表明，問題表征影響著問題解決的難易程度，甚至是問題能否成功解決的關(guān)鍵。(Hayes&Simon,1976;Newell&Simon,1972).對于同一個問題可以有兩種或兩種以上等價的表征方式，盡管這些表征方式都是正確的，但利用不同的表征方式解題時，就對解題者提出了不同的要求?可以從下例略見一二.例2,證明：如果三個實數(shù)的倒數(shù)和與這三個數(shù)和的倒數(shù)相等，那么這三個數(shù)必有兩個互為相反數(shù).對于此題，主要考察的是讓學生能用數(shù)學數(shù)式表征出文字性的語句.此題的不同表征會很大程度上影響這道題的有效解答，它依賴于對文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)式的恰當表征.以數(shù)式表7CC1111征為：a,b,ceR,a,b,c均不為零，且滿足a+b+c豐0，若有一+丁+-=，則abca+b+c(a+b)(b+c)(a+c)=0?而關(guān)鍵在于結(jié)論中的“那么這三個數(shù)必有兩個互為相反數(shù)”的等價表征(a+b)(b+c)(a+c)=0?學優(yōu)生大部分都能清晰明了的表征出這個問題的所有需要的數(shù)式表征，只有少數(shù)學優(yōu)生在化簡的過程中出現(xiàn)一些小問題?而后進生大都只能將結(jié)論前的語言文字以數(shù)式表征出來，對于此題中最關(guān)鍵的結(jié)論表征不出，甚至有些學困生對語言文字都不能正確的表征，導致后進生無法解出這道題元認知數(shù)學問題解決中的元認知，是指學生對自己解題活動過程的認識和調(diào)控?它在解題中起著調(diào)控的作用，使解題者始終處于一種清醒的狀態(tài)，不至于走進死胡同?當一種方法行不通時，有些人能及時調(diào)整策略、采取適宜的方法來解決問題；有些人則陷入困境不能自拔，不能對問題重新表征，調(diào)整解策略?可見，元認知在問題解決中起著重要作用，元認知水平的高低是問題能否成功解決的重要因素.例4.(1999年高考題)在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種一壟，為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選擇方法共有—種.不少學生首先企圖判斷這一道題是排列還是組合，并打算列式計算?但“因間隔不小于6壟”無法處理而百思不得其解.把一道通過簡單的一一列舉，在30秒內(nèi)就可求解的問題，變得神秘莫測?除過思維定勢之外，這不能不歸結(jié)為元認知水平.例5.(1999年高考題)如圖多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形,EF//AB,EF=3/2,EF與面AC的距離為2,則該多面體的體積為—(A)9/2,(B)5,(C)6,(D)15/2.由于題給多面體是是課本上沒有出現(xiàn)過的楔形幾何體，諸多考生不知多措?而思路靈活者通過觀察，很容易發(fā)現(xiàn)EF與平面AC的位置不確定，于是采用特殊值法可以認為ABCF所在平面與平面AC垂直，從而把多面體分截為一個三棱柱與一個四棱錐，即可快速求解?這種不拘泥于解題套路的選擇、判斷、分解、組合與建構(gòu)，應(yīng)該歸結(jié)為元認知的調(diào)控作用.

知識經(jīng)驗問題解決的基本形式是化歸，即把未知的問題化歸為已知的問題；把非典型的問題化歸為典型的問題；把非常規(guī)的問題化歸為常規(guī)的問題；等等。而化歸的前提則是解題者應(yīng)當具備一定的基礎(chǔ)知識和相關(guān)的解題經(jīng)驗?；A(chǔ)知識薄弱，解題經(jīng)驗不足，要解決問題是有一定困難的.例如，有些學生在考試時一個題都不會作，原因在于他上課從來未聽過，課后也從不翻書?他的頭腦或認知結(jié)構(gòu)中就沒有這些基礎(chǔ)知識和解題經(jīng)驗可供提取一位朋友曾說起一件教學實事，就發(fā)生在她所教的兩個班里：在一次測驗中，有這樣一道題“已知數(shù)列｛a｝的通項公式a=3n+2”-1，求數(shù)列｛a｝的前n項和S”.平時兩個水nnnn平相當?shù)陌啵渲幸粋€班（甲）有70%以上的人都做對了這道題，而另外一個班（乙）僅有三個人答對了.這道題只要先寫出前幾項,就可以利用分組求和來解決?而兩個水平相當?shù)陌嗉壴趺磿霈F(xiàn)如此大的懸殊呢？這說起來也巧，就在測驗前一晚的自習上，朋友在甲班曾講過下面這道題，“求下列數(shù)列的和，S=-1+3-5+7-…+（-1》（2n-1）”這道題實際上n就是采用分組求和來解決的?朋友在講這道題時，是先讓學生自己尋找解決問題的方法，觀察這道題的特點，逐步解決問題.學生親身經(jīng)歷了探求問題的方法，積累了關(guān)于這一類型題的基本經(jīng)驗，并在老師的引導下總結(jié)了求解這類問題的方法.對甲班學生來說，在面對測驗題時，認知結(jié)構(gòu)中存在解這類題的經(jīng)驗（基本題型），應(yīng)對起來就相對容易些.而乙班大多數(shù)學生由于沒有這一經(jīng)驗，作起來就顯得比較麻煩.這一案例足以說明解題經(jīng)驗對問題解決的重要作用。情感因素研究表明，動機和信念在問題解決的過程中同樣有著重要的意義.波利亞曾經(jīng)指出：“一個你已經(jīng)很好了解并應(yīng)該去做的問題還不能說就是你的問題，只有當你愿意去解它，下決心要去做它，它才真正變成了你的問題，你也才真正有了一個問題……你卷進問題的深淺程度將取決于你了解它的愿望的殷切程度，除非你有十分強烈的愿望，否則要解出一個真正的難題的可能性是很小的?”蒙太格認為，成功的問題解決有賴于積極的數(shù)學學習態(tài)度、解題興趣、獨立學習，以及對本身能力的自信，低動機與低的自我概念將嚴重影響學習的效果.下面看一個實例：例4.在△ABC中，ZABC=90。，AC=BC.直線MN經(jīng)過點C，且AD丄MN于D，BE丄MN于E.⑴當直線MN繞點⑴當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時,⑵當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時,⑶當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時,求證:求證:試問:①厶ADC處CEB②DE=AD+BE.DE=AD—BE.DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？圖3這是我輔導的一個學生的期中考試題，是試卷的最后一題?圖3這是我輔導的一個學生的期中考試題，是試卷的最后一題?此題與之前講過的另一題目類似，但那學生卻沒做.了解后才知道，他并非時間不充分，而是缺乏自信.學生這樣告訴我，“我半個小時就把所有的題都寫了，這道題一看那么長，就覺得好煩啊，并且還在最后，一定是很難，我肯定做不來”.我告訴他，其實這是一道很簡單的題，并且咱們以前還講過.于是讓他一字一句地讀題，在不斷的追問下，他很快的作出了這道題.“?。≡瓉磉@么簡單，哎…”學生顯出很可惜的樣子.學生被一道“很煩”的題給嚇住了，他缺乏的是對問題的探索精神、對成功解題的信心，以及追求真理的信念.可見，情感因素也是影響問題解決的重要因素，所以教師在傳授學科知識的同時，也不能忽視學生情感因素的培養(yǎng).以上通過一些實例，從幾個角度對影響數(shù)學問題解決的因素作了簡要的說明.除此之外，問題的難易程度、抽象程度、解題策略的選擇、解題者的邏輯思維能力、空間想象能力、對問題的評估能力等都明顯的影響著問題的解決.參考文獻:鮑建生，周超.數(shù)學學習的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海:上海教育出版社，2009.