2022-2023學(xué)年北京市房山區(qū)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)定義直接計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以.故選：A2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出復(fù)數(shù)，再求出共軛復(fù)數(shù)作答.【詳解】依題意，，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù).故選：B3．已知表示兩條不同直線(xiàn)，表示平面，下列說(shuō)法正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【分析】根據(jù)平行與垂直關(guān)系相關(guān)定理依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，若，，則可能平行、相交或異面，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則與可能平行或相交，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由線(xiàn)面垂直性質(zhì)可知：若，，則，C正確；對(duì)于D，若，，則或，D錯(cuò)誤.故選：C.4．已知正方體，直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)平行得異面直線(xiàn)所成的角，即可由三角形邊角關(guān)系求解.【詳解】由于,所以即為直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角或其補(bǔ)角，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，所以,故選：D5．在中，若，，，則（

）A． B．4 C． D．3【答案】A【分析】利用余弦定理求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又，，由余弦定理得：，，所以，故選：A6．函數(shù)的部分圖象如圖所示，那么（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】，選C.7．已知是邊長(zhǎng)為的正△邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義可得，再由即可求范圍.【詳解】由在邊上運(yùn)動(dòng)，且△為邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以，則，由.故選：D8．在中，，則“”是“是鈍角三角形”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先判斷如果能不能推出是鈍角三角形，再判斷如果是鈍角三角形，是否一定有即可.【詳解】如果，由于B是三角形的內(nèi)角，并且,則，，是鈍角三角形，所以是充分條件；如果是鈍角三角形，不妨設(shè)，則，所以不是必要條件；故選：A.9．將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線(xiàn)折起，折起后點(diǎn)記為．若，則四面體的體積為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先將正方形折起得到四面體，由，得平面，再求出，的長(zhǎng)度，證明，最后把四面體看做兩個(gè)同底的三棱錐和拼接而成，即可用三棱錐的體積公式求體積.【詳解】如圖1，連接與相交于點(diǎn)，則.如圖2，將正方形沿對(duì)角線(xiàn)折起，折起后點(diǎn)記為．因?yàn)?，，，平面，平面，所以平面，因?yàn)檎叫芜呴L(zhǎng)為，所以,，又因?yàn)?所以,所以.所以四面體的體積為．故選：A10．如圖，圓為的外接圓，，，為邊的中點(diǎn)，則（

）

A．26 B．13 C．10 D．5【答案】B【分析】由中點(diǎn)關(guān)系可得，利用為的外接圓的圓心，可得，同理可得，即可得出結(jié)論．【詳解】由于是邊的中點(diǎn)，可得，是的外接圓的圓心，，同理可得，．故選：B二、填空題11．已知復(fù)數(shù)，則．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可求出模.【詳解】由，得，所以，故答案為：12．已知正方形的邊長(zhǎng)為2，則.【答案】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積以及模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】由題意可知，故，故答案為：13．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)在棱上，若三棱錐的體積是，則棱的長(zhǎng)度可以是.（寫(xiě)出一個(gè)符合要求的值）

【答案】3（只要滿(mǎn)足均可）【分析】根據(jù)錐體的體積公式結(jié)合等體積法即可求解.【詳解】由題意可知,所以的長(zhǎng)度不小于2即可，不妨取，故答案為：3（只要滿(mǎn)足均可）三、雙空題14．已知函數(shù)（其中，）的部分圖象如圖所示，則，．【答案】【詳解】由圖知函數(shù)的周期是，又知，，時(shí)，，故答案為(1)；(2).【方法點(diǎn)睛】本題主要通過(guò)已知三角函數(shù)的圖象求解析式考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.利用圖象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊點(diǎn)求出，正確求是解題的關(guān)鍵.求解析時(shí)求參數(shù)是確定函數(shù)解析式的關(guān)鍵，由特殊點(diǎn)求時(shí)，可以先求出的所有的值，再根據(jù)題設(shè)中的條件，取特殊值即可.四、填空題15．如圖，在正方體中，，點(diǎn)為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，則下列四個(gè)命題：①連接，總有平面；②平面；③動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值是；④設(shè)，則三棱錐的體積隨著增大而增大.其中正確的命題的序號(hào)是.

【答案】①②③【分析】利用面面平行的性質(zhì)推理判斷①；利用線(xiàn)面垂直的判定推理判斷②；利用線(xiàn)面平行結(jié)合等體積法計(jì)算判斷③；利用等體積法計(jì)算判斷④作答.【詳解】在正方體中，對(duì)角面是矩形，則平面，平面，于是平面，同理平面，而平面，則有平面平面，而平面，因此平面，①正確；

平面平面，則，而，平面，則有平面，而平面，因此，同理，平面，所以平面，②正確；由①知，平面平面，由于與是異面直線(xiàn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最小值等于點(diǎn)到平面的距離，正方體棱長(zhǎng)為1，則，由，得，即，解得，③正確；因?yàn)槠矫?，平面，則平面，因此點(diǎn)到平面的距離為定值，而的面積為定值，于是三棱錐的體積為定值，④錯(cuò)誤，所以正確的命題的序號(hào)是①②③.故答案為：①②③【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求點(diǎn)到平面的距離可以利用幾何法，作出點(diǎn)到平面的垂線(xiàn)段求解；也可以用等體積法，求出三棱錐某個(gè)底面上的高即可.五、解答題16．在中，，，.(1)求的值：(2)求的值和的面積【答案】(1)；(2)，.【分析】（1）利用平方關(guān)系、正弦定理求值作答.（2）利用余弦定理、三角形面積公式計(jì)算作答.【詳解】（1）在中，，，，則，由正弦定理得，所以.（2）在中，由余弦定理得，即，而，解得；的面積，所以，.17．如圖，在正方體中，，，分別是線(xiàn)段，的中點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)求三棱錐的體積；(3)求證：平面；【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)面垂直即可求證面面垂直，（2）根據(jù)等體積法即可求解，（3）由中位線(xiàn)得線(xiàn)線(xiàn)平行，即可得到線(xiàn)面平行，進(jìn)而可證面面平行，即可求解.【詳解】（1）在正方體中，由于平面,平面,所以平面平面（2）（3）取中點(diǎn)為，連接,由于均為中點(diǎn)，所以,平面,平面,所以平面,平面,平面,所以平面,平面，所以平面平面，由于平面,所以平面.

18．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，，分別為，的中點(diǎn).(1)求證：；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離：(3)直線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)，使得，，，四點(diǎn)共面?若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)1【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)面垂直即可求證線(xiàn)線(xiàn)垂直，（2）根據(jù)等體積法，結(jié)合棱錐的體積公式即可求解，（3）根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)平行可得線(xiàn)面平行，進(jìn)而根據(jù)中位線(xiàn)，由線(xiàn)線(xiàn)平行的傳遞性即可求解.【詳解】（1）連接相交于，由于底面是菱形，所以，又平面，平面,所以,平面,所以平面,平面,所以（2）由題意可知：點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由于，平面,所以,所以,,，（3）取中點(diǎn)為，連接,延長(zhǎng),使得，連接,由于均為中點(diǎn)，所以且,又,所以且，故四邊形為平行四邊形，故,由于是的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，所以,因此,所以,,,四點(diǎn)共面，故19．已知有限數(shù)列共M項(xiàng)，其任意連續(xù)三項(xiàng)均為某等腰三角形的三邊長(zhǎng)，且這些等腰三角形兩兩均不全等.將數(shù)列的各項(xiàng)和記為．(1)若，直接寫(xiě)出的值；(2)若，求的最大值；(3)若，求的最小值【答案】(1)；(2)8；(3)50【分析】（1）直接列舉出數(shù)列，即可求得；（2）先構(gòu)造數(shù)列使，再說(shuō)明不同的等腰三角形只有6個(gè)，故，即可求得的最大值；（3）先構(gòu)造數(shù)列使，再設(shè)T為數(shù)列的每一組連續(xù)三項(xiàng)的和的和，得，列舉出不同的等腰三角形，使和最小，進(jìn)而得到，即可求解.【詳解】（1）邊長(zhǎng)為1或2的等腰三角形只有1，1，1；1，2，2；2，2，2；若前三項(xiàng)為1，1，1，則該數(shù)列只有3項(xiàng)，不合題意；若前三項(xiàng)為1，2，2，該數(shù)列只有4項(xiàng)，該數(shù)列只能為1，2，2，2；若前三項(xiàng)為2，2，2，該數(shù)列只有4項(xiàng)，該數(shù)列只能為2，2，2，1；綜上：；（2）①構(gòu)造數(shù)列：1，2，2，2，3，3，3，1，此時(shí).②當(dāng)存在連續(xù)三項(xiàng)為1，1，1時(shí)，本題中有兩條邊為1，1的等腰三角形僅有1，1，1，即數(shù)列只有3項(xiàng)，與矛盾，舍去.③當(dāng)不存在連續(xù)三項(xiàng)為1，1，1時(shí)，連續(xù)三項(xiàng)（不考慮這三項(xiàng)的順序）共以下6種可能：1，2，2；1，3，3；2，2，2；2，2，3；2，3，3；3，3，3.又相鄰的4項(xiàng)組成的2個(gè)等腰三角形中間2項(xiàng)是共用的，則總的項(xiàng)數(shù)為不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)加上首尾2項(xiàng)，所以.④由①②③，M的最大值為8.（3）①構(gòu)造數(shù)列：1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，5，5，5，3，3，1，此時(shí).②設(shè)T為數(shù)列的每一組連續(xù)三項(xiàng)的和的和，則，即.③連續(xù)三項(xiàng)（不考慮這三項(xiàng)的順序）及這三項(xiàng)的和（標(biāo)注在下面的括號(hào)內(nèi)）有以下可能：其中畫(huà)橫線(xiàn)的連續(xù)三項(xiàng)不能同時(shí)滿(mǎn)足和前一項(xiàng)、后一項(xiàng)構(gòu)成3個(gè)等腰三角