第十章概率10.1.1有限樣本空間與隨機事件教學目標

理解樣本點和有限樣本空間的含義（重點）01

理解隨機事件與樣本點的關系（重點）02

會用集合表示隨機事件，理解樣本空間與隨機事件的關系（重點、難點）03

會求簡單隨機試驗的樣本空間（重點、難點）04學科素養(yǎng)

樣本點和有限樣本空間的含義數學抽象

直觀想象

邏輯推理

數學運算

集合表示隨機事件，會求簡單隨機試驗的樣本空間數據分析

數學建模01知識回顧RetrospectiveKnowledge隨機現象拋擲一枚硬幣，觀察正面、反面出現的情況；

拋擲一枚骰子，觀察觀察出現點數的情況；

從裝有一些白球和紅球的袋子中隨機摸出一個，事先不能確定它的顏色;有放回地重復摸取多次，記錄摸到的球的顏色，從記錄的數據中就能發(fā)現一些規(guī)律，例如紅球和白球的大概比例，進而就能知道每次摸出紅球、白球的可能性大概是多少等等．

這類現象的共性是∶就一次觀測而言，出現哪種結果具有偶然性，但在大量重復觀測下，各個結果出現的頻率卻具有穩(wěn)定性．這類現象叫做隨機現象，它是概率論的研究對象．02知識精講

ExquisiteKnowledge

研究某種隨機現象的規(guī)律，首先要觀察它所有可能的基本結果．

例如，將一枚硬幣拋擲2次，觀察正面、反面出現的情況；從你所在的班級隨機選擇10名學生，觀察近視的人數；記錄某地區(qū)7月份的降雨量；等等．

我們把對隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母E表示．

我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗∶

（1）試驗可以在相同條件下重復進行；

（2）試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；

（3）每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但事先不確定出

現哪個結果．隨機試驗可重復性可預知性隨機性

體育彩票搖獎時，將10個質地和大小完全相同、分別標號0，1，2，...，9的球放入搖獎器中，經過充分攪拌后搖出一個球，觀察這個球的號碼．這個隨機試驗共有多少個可能結果？如何表示這些結果？

根據球的號碼，共有10種可能結果．

如果用數字m表示“搖出的球的號碼為m”這一結果，那么所有可能結果可用集合表示為{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．樣本空間

我們把隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間．

一般地，我們用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點．

（在本書中，我們只討論Ω為有限集的情況．）

如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω={ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．

有了樣本點和樣本空間的概念，我們就可以用數學方法描述和研究隨機現象了．樣本空間【例1】拋擲一枚硬幣，觀察它落地時哪一面朝上，寫出試驗的樣本空間．【解析】因為落地時只有正面朝上和反面朝上兩個可能結果，

所以試驗的樣本空間可以表示為Ω={正面朝上，反面朝上}；

如果用h表示“正面朝上”，用t表示“反面朝上”，

則樣本空間Ω={h，t}．樣本空間的表達形式不唯一樣本空間【例2】拋擲一枚骰子，觀察它落地時朝上的面的點數，寫出試驗的樣本空間．【解析】用i表示朝上面的“點數為i”．由于落地時朝上面的點數有1，2，3，4，5，6，共6個可能的基本結果，所以試驗的樣本空間可以表示為Ω={1，2，3，4，5，6}．樣本空間【例3】拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，寫出試驗的樣本空間．【解析】拋兩枚硬幣，第一枚硬幣可能的基本結果用x表示，第二枚硬幣

可能的基本結果用y表示，那么試驗的樣本點可用(x，y)表示．所以試驗的樣本空間

Ω={(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}．

如果用1表示“正面朝上”，用0表示“反面朝上”，所以試驗的樣本空間

Ω={(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}．樣本空間

在體育彩票搖號試驗中，搖出“球的號碼是奇數”是隨機事件嗎？搖出“球的號碼為3的倍數”是否也是隨機事件？如果用集合的形式來表示它們，那么這些集合與樣本空間有什么關系？

“球的號碼為奇數”和“球的號碼為3的倍數”都是隨機事件．

我們用A表示隨機事件“球的號碼為奇數”，則A發(fā)生，當且僅當搖出的號碼為1，3，5，7，9之一，即事件A發(fā)生等價于搖出的號碼屬于集合{1，3，5，7，9}．因此，可以用樣本空間Ω={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集{1，3，5，7，9}表示隨機事件A．

同理，可以用樣本空間的子集{0，3，6，9}表示隨機事件“球的號碼為3的倍數”．隨機事件

一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示．

為了描述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件．

隨機事件一般用大寫字母A，B，C，...表示．

在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現時，稱為事件A發(fā)生．隨機事件

Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必然事件．

必然事件與不可能事件不具有隨機性．

為了方便統(tǒng)一處理，將必然事件和不可能事件作為隨機事件的兩個極端情形．

這樣，每個事件都是樣本空間Ω的一個子集．

而空集

不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱

為不可能事件．隨機事件【例4】如圖10.1-2，一個電路中有A，B，C三個電器元件，每個元件可能正常，也可能失效．把這個電路是否為通路看成是一個隨機現象，觀察這個電路中各元件是否正常．（1）寫出試驗的樣本空間；（2）用集合表示下列事件：

M=“恰好兩個元件正常”；

N=“電路是通路”；

T=“電路是斷路”．ACB隨機事件【例4】如圖10.1-2，一個電路中有A，B，C三個電器元件，每個元件可能正常，也可能失效．把這個電路是否為通路看成是一個隨機現象，觀察這個電路中各元件是否正常．（1）寫出試驗的樣本空間；ACB

【解析】分別用x1，x2，x3表示元件A，B，C的可能狀態(tài)，則這個電路的工作狀態(tài)可用(x1，x2，x3)表示.同時，用1表示元件的“正常”狀態(tài)，用0表示“失效”狀態(tài)，則樣本空間Ω={(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，

(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}．隨機事件隨機事件（2）用集合表示下列事件：

M=“恰好兩個元件正?！?；

N=“電路是通路”；

T=“電路是斷路”．ACB【解析】“恰好兩個元件正?！钡葍r于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1，x2，x3中恰有兩個為1，所以M={(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)}．“電路是通路”等價于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1=1，x2，x3中至少有一個是1,所以N={(1，1，0)，(1，0，1)，(1，1，1)}；“電路是斷路”等價于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1=0，或且x1=1，x2=x3=0，所以T={(0，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，1，1)，(1，0，0)}．隨機事件【練習】判斷下列事件的類型：1．擲一枚硬幣，出現正面；

2．某地12月12日下雨；3．如果a>b，那么a－b>0；

4．在1，2，3，…，10這10個數字中任取3個數字，這3個數字的和小于5．隨機事件隨機事件必然事件不可能事件【練習】拋擲三枚硬幣，可能“正面朝上”，也可能“反面朝上”．把拋擲三枚硬幣朝上的情況看成是一個隨機現象，觀察這個現象中朝上的可能性．（1）寫出試驗的樣本空間；（2）用集合表示下列事件：M=“恰好兩個正面朝上”；

N=“至多一個正面朝上”．

【解析】分別用x1，x2，x3表示表示每一枚硬幣的可能狀態(tài)，則這個隨機事件的結果可用(x1，x2，x3)表示.同時，用1表示“正面朝上”，用0表示“反面朝上”，則樣本空間Ω={(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，

(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}．【練習】拋擲三枚硬幣，可能“正面朝上”，也可能“反面朝上”．把拋擲三枚硬幣朝上的情況看成是一個隨機現象，觀察這個現象中朝上的可能性．（2）用集合表示下列事件：M=“恰好兩個正面朝上”；

N=“至多一個正面朝上”．【解析】“恰好兩個正面朝上”等價于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1，x2，x3中恰有兩個為1，

所以M={(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)}．“最多一個正面朝上”等價于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1，x2，x3中至多有一個是1,

所以N={(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)}．03拓展提升ExpansionAndPromotion04歸納總結SumUp我們把對隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗．

一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示．

為了描述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件．

隨機事件一般用大寫字母A，B，C