人教版必修4第一章

三角函數(shù)1.1任意角和弧度制1.1.1任意角三角函數(shù)在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用，比如交流電的電流y與時(shí)間x的關(guān)系可用y＝Asin(ωx＋φ)表示，就連優(yōu)美動(dòng)聽的音樂也和三角函數(shù)有著密切的聯(lián)系，專家研究過貝多芬的《歡樂頌》，其音符大小恰好符合正弦曲線．那么，常用的三角函數(shù)都有哪些性質(zhì)呢？這些性質(zhì)在日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中都有著哪些應(yīng)用呢？情景引入角的概念是三角函數(shù)的重要內(nèi)容，同學(xué)們能否計(jì)算出圖中時(shí)針和分針的夾角呢？1.角的概念：平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)________________________________所成的圖形．按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做_______；按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做______；射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也把它看成一個(gè)角，叫做________．2．終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α本身組成一個(gè)集合，這個(gè)集合可記為S＝___________________________.從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置正角負(fù)角零角{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}課前自主導(dǎo)學(xué)知能自主梳理3．象限角與象限界角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與_____________重合，角的終邊在第幾象限就稱為第幾象限角．若終邊落在________上，認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限，稱為象限界角．(1)第一象限角的集合為____________________________________；(2)第二象限角的集合為_____________________________________；(3)第三象限角的集合為_______________________________________；(4)第四象限角的集合為_______________________________________．x軸的正半軸坐標(biāo)軸{x|k·360°<x<k·360°＋90°，k∈Z}{x|k·360°＋90°<x<k·360°＋180°，k∈Z}{x|k·360°＋180°<x<k·360°＋270°，k∈Z}{x|k·360°＋270°<x<k·360°＋360°，k∈Z}1.設(shè)M＝{小于90°的角}，N＝{第一象限的角}，則M∩N＝(

)A．{銳角}

B．{小于90°的角}C．{第一象限的角} D．以上都不對(duì)[答案]

D[解析]

∵M(jìn)∩N＝{α|α<90°且k·360°<α<k·360°＋90°，k＝0，－1，－2，－3，……}，∴M∩N不同于A、B、C，故選D.預(yù)習(xí)效果展示2．(2014·江西九江外國(guó)語高一月考)2014°是(

)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]

C[解析]

2014°＝5×360°＋214°，∵214°是第三象限角，∴2014°是第三象限角.3．角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)M(0，－3)，則α(

)A．是第三象限角B．是第四象限角C．既是第三象限角又是第四象限角D．不是任何象限角[答案]

D[解析]

點(diǎn)(0，－3)在y軸上，當(dāng)α終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，我們認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限．4．－1445°是第__________象限角．[答案]四[解析]∵－1445°＝－5×360°＋355°，∴－1445°是第四象限的角．5．若角α與β的終邊在一條直線上，則α與β的關(guān)系是__________．[答案]

α＝β＋k·180°，k∈Z[解析]由于α、β在一直線上，因此α、β角終邊相同或互為反向延長(zhǎng)線，它們相差180°的整數(shù)倍．所以α－β＝k·180°，k∈Z，∴α＝β＋k·180°，k∈Z.6．在0°～360°范圍內(nèi)，找出與－650°角終邊相同的角，并寫出所有與－650°終邊相同的角的集合．[解析]∵－650°＝70°－2×360°，∴在0°～360°范圍內(nèi)，與－650°角終邊相同的角是70°角．所有與－650°角終邊相同的角的集合為S＝{α|α＝70°＋k·360°，k∈Z}．課堂典例演講命題方向一：角的概念[解析]①銳角是大于0°且小于90°的角，終邊落在第一象限，故是第一象限角，所以①正確．②－330°角是第一象限角，但它是負(fù)角，所以②不正確．③480°角是第二象限角，但它不是鈍角，所以③不正確．④0°角小于180°角，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故④不正確．[答案]①[點(diǎn)評(píng)]解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解0°～90°的角、象限角、銳角和小于90°的角等概念．判斷時(shí)也可采用排除法，判斷說法為真需要證明，而判斷說法為假只需舉一反例．下列說法正確的是(

)A．三角形的內(nèi)角一定是第一、二象限角B．鈍角不一定是第二象限角C．終邊與始邊重合的角是零角D．鐘表的時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成的角是負(fù)角[答案]

D[解析]鐘表的時(shí)針是按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的，故其旋轉(zhuǎn)而成的角是負(fù)角，∴選D.跟蹤練習(xí)命題方向二：終邊相同的角[解析]

(1)α＝4×360°＋150°(k＝4，β＝150°)．∴應(yīng)填4×360°＋150°.(2)∵θ與α終邊相同，∴θ角可寫成k·360°＋150°(k∈Z)．由－360°<k·360°＋150°<360°(k∈Z)，解得k＝－1,0.∴θ＝－210°或150°，故θ屬于第二象限．∴應(yīng)填－210°或150°.[答案]

(1)4×360°＋150°

(2)－210°或150°在0°到360°之間找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角．(1)640°；(2)－950°12′.[解析]

(1)640°＝280°＋360°，∴在0°到360°之間與640°角終邊相同的角是280°角．∵280°是第四象限角，∴640°是第四象限角．(2)－950°12′＝129°48′－3×360°，∴在0°到360°之間與－950°12′角終邊相同的角是129°48′.它是第二象限角．跟蹤練習(xí)[解析]∵α是第三象限角，∴k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，(*)∴－k·360°－270°<－α<－k·360°－180°，∴－α為第二象限角．又由(*)得k·720°＋360°<2α<k·720°＋540°.即(2k＋1)·360°<2α<(2k＋1)·360°＋180°.∴2α的終邊在第一、二象限或y軸的正半軸上．命題方向三：角所在象限問題跟蹤練習(xí)[錯(cuò)解]②④[辨析]錯(cuò)解中，將第一象限角的集合誤寫為{α|0°<α<90°}，從而導(dǎo)致與銳角的關(guān)系判斷時(shí)出錯(cuò)．[正解]④鈍角的范圍是90°<α<180°，故鈍角一定是第二象限角，只有④是正確的．易錯(cuò)疑難辨析思想方法技巧[答案]

D[解析]在0°～360°范圍內(nèi)，終邊落在陰影范圍內(nèi)的角是60