函數的單調性知識點匯總及典型例題(高一必備)第二講：函數的單調性一、定義：函數y=f(x)在定義域I上的某個區(qū)間D內，若對于任意x1,x2∈D且x1<x2，有f(x1)<f(x2)，則稱函數在區(qū)間D上為增函數，D稱為增區(qū)間。函數y=f(x)在定義域I上的某個區(qū)間D內，若對于任意x1,x2∈D且x1<x2，有f(x1)>f(x2)，則稱函數在區(qū)間D上為減函數，D稱為減區(qū)間。注意：1.增函數的等價式子：(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0減函數的等價式子：(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<02.不是所有函數都具有單調性。3.函數單調性的定義中有三個核心條件，即x1<x2，f(x1)<f(x2)，函數f(x)為增函數。其中任意兩個條件都不能推出第三個條件。二、題型一：函數單調性的判斷與證明例1.已知函數f(x)的定義域為R，如果對于屬于定義域某個區(qū)間I上的任意兩個不同的自變量x1,x2都有f(x1)-f(x2)>0，則函數在這個區(qū)間上為增函數。答案：A變式訓練：定義在R上的函數f(x)對任意x2<x1都有f(x1)-f(x2)<1，且函數y=f(x)的圖象關于原點對稱，若f(2)=2，則不等式f(x)-x>0的解集為(-∞,-1)∪(1,∞)。例3.證明：函數f(x)=x^3+x在R上是增函數。證明：對于任意x1,x2∈R且x1<x2，有：f(x2)-f(x1)=(x2^3-x1^3)+(x2-x1)=(x2-x1)(x2^2+x1^2+x1x2+1)>0因為x2^2+x1^2+x1x2+1>0，所以f(x)在R上是增函數。注意：在證明函數單調性時，需要使用數學證明方法，如代數運算、不等式變形等。三、題型二：函數的單調區(qū)間變式訓練：討論函數f(x)=x+(a>0)的單調性，并作出當a=1時函數的圖象。解答：當a>0時，對于任意x1,x2∈R且x1<x2，有：f(x2)-f(x1)=(x2-x1)+a>0所以f(x)在R上是增函數。當a=1時，函數的圖象如下：注意：當討論函數的單調性時，需要先求出函數的導數，然后根據導數的正負性討論函數的單調性。難點突破：如果一個函數在某個區(qū)間上是單調函數，那么它在整個定義域上也是單調函數嗎？例1：求函數$f(x)=|x+1|+|x-2|$的單調區(qū)間。$f(x)=|x+1|+|x-2|$可以拆分為以下兩個函數：當$x\leq-1$時，$f(x)=-(x+1)-(x-2)=-2x+1$；當$x>-1$時，$f(x)=(x+1)+(x-2)=2x-1$。因此，$f(x)$的單調區(qū)間為$(-\infty,-1]$和$[-1,+\infty)$，分別在這兩個區(qū)間上單調遞減和單調遞增。例2：求函數$f(x)=-x^2+2|x|+3$的單調區(qū)間。當$x\geq0$時，$f(x)=-x^2+2x+3$，當$x<0$時，$f(x)=-x^2-2x+3$。因此，$f(x)$的單調區(qū)間為$(-\infty,0]$和$[0,+\infty)$，分別在這兩個區(qū)間上單調遞減和單調遞增。例3：求函數$f(x)=|-x^2-4x+5|$的單調遞增區(qū)間。先求出$f(x)$的定義域為$[-2-\sqrt{6},-2+\sqrt{6}]\cup[2-\sqrt{6},2+\sqrt{6}]$。當$-2-\sqrt{6}\leqx\leq-2$時，$f(x)=x^2+4x-5$，單調遞增；當$-2\leqx\leq2$時，$f(x)=5-x^2-4x$，單調遞減；當$2\leqx\leq2+\sqrt{6}$時，$f(x)=x^2+4x-5$，單調遞增。因此，$f(x)$的單調遞增區(qū)間為$[-2-\sqrt{6},-2]\cup[2,2+\sqrt{6}]$。抽象函數的單調性問題：例1：設函數$f(x)$是實數集$\mathbb{R}$上的增函數，令$F(x)=f(x)-f(2-x)$，證明$F(x)$是$\mathbb{R}$上的增函數，并證明當$F(x_1)+F(x_2)>0$時，有$x_1+x_2>2$。證明：(1)對于任意$x_1,x_2\in\mathbb{R}$，有$F(x_1)-F(x_2)=f(x_1)-f(2-x_1)-f(x_2)+f(2-x_2)$。因為$f(x)$是增函數，所以有$f(x_1)-f(x_2)\geq0$，$f(2-x_1)-f(2-x_2)\geq0$，所以$F(x_1)-F(x_2)\geq0$，即$F(x)$是$\mathbb{R}$上的增函數。(2)當$F(x_1)+F(x_2)>0$時，有$f(x_1)-f(2-x_1)+f(x_2)-f(2-x_2)>0$，即$f(x_1)+f(x_2)>f(2-x_1)+f(2-x_2)$。因為$f(x)$是增函數，所以有$f(x_1)+f(x_2)>f(x_1+x_2-2)$，即$x_1+x_2>2$。應用題：(1)利用函數的單調性比較大?。豪?：函數$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞減，比較$f\left(\dfrac{3}{2}\right)$和$f\left(\dfrac{5}{2}\right)$的大小。將$\dfrac{3}{2}$和$\dfrac{5}{2}$轉化為同一個單調區(qū)間，因為$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞減，所以有$f\left(\dfrac{3}{2}\right)>f\left(\dfrac{5}{2}\right)$。變式訓練：已知函數$f(x)$滿足$f(1+x)=f(1-x)$，且對任意的$x_1,x_2>1(x_1\neqx_2)$，有$f(x_1)-f(x_2)>x_1-x_2$。設$a=f(0),b=f(2),c=f(3)$，比較$a,b,c$的大小關系。根據$f(1+x)=f(1-x)$可知，$f(x)$是關于$x=1$的對稱函數，即$f(0)=f(2)$。因為$f(x_1)-f(x_2)>x_1-x_2$，所以$f(x)$在$(1,+\infty)$上是增函數。因此，$a=b$，$c>f(2)+1=f(0)+1=a+1$，即$c>a+1>b$。(2)利用函數的單調性解不等式：例2：求不等式$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{2-x}<1$的解集。將$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{2-x}$化簡為$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x-2}$，因為$f(x)=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x-2}$在$(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$上單調遞減，在$(-1,2)$上單調遞增。當$x<-1$時，$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{2-x}>0$；當$-1<x<2$時，$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{2-x}<1$；當$x>2$時，$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{2-x}>0$。因此，不等式的解集為$(-1,2)$。第三節(jié)：函數的奇偶性一、知識梳理1.函數的奇偶性函數f(x)是奇函數，當且僅當對于定義域D中的任意一個x，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)。奇函數關于原點中心對稱。函數f(x)是偶函數，當且僅當對于定義域D中的任意一個x，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)。偶函數關于y軸對稱。2.判斷函數奇偶性的方法（1）對函數進行變形，看是否具有奇偶性的特點。（2）利用函數圖象的對稱性質，判斷函數的奇偶性。二、例題講解例1：偶函數y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱，f(3)=3，則f(-1)=？解析：由于函數是偶函數，所以它關于y軸對稱，即f(x)=f(-x)。又因為它關于直線x=2對稱，所以f(4-x)=f(x-2)。代入f(3)=3，得到f(1)=f(-1)，即f(-1)=f(1)。由于沒有其他信息，無法求出f(1)，所以無法求出f(-1)。例2：已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x∈(-∞,0)時，f(x)=2x^3+x^2，則f(2)=？解析：由于函數是奇函數，所以它關于原點對稱，即f(x)=-f(-x)。又因為2∈(-∞,0)，所以f(2)=-f(-2)。由于f(x)=2x^3+x^2，所以f(-2)=-16-4=-20。因此，f(2)=20。例3：函數y=(x+1)^2+sinx的奇偶性是？解析：對于函數y=(x+1)^2+sinx，它不具有奇偶性的特點，也不具有對稱性質，因此無法判斷它的奇偶性。設函數$f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$的最大值為$M$，最小值為$m$，則$M+m=$______.2.函數的圖像(1)平移變換：“上加下減，左加右減”考慮偶函數$f(x)=2x-4(x\geq0)$，則：$\{x|f(x-2)>0\}=\{x|x<-2\text{或}x>4\}$(2)對稱變換$x$軸對稱——>$y=-f(x)$；$y=f(x)$關于$x$軸對稱$y$軸對稱——>$y=f(-x)$；$y=f(x)$關于$y$軸對稱原點對稱——>$y=-f(-x)$；$y=f(x)$關于原點對稱$y=x$對稱——>$y=f^{-1}(x)$；$y=f(x)$關于$y=x$對稱$a\neq1$時，$y=ax$對稱——>$y=\log_ax$；$y=ax$關于$y=x$對稱奇函數的圖像關于坐標原點對稱；偶函數的圖像關于$y$軸對稱。(3)翻折變換$x$軸上方圖像，將$x$軸下方圖像翻折上去——>$y=|f(x)|$例如，對于函數$f(x)=\begin{cases}|lgx|,&\text{if}0<x\leq10\\0,&\text{if}x\leq0\text{or}x>10\end{cases}$，其圖像如下：(4)函數圖像的幾種對稱關系略。上的最小值為多少？2.已知函數f(x)的圖像關于點(1,2)對稱，且f(0)=1，f(2)=3，求f(3)的值。3.設函數f(x)的定義域為R，且f(x)是偶函數，若f(1)=2，f(2)=3，f(3)=4，求f(-1)的值。4.已知函數f(x)=x^2-2x+3，g(x)=2x-1，求f(g(x))的表達式。5.已知函數f(x)的圖像關于直線y=x對稱，且f(1)=2，f(2)=3，求f(3)的值。6.若函數f(x)的圖像關于直線x=2對稱，且f(1)=3，f(3)=5，求f(2)的值。7.已知函數f(x)的圖像關于點(1,2)對稱，且f(0)=1，f(2)=3，求f(4)的值。8.設函數f(x)的定義域為R，且f(x)是奇函數，若f(1)=2，f(3)=4，求f(-2)的值。9.已知函數f(x)=x^2-2x+1，g(x)=3x，求f(g(x))的表達式。10.若函數f(x)的圖像關于點(0,1)對稱，且f(1)=2，f(2)=3，求f(-1)的值。1.若函數f(x)=x^3-3x^2+5x-2在區(qū)間[0,3]上的最小值為-4，則f(x)在區(qū)間[0,3]上是減函數且最小值是-4。（改寫：如果f(x)=x^3-3x^2+5x-2在[0,3]上的最小值為-4，那么f(x)在[0,3]上是減函數且最小值是-4。）2.若f(x)=(m-1)x^2+2mx+3是偶函數，則f(x)在(-4,-1)上是減函數。（改寫：如果f(x)=(m-1)x^2+2mx+3是偶函數，那么f(x)在(-4,-1)上是減函數。）3.已知函數f(x)=(a-1)/(x^2+1)，若f(x)為奇函數，則a=-1。（改寫：如果函數f(x)=(a-1)/(x^2+1)是奇函數，那么a=-1。）4.函數f(x)=(ax+b)/(12+x^2)是定義在(-∞,∞)上的奇函數，且f(-1)=1/5，求函數f(x)的解析式。（改寫：如果函數f(x)=(ax+b)/(12+x^2)是定義在(-∞,∞)上的奇函數，且f(-1)=1/5，那么求函數f(x)的解析式。）第四節(jié)：函數的零點一、知識梳理零點是指函數圖象與x軸交點的橫坐標，也可以理解為方程f(x)=0的解。函數F(x)=f(x)-g(x)的零點是函數f(x)與函數g(x)圖象交點的橫坐標。零點存在定理是指，如果函數f(x)在定義域[a,b]上連續(xù)，且f(a)×f(b)<0，則函數f(x)在定義域[a,b]上一定存在零點。例（2011全國二）在下列區(qū)間中，函數f(x)=ex+4x-3的零點所在的區(qū)間為（）。答案：B。根據零點存在定理，我們需要找到f(x)在定義域上的符號變化。f(0)=-2<0，f(1)=e+1>0，因此f(x)在區(qū)間(0,1)上存在零點。又因為f(x)是增函數，所以零點在區(qū)間(0,1)內是唯一的。二、真題演練1.（2017全國三）已知函數f(x)=x^2-2x+a(ex-1+e^-x+1)有唯一零點，則a=（）。答案：1/2。由于f(x)有唯一零點，所以f(x)的圖像與x軸只有一個交點。因此，f(x)在x軸上的切線只有一個，即f(x)在零點處的導數f'(x)=0。將f(x)代入f'(x)中，得到方程2x-2+a(ex-e^-x)=0。由于f(x