第八章地理信息系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型利用計算機解決地理信息系統(tǒng)中的各種實際問題時，最重要的工作是建立地理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并使建立的模型能較好地模擬實際事物的屬性和規(guī)律。正如一張地形圖上，如果漏繪了一些道路，或者標(biāo)錯了某些山頂?shù)母叱?，將會給部隊指揮和行軍作戰(zhàn)造成嚴(yán)重后果，說明這張地形圖（也可稱為符號模型）錯誤地描述了實際事物。對于數(shù)學(xué)模型來說，除了具有物理模擬的特征外，還需要具有數(shù)學(xué)方法的抽象模擬，利用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子、程序等刻畫實際事物的客觀本質(zhì)屬性及其內(nèi)在聯(lián)系規(guī)律。本章首先介紹建立數(shù)學(xué)模型的一般過程，然后介紹常見的數(shù)理統(tǒng)計模型、回歸分析模型和線性規(guī)劃模型?！?.1建立數(shù)學(xué)模型的一般過程面對著復(fù)雜的現(xiàn)實世界，各種事物都處在不斷的變化之中，要用數(shù)學(xué)方法去描述和模擬某些發(fā)展中的現(xiàn)象，不可能采用統(tǒng)一的模式來論述建模問題。但是，可以把建模過程大致劃分下列幾個步驟：一、了解建模對象的實際背景，在此基礎(chǔ)上提出建模目標(biāo)在調(diào)查研究過程中，盡可能掌握與建模有關(guān)的數(shù)據(jù)和資料。應(yīng)當(dāng)訪問建模對象所在領(lǐng)域的專家，認(rèn)真總結(jié)他們在科學(xué)研究中的思路和方法以及解決問題的推理判斷過程。這些專家的邏輯思維經(jīng)驗是十分可貴的第一手建模材料，甚至有些經(jīng)驗已經(jīng)構(gòu)成了物理模擬的框架，這些都是建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。二、分解模擬對象抓住主要問題分解模擬對象，提出可能性較大的幾種假設(shè)，盡可能使問題簡化，減少考慮的因素。這一過程就是數(shù)學(xué)抽象和思維的過程。建模者應(yīng)當(dāng)具備這種抽象、假設(shè)能力同時需要與該領(lǐng)域的專家共同討論，使假設(shè)的現(xiàn)實性增加，避免一些不必要的建模工作的重復(fù)過程。三、數(shù)據(jù)處理通過實地調(diào)查或測量，采集必要的數(shù)據(jù)，輸入計算機，建立數(shù)據(jù)庫。四、圖形顯示，曲線擬合利用某些繪圖軟件或采用統(tǒng)計回歸分析的方法，調(diào)用已知數(shù)據(jù)，作出曲線圖，用已知曲線擬合實際曲線。五、模型建立簡化實際問題，提出恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，并利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，刻劃變量之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并求得相應(yīng)的解。六、模型的驗證將模型運算結(jié)果與實際情況相比較，也就是進(jìn)行誤差分析，確定模型的可信程度。如果計算結(jié)果與事實不相符合，說明在建模的過程中，可能忽略了某些重要的因素，缺乏關(guān)鍵的數(shù)據(jù)。這時，必須加強對實際問題的調(diào)研，重新開始建模過程。七、預(yù)測和決策一個成功的地理信息系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，不僅能解釋系統(tǒng)的已知現(xiàn)象，而且還可以預(yù)測系統(tǒng)的某些未知現(xiàn)象，把已知數(shù)據(jù)代入模型內(nèi)，預(yù)測系統(tǒng)的發(fā)展趨勢，并為系統(tǒng)的合理利用與開發(fā)，提供最優(yōu)決策?！?.2數(shù)理統(tǒng)計分析模型數(shù)理統(tǒng)計分析主要用于數(shù)據(jù)分類和綜合評價，數(shù)據(jù)的分類和評價的問題通常涉及大量的相互關(guān)聯(lián)的地理因素。主成分分析方法可以從統(tǒng)計意義上將各影響要素的信息壓縮到若干合成因子上，從而使模型大大地簡化。因子權(quán)重的確定是建立評價模型的重要步驟，權(quán)重正確與否極大地影響評價模型的正確性，而通常的因子權(quán)重的確定依賴較多的主觀判斷層次分析法是綜合眾人意見，科學(xué)地確定各影響因子權(quán)重的簡單而有效的數(shù)學(xué)手段。隸屬度反映因子內(nèi)各類別對評價目標(biāo)的不同影響，依據(jù)不同因子內(nèi)的變化情況確定，常采用分段線性函數(shù)或其它高次函數(shù)形式計算。常用的分類和綜合的方法包括聚類分析和判別分析兩大類。聚類分析可根據(jù)地理實體之間影響要素的相似程度，采用某種與權(quán)重和隸屬度有關(guān)的距離指標(biāo)，將評價區(qū)域劃分若干類別；判別分析類似于遙感圖像處理的分類方法，即根據(jù)各要素的權(quán)重和隸屬度，采用一定的評價標(biāo)準(zhǔn)將各地理實體判歸最可能的評價等級或以某個數(shù)據(jù)值所示的等級序列上。分類定級是評價的最后一步，將模糊聚類的結(jié)果根據(jù)實際情況進(jìn)行合并，并確定合并后每一類的評價等級，對于模糊判別分析的結(jié)果序列采用等間距或不等間距的標(biāo)準(zhǔn)劃分為最后的評價等級。下面簡要介紹分類評價中常用的幾種數(shù)學(xué)方法。一、主成分分析在地理問題中，指標(biāo)越多，問題分析就越復(fù)雜，但實際的指標(biāo)并不一定都是獨立無關(guān)的，恰恰相反，許多指標(biāo)之間存在著相當(dāng)好的相關(guān)性。因此，力求用較少的指標(biāo)來進(jìn)行分析研究，并要求指標(biāo)同樣能反映原有較多指標(biāo)的信息。找出較少指標(biāo)就是要找出少數(shù)幾個獨立無關(guān)的變量，這種方法稱之為主成分分析。設(shè)有n個樣本，p個變量。將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成一組新的特征值一一主成分，主成分是原變量的線性組合且具有正交特征。即將x,x,?,x綜合成m(mVp)個指標(biāo)z,z,?,TOC\o"1-5"\h\z12p12z。即mz=l*x+l*x+…+l*x1111221ppz=l*x+l*x+…+l*x(8—2—1)2112222ppz=l*x+l*x+…+l*xmm11m22mpp這樣決定的綜合指標(biāo)z,z,?,z分別稱做原指標(biāo)的第一，第二，…，第m主成分。12m其中z在總方差中占的比例最大，其余主成分z,z,?,z的方差依次遞減。在實際工作123m中常挑選前幾個方差比例最大的主成分,這樣既減少了指標(biāo)的數(shù)目,又抓住了主要矛盾,簡化了指標(biāo)之間的關(guān)系。從幾何上看，找主成分的問題，就是找p維空間中橢球體的主軸問題，從數(shù)學(xué)上容易得到它們是x,x,…，x的相關(guān)矩陣中m個較大特征值所對應(yīng)的特征向量，通常可用雅可12p比法(Jacobi)計算特征值和特征向量。顯然,主成分分析這一數(shù)據(jù)分析技術(shù)是把數(shù)據(jù)減少到易于管理的程度,也是將復(fù)雜數(shù)據(jù)變成簡單類別,便于存儲和管理的有力工具。地理研究的GIS用戶常使用上述技術(shù)，因而應(yīng)把這些變換函數(shù)作為GIS的組成部分。二、層次分析法過去研究自然或社會現(xiàn)象主要有機理分析和統(tǒng)計分析兩種方法。前者用經(jīng)典的數(shù)學(xué)工具分析現(xiàn)象的因果關(guān)系,后者以隨機數(shù)學(xué)為工具,通過大量的觀測數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計規(guī)律。近年來發(fā)展起來的第三種方法稱系統(tǒng)分析。層次分析(AHP)法就是系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一，它把人的思維過程層次化、數(shù)量化,并用數(shù)學(xué)方法為分析、決策預(yù)報或控制提供定量的數(shù)據(jù)。事實上這是一種定性和定量分析相結(jié)合的方法。在模型涉及大量相互關(guān)聯(lián)、相互制約的復(fù)雜因素的情況下,各因素對問題的分析有著不同的重要性,決定它們對目標(biāo)重要性的序列，對建立模型十分重要。AHP方法把相互關(guān)聯(lián)的要素按隸屬關(guān)系分為若干層次，請有經(jīng)驗的專家對各層次各因素的相對重要性綜合定量指標(biāo),利用數(shù)學(xué)方法綜合專家意見給出各層次各要素的相互重要性權(quán)值，作為綜合分析的基礎(chǔ)。例如要比較n個因素y=|y,y,…,y丨對目標(biāo)z的影響，確定它們在z中的比重，每次取兩個因素y和y,用a表12nijij示y與y對z的影響之比，全部比較結(jié)果可用矩陣A=(a)表示，A叫做成對比矩陣，它ijijnXn應(yīng)滿足：a>0,a=1/a(i,j=1,2,…，n)(8-2-2)ijjiij使上式成立的矩陣稱互反陣，不難看出必有a=1。ij在旅游問題中，假設(shè)某人考慮五個因素：費用y、景色y、居住條件y、飲食條件y、1234旅途條件y。用成對比較法得到正互反陣是：5「y1「y1y2y112y21/21A=y31/71/4y41/51/3y5<1/51/3在(8-2-3)式中a12=2表示y1與景色y2y3y4y5[755433(8-2-3)41/21/3211311/選擇旅游點(目示z)的重要性之比為2:1,九=7表示費用yi與居住條件『3之比為4：1。如果A不是一致陣(即AyA23不等于Ai3)，需求正互反陣最大特征值對應(yīng)的特征問題，作為權(quán)向量。三、系統(tǒng)聚類分析雖然數(shù)據(jù)整理能將大量而復(fù)雜的多變量數(shù)據(jù)適當(dāng)壓縮，但人們希望進(jìn)一步減少數(shù)據(jù)的復(fù)雜程度，即將數(shù)據(jù)定義成一組多變量類別。主成分分析僅僅是數(shù)據(jù)沿著一條新軸的旋轉(zhuǎn)和投影，得到新值，既大大壓縮了原始數(shù)據(jù)也可以作為新變量使用。主成分分析后的主分量不是按地理空間制圖，而是按主成分軸定義的空間制圖。當(dāng)數(shù)據(jù)在主成分空間的兩坐標(biāo)軸上的分布具有相似性時，這種散射圖(常把主成分空間繪制的圖稱散射圖)能夠顯示出明顯的類別特性即聚類特性。如果這些聚類能歸納為分類系統(tǒng)中的某一類的話，就有可能進(jìn)一步減少數(shù)據(jù)的復(fù)雜性。另外，這些聚類完全由原始數(shù)據(jù)的分析推演而得，因而能代表“天然”類別，比外生分類(按所研究數(shù)組的門檻確定其區(qū)間，而不是由數(shù)組本身派生出來的區(qū)間)和層次分類等人為強加的類別更加真實。60年代末到70年代初人們把大量精力集中于發(fā)展和應(yīng)用數(shù)學(xué)分類法，且將這類方法應(yīng)用于自然資源、土壤剖面、氣候分類、環(huán)境生態(tài)等數(shù)據(jù)，形成“數(shù)學(xué)分類學(xué)”學(xué)科。目前聚類分析已成為標(biāo)準(zhǔn)的分類技術(shù)，在許多大型計算機中都存儲了這種分析程序，從GIS數(shù)據(jù)庫中將點數(shù)據(jù)傳送到聚類分析程序也不困難。聚類分析的主要依據(jù)是把相似的樣本歸為一類，而把差異大的樣本區(qū)別開來。在由m個變量組成的m維的空間中，可以用多種方法定義樣本之間的相似性和差異性統(tǒng)計量。它是一種定量方法，從數(shù)學(xué)分析的角度，給出一個更準(zhǔn)確、細(xì)致的分類。用xk表示第i個樣本第k個指標(biāo)的數(shù)據(jù)，xk表示第j個樣本第k個指標(biāo)數(shù)據(jù)。D表示ikjkij第i個樣本和第j個樣本之間的距離，根據(jù)不同的需要，距離可以定義為許多類型，最常見、最直觀的距離是歐氏(Euclid)距離，其定義如下：mdj={[(x-x)2]/m}i/2(8-244)ijikjkk=1依次求出任何兩個點的距離系數(shù)d(i,j=l,2,…,n)以后，即可形成一個距離矩陣:(8-255)ij(8-255)dd-d11121ndd?dD=21222ndddn1n2nn

它反映了地理單元的差異情況在此基礎(chǔ)上就可以根據(jù)最短距離法或最大距離法或中位線法等進(jìn)行逐步歸類，最后形成一張聚類分析譜系圖，如圖8-2-1。除上述的歐氏距離外，定義相似程度的還有絕對值距離、切比雪夫距離、馬氏距離、蘭氏距離、相似系數(shù)和定性指標(biāo)的距離等。d1.東北區(qū)2.內(nèi)蒙古及長城沿線區(qū)3.黃淮海區(qū)d1.東北區(qū)2.內(nèi)蒙古及長城沿線區(qū)3.黃淮海區(qū)4.黃土高原區(qū)5.長江中下游區(qū)6.西南區(qū)7.華南區(qū)8.甘新區(qū)9.青藏區(qū)圖8-2-1九大農(nóng)業(yè)區(qū)聚類譜系圖判別分析的特點是根據(jù)已掌握的、歷史上每個類別的若干樣本的數(shù)據(jù)信息，總結(jié)出客觀事物分類的規(guī)律性，建立判別公式和判別準(zhǔn)則，就能判別該樣本所屬的類別。例如，在評價產(chǎn)品的市場競爭力時，可根據(jù)商品的多項指標(biāo)(諸如其內(nèi)在質(zhì)量、外型美觀以及包裝價格等)判別消費者對商品喜歡或不喜歡。判別分析依其判別類型的多少與方法的不同，可分為兩總體判別、多總體判別和逐步判別等。判別分析要求根據(jù)已知的特征值進(jìn)行線性組合，構(gòu)成一個線性判別函數(shù)y,即y=C*X+C*XHFC*X=￡C*X((72-6)1122mmkkk=1式中，ck(k=1,2,…,m)為判別函數(shù)，它可反映各要素或特征值作用方向、分辨能力和貢獻(xiàn)率k的大小。只要確定了ck，判別函數(shù)y也就確定了。xk為已知各要素(變量)的特征值。為了使kkI=[y(A)-j(B)]2[yi(I=[y(A)-j(B)]2[yi(A)-y(A)]2+iE[y.(B)-$(B)]2ii=1i=1判別函數(shù)求出以后，還需要計算出判別臨界值，然后進(jìn)行歸類。不難看出，經(jīng)過二級判別所作的分類是符合區(qū)內(nèi)差異小而區(qū)際差異大的劃區(qū)分類原則的。8.3回歸分析模型回歸分析是研究因變量y和自變量x之間存在某種相關(guān)關(guān)系的方法，其中要求自變量x是可以控制或可以精確觀察的變量，因此當(dāng)x取每一個確定值后，y就有一定的概率分布。iiii=1ii=1若y的數(shù)學(xué)期望存在，則其值是x的函數(shù)。即y=p(x),這個p(x)稱為y對x的回歸函數(shù)，或稱y關(guān)于x的回歸?；貧w函數(shù)可以是一元函數(shù)，也可以是多元函數(shù)，可以是線性的，也可以是非線性的。下面我們主要介紹一元線性回歸和多元線性回歸模型。一、一元線性回歸橫型假設(shè)自變量為x,因變量為y,估計y與x之間存在線性關(guān)系，則有y=B0+B］X(8-3-1)其中B0,B1是待定的未知常數(shù)，稱為回歸系數(shù)。式(8-3-1)稱為一元線性回歸模型。設(shè)(x,y)i=1,2,?,n是一組觀測數(shù)據(jù)，考慮到實際觀測中，由于隨機因素的干擾，因變量ii的取值不僅與自變量的取值有關(guān)，而且與誤差有關(guān)，我們利用這組數(shù)據(jù)，建立如下方程組yi=p0+BIxi+eii=1,2,…,n(8-3-2)e表示觀測過程中隨機因素'對y的影響誤差，假設(shè)e是獨立同分布的不可觀測的隨機iii變量，e?N(0,O2)。y是可觀測的(即能給出樣本值的)獨立的隨機變量，y?N(B+px,iii01iO2)。x可以是一般變量，也可以是隨機變量。i(8-3-2)式中的回歸系數(shù)B0與B］，隨機誤差ei通過以下方法估計其值。將B0與B』勺估計值代入(8-3-1)式用來確定°x與y之間的對應(yīng)關(guān)系，利用e的估計值可以評價模型的有1效性。__通常是采用最小二乘法估計B0與B］。其原理是選取B0，B］的估計量亍。與F1，使誤差e的平方和達(dá)到最小。令°°°iRSS(卩0,片)二工(yi-P0一幾x.)201i01ii=1RSS(B0，B丿是殘差的平方和。利用拉格朗日乘子法，易從上式中求出：P0=y-卩］XP1=(X'X)-1X'Y(8-31⑻這里x=(x,x,?,x)',y=(y,y,…，y)'12n12nx=十工x,y=+工yn.n.__i=1i=1把(8-3-3)式解得的B0,P］代入(8-3-2)式，則有y=B0+P1x(8-3-4)稱為n個觀測點上的回歸預(yù)報值。然而，變量x,y之間是否存在線性關(guān)系?假若y不依賴于x,即當(dāng)x變化時，y總是一確定的值，那么y與x之間也就不存在線性關(guān)系。因此，需要進(jìn)行假設(shè)檢驗?，F(xiàn)采用平方和分解方法，實行假設(shè)檢驗。令TSS=H(y-y)2表示觀測值與它們的平均數(shù)的離差的平方和，可稱為總平方和。iESS二工(y-y)2表示估計的y值與其平均數(shù)的離差平方和，稱為回歸平方和。i=1RSS=H(y-y)2,稱為殘差平方和。iii=1它們之間存在如下的數(shù)量關(guān)系：TSS=ESS+RSS(8-3-5)這個等式說明，y的觀測值的總平方和可分解為兩部分：一部分可歸于回歸方程存在的原因，另一部分則是隨機因素所致。這樣，就可以如下定義系數(shù)：r2=-ES&心二蜩)TSS顯然0Wr2Vl,通常把r稱為相關(guān)系數(shù)?？谠浇咏诹?，x,y之間線性相關(guān)的程度越小;反之，r2越接近于1,x,y之間線性相關(guān)程度越密切。故只有當(dāng)r2大到一定程度時，相關(guān)性才是顯著的。相關(guān)性顯著的指標(biāo)采用F統(tǒng)計量來衡量。設(shè)：fTSS:總平方和的自由度；f=總觀測數(shù)-l=n-lTSSfESS:回歸平方和的自由度；ESSf=回歸系數(shù)的個數(shù)-1,對于一元線性回歸模型：ESSf=1ESSfRSS:殘差平方和的自由度；RSSf=總觀測數(shù)-回歸系數(shù)的個數(shù)=n-2RSS平方和除以相應(yīng)的自由度，稱為均方?？梢宰C明：殘差平方和的均方是誤差方差"的一個無偏估計。令:ESS/fF=ESS-RSS/fRSS(7-W)上式中fESS=1，fRSS=n_2,代入上式，有：百(1)ESSF=(n—1)-2RSS在給定分子和分母的自由度，以及顯著水平a，可以從F分布的統(tǒng)計表中查出F值，記住F，將式(8-3-7)所得的F值與F相比較，當(dāng)F>F時，則認(rèn)為對于給出的a水平，相aaa關(guān)性是顯著的；反之，若FVF，則認(rèn)為相關(guān)性是不顯著的，y與x之間用線性描述。a二、多元線性回歸模型設(shè)自變量x,x,?,x與因變量y有關(guān)，這時需采用多元線性回歸模型。TOC\o"1-5"\h\z12my=B+Bx+Bx+?+Bx(7(8153-8)01122mm假設(shè)y,x,x,?,x(i=1,2,?,n)是n次觀測數(shù)據(jù)，它們之間有如下關(guān)系：ii1i2imy=B+Bx+Bx+?+Bx+u(i=1,2,?,n)(8-3-9)i01i12i2mimi式中：Bo—截距；BrB2，…，B—偏回歸系數(shù)；u—隨機干擾項；1i—第i個觀測值；n—總體容量。(8-3-70)(8-3-70)y-1x…-x1111m八y1x…?xy=2X=212m_y_1x…?xnn1nm「卩11u=u1_p_umm貝有y=X0+u參數(shù)估計：a=(XTX)-iXTY方差分析：總平方和TSS二工(y-$)2i殘差平方和RSS丄(y-y)2ii=1回歸平方和ESS=TSS-RSS復(fù)相關(guān)系數(shù)：r=^~ess7tss=j匚RSSTTSS回歸標(biāo)準(zhǔn)差：s=tRSS/n-m-1總體F值檢驗：假設(shè)H在P=0,P=0,…,P=0時012mESS/mF=一RSS/(n-m-1)當(dāng)F值大于臨界值時，拒絕H。，即認(rèn)為線性回歸方程顯著。TOC\o"1-5"\h\z回歸系數(shù)t檢驗：對于i=0,l,…,m。H在B=0,B=0,…，B=0時012m■d?RSS/(n-m-1)"ii其中d=(XtX)-i,t大于臨界值時，拒絕H，即認(rèn)為B是相關(guān)顯著的。iii0iDW檢驗：u=y-y,殘差序列u,u,,uxtttt-1t-n-1DW=工(u-u)2/RSSii-1設(shè)臨界值上、下限為d,d,則uldVDWV4-d無自相關(guān)uudVDWVd和4-dVDWV4-d不能確定luulDWVd]正自相關(guān)DW>4-d]負(fù)自相關(guān)當(dāng)殘差序列自相關(guān)性較弱時,DW=2。三、計算實例表8-3-1年份財政支出基建貸款增撥流動資金文、衛(wèi)、科事業(yè)費用其它費用1955269.388.554.9919.3265.001960654.1354.567.4750.4658.001965466.3158.527.5545.5986.761970649.4298.431.2343.65145.261975820.9327.041.8481.29142.4619801212.7419.436.71156.26193.8419851153.3309.223.63196.96176.35在這些數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上計算出回歸方程。y=-3.1006+1.0254x+1.0254x+3.1101x+1.2689x1234y：財政支出擬合值；x1：基建貸款；x2:增撥流動資金；x3:文、衛(wèi)、科事業(yè)費。X:其它費用。4復(fù)相關(guān)系數(shù)r=0.9989回歸標(biāo)準(zhǔn)差s=15.6855F值檢驗=3112.011DW值檢驗DW=1.43065t檢驗值t=0.3479,t=20.6079,t=5.1533,t=29.1832,t=10.765612345從回歸結(jié)果看,這個模型的擬合情況是較好的。8.4線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃的一般數(shù)學(xué)模型如下:目標(biāo)函數(shù):((8-481)Z=丈ckTmax（或((8-481)ijj=1限制條件:遲aX<遲aX<（或=,>）1jj1j遲aX<（或=,>）2jj2jb1b2（7-4-2）（7-403）迓aX<(或=,>)b(7二24)mjjmmj式中：c(j=l,2,…,k)代表價格系數(shù)、費用系數(shù)或利潤系數(shù)；ja(i=l,2,…,m;j=l,2,…,k)代表已知常數(shù)，或叫做資源消耗系數(shù)；ijb(i=l,2,…,m)代表資源數(shù)量；iX(j=l,2,…,k)代表所求的未知數(shù)。j下面將利用線性規(guī)劃模型，以山東省禹城旱澇堿綜合治理實驗區(qū)為例論證該區(qū)農(nóng)作物結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)景的最優(yōu)方案。目標(biāo)是使糧食、棉花、油料和麻類四種作物(占該區(qū)總耕地的絕大部分)的產(chǎn)值達(dá)到最大。設(shè)糧、棉、油、麻四種作物的面積占耕地總面積(或這幾種作物的面積占總耕地面積之和)的比例分別為x、x、x、x。預(yù)測這四種作物的畝產(chǎn)分別達(dá)到4001234公斤、50公斤、100公斤、200公斤，每公斤的價格分別為0.2572元、2.956元、0.9478元、2.077元。于是便可寫出一個求畝產(chǎn)值達(dá)到最大的目標(biāo)函數(shù)：Z=0.2572X400x+2.956X50x+0.9478X100x+2.077X200x—max1234為了達(dá)到這個目標(biāo)，必須充分利用當(dāng)?shù)刈匀?、?jīng)濟(jì)優(yōu)勢，有效利用土地和水、肥、勞力等資源，并按一定數(shù)量指標(biāo)建立一系列關(guān)系式。設(shè)耕地面積等于1，則四種作物占用耕地的約束可寫成：x+x+x+xW11234經(jīng)過估算，該區(qū)糧、棉、油、麻四種作物每畝耗水量分別為190方、140方、117方、100方。每畝平均耗水量不超過170方，于是便有：190x+140x+117x+100xW1701234按估測，以上四種作物每畝平均化肥施用量分別為50公斤、80公斤、64公斤、26.5公斤，每畝平均不超過55公斤。則施肥水平限制可寫成：50x+80x+64x+26.5xW551234經(jīng)過估算，以上四種作物每畝平均用工分別為35個、50個、30個、28個。平均不超過37個，則勞動力限制可寫成：35x+50x+30x+28xW371234根據(jù)國家需要，糧食耕地占總耕地的比重不能小于0.65，由于市場和銷路的限制，麻類種植占耕地比重不能大于0.08。于是就有：x三0.651xW0.084歸納以上分析的全部情況，便獲得了一個完整的農(nóng)作物結(jié)構(gòu)線性規(guī)劃模型：目標(biāo)函數(shù)：Z=102.9x+148.8x+94.8x+415.4x—max1234TOC\o"1-5"\h\z約束條件：190x+140x+117x+100x<170(1)123450x+80x+64x+26.5x<55(2)123435x+50x+30x+28x<37(3)1234x+x+x+x<1.0(4)1234X］三0.65(5)x<0.08(6)4其中x,x,x,x三01234求目標(biāo)函數(shù)Z和變量x,x,x和x的最優(yōu)解。1234為解決這一問題，利用了線性規(guī)劃單純型法求解程序，通過計算機運算從而求出最優(yōu)解。其結(jié)果見表8-4-1o表8-4-1變量與目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解x糧食耕地占四種作物耕地之和的比重10.6515x棉花占四種作物耕地之和的比重20.1951x油料占四種作物耕地之和的比重30.0801合計1.0000Z目標(biāo)函數(shù)值（元）1360660為了檢驗各約束條件在實現(xiàn)最優(yōu)解中的作用，還進(jìn)行了靈敏度分析。靈敏度是指目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，對于約束條件的單位變化（這里是按約束值增加1%時計算的）反應(yīng)的靈敏性度量。若第一個約束條件值為b,若b有一個變化量為4b而引起目標(biāo)函數(shù)Z的最優(yōu)值變iii化為AZ,則靈敏度入=△Z/Ab。表8-4-2給出靈敏度分析結(jié)果。ii表8-4-2靈敏度數(shù)值備注入10.0000說明第一個約束條件水源的微小變化對目標(biāo)函數(shù)不起約束作用，入20.150