2+iZ2+iZ=------7-----5-1.設1+1~+1,則3=()CiDi【解析】【分析】由題意首先計算復數(shù)z的值，然后利用共軸復數(shù)的定義確定其共輒復數(shù)即可.2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試一、選擇題則歹=1+2i.故選：B.2設集合U=R,集合M={x|x<l},N={x|-lvx<2},則{x|x>2}=()A.N)B.NgMC.q(A/|N)D.M【答案】A【解析】【分析】由題意逐一考查所給的選項運算結果是否為{x\x>2}即可.【詳解】由題意可得MjN={x\x<2}f則%(8")=國22},選項A正確；^,M={x\x>\}t則Njq,M={x|x>-l},選項B錯誤；M7V=(x|-l<x<l),則q,(McN)={x|x<-l或工21},選項C錯誤；^N={x\x<-1或論2},則MJ^N={x\x<\或論2},選項D錯誤;故選：A.3.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該零件的表面積為()【答案】D【解析】【分析】由題意首先由三視圖還原空間幾何體，然后由所得的空間幾何體的結構特征求解其表面積即可.【詳解】如圖所示，在長方體ABCD-\BXCXD}中，AB=BC=2,4氣=3,點K為所在棱上靠近點BpCpD.M,的三等分點，O,L,M,N為所在棱的中點，則三視圖所對應的幾何體為長方體ABCD-A^QD,去掉長方體ONIC}-LMHB{之后所得的幾何體，B-------------VC該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形，故選：D.4.己知f(x)=^—是偶函數(shù)，則。=()eI【答案】D【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運算求解.的兩條對稱軸二二【詳解】因為/*(*)=豐'為偶函數(shù)，則/(x)_/(t)=心_(7)舟=又因為*不恒為0,可得e'—eS')'=0,即e'=e(“-訴,故選：D.5.設。為平面坐標系的坐標原點，在區(qū)域((x,y)|l<x2+y2<4)內隨機取-點，記該點為A,貝埴線Q4的傾斜角不大于買的概率為()【解析】【分析】根據(jù)題意分析區(qū)域的兒何意義，結合幾何概型運算求解.【詳解】因為區(qū)域{(x,y)|l<x2+j2<4}表示以。(0,0)圓心，外圓半徑R=2,內圓半徑〃=1的圓環(huán),則直線OA的傾斜角不大于『部分如陰影所示，在第-象限部分對應的圓心角商。N弓9n結合對稱性可得所求概率a_1.I—-----=—Ji2n6.己知函數(shù)f(x)=sin(a)x+(p)在區(qū)間單調遞增，直線x=^和x=當為函數(shù)y=/(x)的圖像63【答案】B22362TMB.-1C.iD.亟2222【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入x=~—即可得到答案.【詳解】因為f(x)=sin(g+Q)在區(qū)間I單調遞增，所以一二----—=—?且口＞0,則丁=”,vv=—所以一二----—=—?且口＞0,則丁=”,vv=—=2,當x=^時，f(x)取得最小值，則2￡+9=2虹—?，kcZ,662則伊=2虹，kwZ,不妨取化=0,則/(x)sin(2x-^l,貝f[一妄J=sm(—貝f[一妄J=sm(—l=—,故選：D.7.甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有()【解析】【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.【詳解】首先確定相同得讀物，共有C：種情況,然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有A；種，故選：C.8.己知圓錐PO的底面半徑為占，O為底面圓心，所，PB為圓錐的母線，￡4QB=120。，若.PAB的面積等于匝，則該圓錐的體積為()4A.兀B.^71C.3nD.3??！净肅【解析】【分析【幻C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，推導確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【詳解】取A3的中點E，連接CE,DE,因為是等腰直角三角形，且AB為斜邊，則有CE1AB.又△A8Z)是等邊三角形，則DEOAB，從而NCEQ為二面角C-AB-D的平面角，即ZCED=\50，【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進而求出圓錐的高，求出體積作答.【詳解】在&4O8中，￡408=120°，而OA=OB鄧，取AC中點C,連接OC,PC,有OCLAB,PCLAB,如圖，旦AB=2BC=3,由.PAB的面積為匝，得lx3xPC=^2424解得PC=,于是PO=JPC'O?=j(孕I手)2=妤所以圓錐的體積V=-nxOA2xPO=-nx(y/3)2xy/6=46n.33ZABO=30.OC=故選：B9.已知^ABC為等腰直角三角形，AB為斜邊，△AEZ)為等邊三角形，若二面角。-人8-。為150。,則直線CD與平面ABC所成角的正切值為(,【答案】B【解析】【分析,【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項公式，再結合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理作.【詳解】依題意，等差數(shù)列{%}中，％=《+(〃一1)?號二三〃+(6一《)，顯然函數(shù)y=COS[y/?+(^-y)]的周期為3,而即COS%最多3個不同取值，又顯然CEcDE=E,CE,DEu平面COE，于是AB1平面C龐，又ABu平面ABC,因此平面CDEL平面ABC,顯然平面CDEc平面ABC=CE,直線CDu平面CDE，則直線CD在平面A8C內的射影為直線CE,從而NDCE為直線CD與平面ABC所成的角，令AB=2，則CE=1,DE=H，在一CDE中，由余弦定理得:CD=y/cE2+DE2-2CE-DEcosZCED=sinZDCEsinZC^￡>V72<7DECD即sinZDCE=^^~=~^=,顯然NDCE是銳角，cos2DCE=Jl-sir?2DCE=所以直線CD與平面ABC所成的角的正切為如.5故選：C10.己知等差數(shù)列{%}的公差為學，集合S={cosq|〃€N*},若S={”,。},則瀝=()B.—2D.-2B.—2D.-2A.-1|D211.設A,8為雙曲線工2_號=1上兩點211.設A,8為雙曲線工2_號=1上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是()A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1)【解析】【分析】根據(jù)點差法分析可得1^1=9,對于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點個數(shù)，逐項分析判斷；對于C：結合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設必而療),研易,力)，則的中點材(號言笑也)，(cosan|hgN*}={ci,b},于是有cos/9=cos(6>+—),即有。+(。+竺)=2虹,keZ,解得0=kit--,keZ,333所以ksZ,ab=cos(Zti-—)cos[(^7r-—)+—]=-cos(^7t-—)coskn=-cos2Attcos—.333332B凹+、2可得灼=222222兩式相減得(蚌一￡)一=o,因為A,B在雙曲線上，則，所以“AB?k==9.對于選項A：可得Sl—=9,則AB:y=9x-S,y=9x-S聯(lián)立方程〈▲U=l，消去>得72月一2乂72工+73=0,9此時△=(-2x72)2-4x72x73=-288vO,所以直線人8與雙曲線沒有交點，故A錯誤;9此時△=(2x9此時△=(2x45)2-4x45x61=Tx45xl6<0,所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：可得k=3,kAB=3,則AB:y=3x由雙曲線方程可得。=1，=3,則AB:y=3x為雙曲線的漸近線,所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；97聯(lián)立方程〈,消去y得63好+126工一193=0,y=—x—442MA=1262+4x63x193>0?故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確;故選：D.12.己知O。的半徑為1,直線31與OO相切于點A,直線P8與。O交于8,C兩點，D為BC的中點,44【解析】【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得以.PZ)=!一季sin2。一§),或PA.F￡)=?+gsin2。+：然后結合三角函數(shù)的性質即可確定PAPZ)9對于選項B：可得9對于選項B：可得k——2,kAB=——,則AB:y—9聯(lián)立方程<消去〉得45尸+2乂45工+61=()，若|PO|=JL則24.戶￡)的最大值為()1+^22C.1+很24【詳解】如圖所示，|OA|=1,|OF|=JL貝ij由題意可知:匕4FO=45,由勾股定理可得pa=』of^-o￡=1當點4。位于直線PO異側時，設ZOPC則：pa.PD=IPA||P￡>|cosa+f/4JlxV2lxV2C0S6ZC0Sa+—4=>/2cosa52=cos2a-sinacosa2=Ms』2口224°”弓’則壬m一35."3,時’必/D有最大電4a,0<a<4當點位于直線PO同側時，設ZOPCa,0<a<—,.c712222I40<a<-,則一《2。+—K一4442.,?當2a+￡=￡時，P4PD有最大值”二.422綜上可得，pa.pd的最大值為也反2故選：A.【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉化為三角函數(shù)求最值的問題，考查了學生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.題13.己知點A(l,>/5)在拋物線C：y2=2px±f則A到C的準線的距離為.9【答案】一4【解析】【分析】由題意首先求得拋物線的標準方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準線方程為工=-°,最后利4用點的坐標和準線方程計算點A到C的準線的距離即可.【詳解】由題意可得：(J^「=2pxl,則2〃=5,拋物線的方程為、2=5x,/5、9準線方程為工=一一，點A到C的準線的距離為1---I4；4\\a—cos.^sina2x-3y<-\14.若x-3y<-\14.若x,)，滿足約束條件，x+2y<9,則z=2x-y的最大值為.3x+y>l【解析】【分析】作出可行域，轉化為截距最值討論即可.詳解】作出可行域如下圖所示：z=2x-yf移項得y=2x-z,x-3y=-\fx=5415.己知{"〃}為等比數(shù)列，。2。4。5=。3%，％。10=-8，則。7=.【答案】-2【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對"4%="6化簡得郴=1，聯(lián)立為《0=-8求出e=-2,最后得z7=aq"=q，=-2.【詳解】設{%}的公比為冬(0工0),則ci2a4a5=a3a6=a2q-a5q,顯然則%*2,即W=q?,則《0=1,因為％%0=-8,則=-8,則"5=(05)3=_8=(—2)3,則g=_2,則%=白向礦=q，=-2,聯(lián)立有〈/,解得]設人(5,2),顯然平移直線y=2x使其經過點A,此時?截距-z最小，則z最大,故答案為：8.故答案為：-2.16.設故答案為：-2.16.設6TG(0,l),若函數(shù)/*(*)="+(1+1)、在(0,+8)上單調遞增，則。的取值范圍是.【答案】[穿，1)【解析】【分析】原問題等價于f\x)=ax\na+(\+a^ln(l+〃)20恒成立，據(jù)此將所得的不等式進行恒等變形，可得—火"由右側函數(shù)的單調性可得實數(shù)。的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數(shù)"的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的解析式可得f\x)=ax\na+(\+a\ln(l+a)>0在區(qū)間(0,+勿)上恒成立，則(l+i)'ln(l+")2—/lno,即(蜉)2、二)在區(qū)間(°，+8)上恒成立，故=]2一「,而q+1e(1,2),故ln(l+tz)>0,故*(")2—1%即"+1)21,故也“〈I，結合題意可得實數(shù)以的取值范圍是[g、，l.故答案為：[與kl)三、解答題17.某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產品的試驗序號/123456789伸縮率N伸縮率N否則不認為有顯著提高).【答案】(否則不認為有顯著提高).【答案】(1)Z=lbS〉=61；(2)認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高.【解析】【分析】(1)直接利用平均數(shù)公式即可計算出云亍，再得到所有的z,?值，最后計算出方差即可；(2)根據(jù)公式計算出2屆的值，和；比較大小即可.(1)求；，s2;(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高(如果z>2屆，則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高，【小問1詳解】x=------------------------------------------------------=552.3,=541.3,z=x-y=552.3-541.3=11,nx.v*=-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=o1所以認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高.】8.在^ABC中，己知匕B4C=120。，AB=2，AC=\.(1)求sin匕ABC：(2)若。為BC上一點，且ZBAD=90%求ZVIDC的面積.【小問2詳解】由(1)知由(1)知：z=lb=2』6.\—』24.4，故有z>2^3,(2)匝.【解析】【(2)匝.【解析】【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長BC的值為BC=J7,然后由余弦定理可得cosB=匝，最后由同【答案】(1)匝；角三角函數(shù)基本關系可得sinB=匝；(2)由題意可得李亞=4,則S^ACD=-S^ABCf據(jù)此即可求得△/!￡)(?的面積.【小問1詳解】由余弦定理可得：=4+l-2x2xlxcosl20=7，則BC=V7，cosB=----------=--------==----,lac2x2x7714【小問2詳解】S—xABxADxsin90由三角形面積公式可得浮業(yè)=岸-------------------=4,S-acd—xACxAOxsin302則=?S△軟=，(：x2xlxsinl20=黑.JD\ZyIkJ19.如圖，在三棱錐P-ABC中，AB1BC,AB=2，BC=2皿，PB=PC=?，BP,AP,BC的中點分別為D,E,0,AD=,DO,點F在AC上，BFLAO.p(1)p(1)證明：以〃平面ADO；(2)證明：平面ADO.L平面8EF；(3)求二面角D-AO—C的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)豆.2【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件，證明四邊形0D以為平行四邊形，再利用線面平行判定推理作答.(2)由(1)的信息，結合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.(3)由(2)的信息作出并證明二面角的平面角，再結合三角形重心及余弦定理求解作答.【小問1詳解】連接設AF=tAC,則BF=BA+AF=+,AO=-BA+^BC,BF邊形，EF//DO,EF=DO,又EF<Z平面AOQOOu平面ADO所以以〃平面ADO.解得t=-f則F為AC的中點，由D,E,O,F分別為PB,R4,BGAC的中點，2于是DE//AB,DE=\AB、OF/1AB,OF=-AB,即DE//OF,DE=OF，貝ij四邊形ODEF為平行四22==+1+=+-rBC2=4(z-l)+4r=0,由(1)由(1)可知EF//OD,則A0=8,。。=亟，得AD=45DO=—22【小問2詳解】因itOD^AO2=AD2=—,則ODVAO,有EFYAO.2又AO1BF,BF\EF=F,BF,EFu平面BEF，則有AOJL平面BEF，又AOu平面ADO,所以平面ADO1.平面BEF.【小問3詳解】過點。作0H//8F交AC于點H,設ADBE=G,由AO1BF,得HO1AO,且FH=-AH,3又由(2)知，OD.LAO,則ND0H為二面角D-A0-C的平面角，因為O,E分別為的中點，因此G為aPAB的重心，1113即有。G=—AD,GE=—BE,又FH=-AH,即有DH=—GF,33324+315—_cosZABD=2x2^=?2x了2x務8解得PA=應，同理得8E=匝2,2在△D0H中，OH=-BF=—,0D=—,DH=—，2222PV15zV15z,3屈應于是BE2+EF2=BF2=3^即有BELEF，則GF2=32從而GF=----，DH=—x------=------，3232ee_6+315_于是cosZD0H=打*%=一-,sin2D0H=2x?x四222所以二面角D-AO-C的正弦值為豆2一史,-2'20.已知橢圓C：%.+§=1(。＞人＞0)的離心率為季，點4(-2,0)在C上. (1)求C的方程;(2)過點(-2,3)的直線交C于點P,Q兩點，直線AP,AQ與)，軸的交點分別為M,N,證明：線段MN案】(1)匕+土=194 (2)證明見詳解【解析】【分析】(1)根據(jù)題意列式求解a,b,c,進而可得結果；(2)設直線R2的方程，進而可求點M,N的坐標，結合韋達定理驗證蜒互為定值即可.2【小問1詳解】由題意可得，a2=b2+c2,解得方=2,=—=—c5/5=—=—a3所以橢圓方程為丈+三=1.l為+2J同理可得N0,主土l為+2J同理可得N0,主土令"。，解得尸不，即M0,c,則3+2邑+2_[*(石+2)+3]仕(沔+2)+3]xA4尸+9*所以線段PQ的中點是定點(0,3).4廣+9【小問2詳解】由題意可知：直線R2的斜率存在，設P0y=A(x+2)+3,P3涵),Q(邑況),yx,消去)，得：(4?+9)j+8k(2#+3)x+16(A：2+3A:)=0,4號+9因為人(一2,0),則直線AP:y=^-(x+2),可得…【解析】【點睛】方法點睛：求解定值問題的三個步驟 (1)由特例得出一個值，此值一般就是定值； (2)證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關;也可令系數(shù)等于零，得出定值； 21.己知函數(shù)/(x)=[!+“)m(i+x).(1)當“時，求曲線J=/(x)在點(1,/(1))處的切線方程；(2)是否存在s。，使得曲線關于直線x=b對稱，若存在，求sb的值，若不存在，說明(3)若/'(X)在(0,+8)存在極值，求。的取值范圍.【答案】(1)(ln2)x+y-ln2=0； (2)存在a=-,b=~-滿足題意，理由見解析.22⑶)【分析】(1)由題意首先求得導函數(shù)的解析式【分析】(1)由題意首先求得導函數(shù)的解析式，然后由導數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標，最后求解切線方程即可；(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實數(shù)b的值，進一步結合函數(shù)的對稱性利用特殊值法可得關于實數(shù)。的方程，解方程可得實數(shù)。的值，最后檢驗所得的。，人是否正確即可；(3)原問題等價于導函數(shù)有變號的零點，據(jù)此構造新函數(shù)^(x)=ot2+x-(x+l)ln(x+l),然后對函數(shù)求導，利用切線放縮研究導函數(shù)的性質，分類討論a＞-和0＜。＜上三中情況即可求得實數(shù)。的取值22【小問1詳解】當々=一1時，ln(x+1),函數(shù)的定義域滿足-+1=—＞0,即函數(shù)的定義域為(-8,-l)D(0,+OO),定義域關于直線x=-~對稱，由題意可得b=-~,22由對稱性可知'一；一"7)(刀＞!，即(in2)x+y-ln2=0.【小問2詳解】由函數(shù)的解析式可得二(工+〃)血(，+1),1x+1經檢驗。=上,人=—滿足題意，故。=—,方=一上.2222【小問3詳解】由函數(shù)的解析式可得廣(【小問3詳解】由函數(shù)的解析式可得廣(X)=(—2ln(x+1)+[—一—由/'(■￥)在區(qū)間(0,4-<X>)存在極值點，則廣3)在區(qū)間(0,+8)上存在變號零點;令]--yln(x+l)+f—+6?—二0,Vx)\x)x+\則-(x+l)ln(x+l)+(x+a￥2)=o,令8(工)=物4-x-(x+l)ln(x+l),f(x)在區(qū)間(O,+8)存在極值點，等價于g(x)在區(qū)間(0,+8)上存在變號零點，g，(x)=2o^-ln(x+l),g"(A：)=2"----*當a<0時,g'⑴vO,g。)在區(qū)間(0,+8)上單調遞減，此時g(*)vg(O)=0，g⑴在區(qū)間(0,+時上無零點，不合題意;當心!，2。21時，由于白■<1,所以g'(x)>O,g'(x)在區(qū)間(0,+時上單調遞增,所以g'(x)>g'(O)=O,g(x)在區(qū)間(0,+8)上單調遞增,g(x)>g(O)=O,所以g(x)在區(qū)間(0,+a?)上無零點，不符合題意；當OvovL時，由g(x)=2a一一二0可得x=--一1,2x+12a(1A當xc0,--一1時，妒⑴<0,g'(jv)單調遞減，當尤4土T，*3)時■，g"3)>°，g'(x)單調遞增，故g'(x)的最小值為g'土一l)=l-2o+ln2o,令〃?(工)=1一x+lnx(O<xv1),則tn[x)=------->0,函數(shù)刀(工)在定義域內單調遞增,w(x)<m(l)=0,即存在a=—,b=—滿足題意.22據(jù)此可得l據(jù)此可得l-x+lnx<0恒成立,則g'令/?(%)=Inx-%2+x(x>0),則h\x)=~^X—X+^>當xg(0,1)時，〃3)>0,/?(尤)單調遞增,當x€(l,+oo)時,/?'(%)<0,/?(x)單調遞減，故機X)方⑴=0,即取等條件為工=1),所以gr(x)=2ax-\n+X8，(2。-1)>2心-1)-[(2。-1)2+(2。-1)]=0,且注意到'(0)=0,根據(jù)零點存在性定理可知:g'(x)在區(qū)間(0,+8)上存在唯"零點％.當xe(0,xo)ut,g'(x)v0,g⑴單調減，當工€(%,+00)時，g'3)>0,g(x)單調遞增，所以g(與)vg(0)=0.令〃(工)=111工一!"一上)，則,/(%)=—-—ri+4)=(x;)匕0‘\x)x21x)則〃(尤)單調遞減，注意到叩)=0,故當xg(l,+oo)>Inx———JvO,從而有—)，所以^(x)=ar2+x-(x+l)ln(x4-l)>ax2+x-(x+\}x-(x+1)——2所以函數(shù)g(x)區(qū)間(0,+8)上存在變號零點，符合題意.(1)(1)綜合上面可知:實數(shù)。得取值范圍是0,-.I2J【點睛】(1)求切線方程的核心是利用導函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導，合函數(shù)求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元. (2)根據(jù)函數(shù)的極值(點)求參數(shù)的兩個要領：①列式:根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;②驗證:求解后驗證根的合理性.本題中第二問利用對稱性求參數(shù)值之后也需要進行驗證.【選修4.4】(10分)22.在直角坐標系xQy中，以坐標原點。為極點，工軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線G的極坐標方程八兀'八[x=2cosa