工程數(shù)學(xué)試卷及答案2018年1月得分評(píng)卷人一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1.B.至少有一發(fā)擊中。2.A.X和Y獨(dú)立。3.B.f(x)=0.5|x|，|x|≤2。4.B.對(duì)于任意的μ，P1<P2。5.A.D(X+c)=D(X)。二、填空題（每空3分，共15分）6.21。7.(1,0,-1)。8.1-(1-P)^3。9.1/2。10.12。三、計(jì)算題（每小題10分，共50分）11.傅氏變換為F(ω)=1/(β+jω)，其中j為虛數(shù)單位。證明：由于f(t)為實(shí)函數(shù)，所以F(ω)的共軛也是F(ω)。即F*(ω)=1/(β-jω)。因此F(ω)F*(ω)=1/(β^2+ω^2)。根據(jù)傅氏反演公式，得到f(t)=(1/2π)∫F(ω)e^(jωt)dω=(1/2π)∫F(ω)e^(-jωt)dω。將F(ω)F*(ω)代入可得f(t)=(1/2π)∫e^(-βt)dt=1/(2πβ)。1.發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)“1”的概率為：0.6*0.8+0.4*0.1=0.53。2.當(dāng)收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“1”時(shí)，發(fā)報(bào)臺(tái)確是發(fā)出信號(hào)“1”的概率為：0.6*0.8/0.53=0.905。13.(1)常數(shù)c為1/16；(2)P(X≥Y)=∫∫{ce^[-(2x+4y)]}dxdy=1/2；(3)X與Y不相互獨(dú)立，因?yàn)镻(X≥1,Y≥1)=1/16≠P(X≥1)P(Y≥1)=3/16*1/4=3/64。14.設(shè)隨機(jī)變量Xi表示第i個(gè)盒子中是否有球，Xi的期望為E(Xi)=n/N，因?yàn)槊總€(gè)球放入各個(gè)盒子是等可能的。設(shè)隨機(jī)變量X表示有球的盒子數(shù)，則X=∑Xi，所以E(X)=E(∑Xi)=∑E(Xi)=n*N/N=n。15.(1)X的概率分布律為P(X=1)=1/6，P(X=2)=3/6，P(X=3)=2/6；X的分布函數(shù)為F(x)=0(x<1)，1/6(1≤x<2)，4/6(2≤x<3)，1(x≥3)。(2)EX=1*1/6+2*3/6+3*2/6=2。16.(1)A2=aaT*aaT=aaT(aT*a)=║a║2aaT=║a║2A。(2)設(shè)x為a的線性組合，即x=k1a1+k2a2+...+knan，則Ax=aaT(k1a1+k2a2+...+knan)=k1║a║2a+k2║a║2a+...+kn║a║2a=║a║2x，所以a是A的一個(gè)特征向量，而║a║2是A的n-1重特征值。(3)A不能相似于對(duì)角陣Λ，因?yàn)锳只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，而對(duì)角陣Λ需要n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。17.設(shè)需要組織x噸貨源，對(duì)應(yīng)的收益為f(x)=3x*(min(x,4000)-2000)-(x-min(x,4000))*10000，求f(x)的最大值。當(dāng)x≤2000時(shí)，f(x)=3x*(x-2000)，當(dāng)2000<x≤4000時(shí)，f(x)=3x*(4000-2000)-(x-4000)*10000=-7x+20000。所以最大值出現(xiàn)在x=2000時(shí)，此時(shí)f(x)=3*2000*(4000-2000)=18000萬(wàn)元。根據(jù)付氏積分公式，將第一段話改寫為：根據(jù)付氏積分公式，有：f(t)=1/2π∫F(β+jω)e^(jωt)dω代入公式β+jω=√(β^2+ω^2)e^(jarctan(ω/β))，得：f(t)=1/2π∫F(√(β^2+ω^2)e^(jarctan(ω/β)))e^(jωt)dω將其化簡(jiǎn)得到：f(t)=1/2π∫(cos(ωt)/√(β^2+ω^2))dω進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到：∫cos(ωt)/(β^2+ω^2)dω=πe^(βt)/(2β)將第二段話改寫為：設(shè)事件A1為“發(fā)出信號(hào)1”，事件A0為“發(fā)出信號(hào)”，事件A為“收到信號(hào)1”。根據(jù)全概率公式，有：P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0)代入已知概率值得到：P(A)=0.8×0.6+0.1×0.4=0.52根據(jù)貝葉斯公式，有：P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/P(A)代入已知概率值得到：P(A1|A)=0.8×0.6/0.52=12/13將第三段話改寫為：(1)根據(jù)聯(lián)合概率密度的性質(zhì)，有：∫∫f(x,y)dxdy=1代入已知函數(shù)得到：∫∫ce^-(2x+4y)dxdy=1解出c得到c=8。(2)根據(jù)定義，有：P(X≥Y)=∫∫f(x,y)dxdy,x≥y代入已知函數(shù)得到：P(X≥Y)=∫∫8e^-(2x+4y)dxdy,x≥y化簡(jiǎn)得到：P(X≥Y)=2/3(3)對(duì)于x>0，有：f_X(x)=∫f(x,y)dy=-2e^(-2x)對(duì)于x≤0，有：f_X(x)=∫f(x,y)dy=0同理可得f_Y(y)=4e^(-4y)。由于f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)，因此X與Y相互獨(dú)立。將第四段話改寫為：設(shè)事件Ai表示第i個(gè)盒子有球，i=1,2,...,N。則X表示有多少個(gè)盒子有球，有公式：X=∑Xi,i=1toN其中Xi為第i個(gè)盒子有球的指示函數(shù)，取值為0或1。根據(jù)概率公式，有：P(Xi=1)=n/NP(Xi=0)=1-n/N因此，有：E(Xi)=P(Xi=1)=n/N代入公式得到：E(X)=N(1-(1-n/N)^2)隨機(jī)變量X的取值為1、2、3，且P{X=2}=P(X=3)=1/6。X的分布函數(shù)F(x)=P{X≤x}，當(dāng)x<1時(shí)，F(xiàn)(x)=0；當(dāng)1≤x<2時(shí)，F(xiàn)(x)=1/6；當(dāng)2≤x<3時(shí)，F(xiàn)(x)=1/2；當(dāng)x≥3時(shí)，F(xiàn)(x)=1。因此，P{X=1}=1/3。設(shè)矩陣A=[aa;aa]，則A2=[a2+aba2+ab;a2+aba2+ab]，而A·a=[a2+a·b;a2+a·b]，故a是A的一個(gè)特征向量。又A對(duì)稱，故A必相似于對(duì)角陣diag(λ?,λ?,…,λ?)=B，其中λ?,λ?,…,λ?是A的特征值。因?yàn)閞ank(A)=1，所以rank(B)=1，從而λ?,λ?,…,λ?中必有n-1個(gè)為0，即是A的n-1重特征值。又因?yàn)锳的特征值都相同，故λ?=a+a=2a，而B=2a·e·e?，其中e=[1;1]，故B2=4a2·e·e?=4B，即2B=B2，故2B是對(duì)角陣Λ=diag(║a║,0,…,0)的平方，即2Λ=diag(2║a║,0,…,0)，故A相似于2Λ。設(shè)y為預(yù)備出口的該商品的數(shù)量，這個(gè)數(shù)量介于2000與4000之間，用Z表示國(guó)家的收益（萬(wàn)元），則有Z=g(X)，其中X為出口量，當(dāng)X≥y時(shí)，Z=3y；當(dāng)X<y時(shí)，Z=3X-(y-X)。因X服從R(2000,4000)，故f_X(x)=1/2000，當(dāng)