2024-2024東城高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)2024.1高三數(shù)學(xué)（理）（東城）第1頁(yè)（共13頁(yè)）

東城區(qū)2024-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末

高三數(shù)學(xué)（理科）2024.1

本試卷共4頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題

目要求的一項(xiàng)。

（1）若集合{2,1,0,1,2,3}A=--，{|1Bxx=，則AB=

（A）{2,3}-（B）{2,1,2,3}--（C）{0,1}

（D）{1,0,1,2}-

（2）函數(shù)3sin(2)4

yxπ

=+圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離是

（A）2π（B）π（C）2π（D）4

π（3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的x值為

（A）1（B）2

（C）3

2

（D）74

高三數(shù)學(xué)（理）（東城）第2頁(yè)（共13頁(yè)）

（4）若,

xy滿意332,,,yxxyy??+???

≤≥≥則xy-的最小值為

（A）5-

（B）3-（C）2-

（D）1-

（5）已知函數(shù)41

()2

xxfx+=，則()fx的

（A）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在),0[+∞上是增函數(shù)（B）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在),0[+∞上是增函數(shù)（C）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在),0[+∞上是減函數(shù)（D）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在),0[+∞上是減函數(shù)（6）設(shè),ab為非零向量，則“

=a+ba-b”是“0?ab=”的

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件

（D）既不充分也不必要條件

（7）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（A）

1

6

（B）13

（C）

12

（D）1

（8）現(xiàn)有n個(gè)小球，甲乙兩位同學(xué)輪番且不放回抓球，每次最少抓1個(gè)球，最多抓3個(gè)

球，規(guī)定誰(shuí)抓到最終一個(gè)球誰(shuí)贏.假如甲先抓，那么以下推斷正確的是（A）若4n=，則甲有必贏的策略（B）若6n=，則乙有必贏的策略（C）若9n=，則甲有必贏的策略

（D）若11n=，則乙有必贏的策略

正（主）視圖

側(cè)（左）視圖

俯視圖

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其次部分（非選擇題共110分）

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。（9）若復(fù)數(shù)(1+i)(i)a-為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=．（10）()5

12x+的綻開式中，2x的系數(shù)等于．

（11）已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，46

4aa+=，則5S=_______．

（12）在極坐標(biāo)系中，若點(diǎn)(,)3

Amπ

(0)m>在圓2cosρθ=外，則m的取值范圍為．

（13）已知雙曲線C：2

2

21(0)yxbb

-=>的一個(gè)焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為1，則

b=；若雙曲線1C與C不同，且與C有相同的漸近線，則1C的方程可以

為．（寫出一個(gè)答案即可）

（14）如圖1，分別以等邊三角形ABC的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心、以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形ABC稱為勒洛三角形ABC，等邊三角形的中心P稱為勒洛三角形的中心.如圖2，勒洛三角形ABC夾在直線0y=和直線2y=之間，且沿x軸滾動(dòng).設(shè)其中心(,)Pxy的軌跡方程為()yfx=，則()fx的最小正周期為；

()yfx=的圖象與性質(zhì)有以下描述：

①中心對(duì)稱圖形；②軸對(duì)稱圖形；③一條直線；④最大值與最小值的和為2.其中正確結(jié)論的序號(hào)為__________.（注：請(qǐng)寫出全部正確結(jié)論的序號(hào)）

圖1圖2

{}nanSn16a

=

高三數(shù)學(xué)（理）（東城）第4頁(yè)（共13頁(yè)）

三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（15）（本小題13分）

在ABC△中，角,,ABC所對(duì)的邊分別為,,abc,2a=，2sinsinAC=．(Ⅰ)求c的長(zhǎng)；

(Ⅱ)若B為鈍角，1

cos24

C=-,求ABC△的面積．

（16）（本小題13分）

中國(guó)特色社會(huì)主義進(jìn)入新時(shí)代，我國(guó)經(jīng)濟(jì)已由高速增長(zhǎng)階段轉(zhuǎn)向高質(zhì)量進(jìn)展階段.貨幣政策是宏觀經(jīng)濟(jì)調(diào)控的重要手段之一，對(duì)我國(guó)經(jīng)濟(jì)平穩(wěn)運(yùn)行、高質(zhì)量進(jìn)展發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用.某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組為了討論人民幣對(duì)某國(guó)貨幣的匯率與我國(guó)經(jīng)濟(jì)進(jìn)展的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)了2024年下半年某周五個(gè)工作日人民幣對(duì)該國(guó)貨幣匯率的開盤價(jià)和收盤價(jià)，如下表：

（Ⅰ）已知這5天開盤價(jià)的中位數(shù)與收盤價(jià)的中位數(shù)相同，求a的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，從這5天中隨機(jī)選取3天，其中開盤價(jià)比當(dāng)日收盤價(jià)低的天數(shù)記為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ；

（III）在下一周的第一個(gè)工作日，收盤價(jià)為何值時(shí)，這6天收盤價(jià)的方差最小.（只需寫出結(jié)論）

（17）（本小題14分）

高三數(shù)學(xué)（理）（東城）第5頁(yè)（共13頁(yè)）

如圖，在四棱錐EABCD-中，平面ADE⊥平面ABCD,

,OM分別為線段,ADDE的中點(diǎn)．四邊形BCDO是邊

長(zhǎng)為1的正方形，AEDE=，AEDE⊥.（Ⅰ）求證：CM//平面ABE；

（Ⅱ）求直線DE與平面ABE所成角的正弦值；

（III）點(diǎn)N在直線AD上，若平面BMN⊥平面ABE，求線段AN的長(zhǎng).

（18）（本小題13分）已知函數(shù)xxxxxfln2

1

61)(3-+=

.（Ⅰ）求曲線)(xfy=在點(diǎn)（1，)1(f）處的切線方程；（Ⅱ）若()fxa>：

的離心率等于2

，經(jīng)過其左焦點(diǎn)(1,0)F-且與x軸不重合的直線l與橢圓C交于,MN兩點(diǎn)．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)O為原點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得點(diǎn)F到直線QM，QN的距離總相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

（20）（本小題13分）

已知數(shù)列12:,,,(2)nAaaan≥滿意*

iaN∈且1(1,2,,)i

aiin≤≤=，數(shù)列

12:,,,(2)nBbbbn≥滿意()1(1,2,,)iibainτ=+=，其中1()0aτ=，()(2,3,,)iainτ=表

示121,,,iaaa-中與ia不等的項(xiàng)的個(gè)數(shù).

（I）數(shù)列A：1，1，2，3，4，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的數(shù)列B；（II）證明：(1,2,,)i

ibain≥=；

（III）若數(shù)列A相鄰兩項(xiàng)均不等，B與A為同一個(gè)數(shù)列，證明：(1,2,,)iaiin==.

（東城）第7頁(yè)（共13頁(yè)）

東城區(qū)2024-2024學(xué)年第一學(xué)期期末教學(xué)統(tǒng)一檢測(cè)

高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（理科）

一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）

（1）A（2）C（3）D（4）B（5）B（6）C（7）A（8）C二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）（9）1-（10）40（11）20（12）(1,)+∞（13）1，222xy-=等（14）23

π

，②④三、解答題（共6小題，共80分）（15）（共13分）

解:（Ⅰ）由于2a=，2sinsinAC=，由正弦定理

sinsinac

AC

=，得4c=．（Ⅱ）由21cos22cos14CC=-=-，得2

3cos8

C=.

由于02Cπ.設(shè)1122(,),(,)MxyNxy，

則21222

12241222.12kxxkkxxk?-+=??+?-?=?+?

，設(shè)(,0)Qt.由點(diǎn),MN在x軸異側(cè)，則問題等價(jià)于“QF平分MQN∠”，且12,xtxt≠≠，又等價(jià)于“12120QMQNyy

kkxtxt

+=

+=--”，即1221()()0yxtyxt-+-=.將1122(1),(1)ykxykx=+=+代入上式，整理得12122()(1)20xxxxtt++--=.將①②代入上式，整理得20t+=，即2t=-，所以(20)Q-，.

①②

高三數(shù)學(xué)（理）（東城）第12頁(yè)（共13頁(yè)）

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，存在(20)Q-，也使得點(diǎn)F到直線QM，QN的距離相等.故在x軸上存在定點(diǎn)(20)Q-，，使得點(diǎn)F到直線QM，QN的距離總相等.（20）（共13分）解：（I）1，1，3，4，5.

（II）1i=時(shí)，由111a≤≤知11a=，由題意知111ba=≥，結(jié)論成立；

2i≥時(shí)，設(shè)(1)iakki=≤≤，若1k=，則iiba≥；

若2ki≤≤，則由1211,2,,1kaaak-≤≤≤-知121,,,kaaa-均不與ia相等.于是()1iakτ≥-，()1iiibakaτ=+≥=.綜上，(1,2,,)i

ibain≥=.

（III）當(dāng)1i=時(shí)，由111a≤≤知11a=，結(jié)論成立；當(dāng)2i≥時(shí)，假設(shè)121,,,iaaa-中存在一項(xiàng)和ia相等，設(shè)為ka.

在數(shù)列121,,,,,,kiiaaaaa-中，由1iiaa-≠，ikaa=可知，第i項(xiàng)之前與ia不相等的項(xiàng)比第k項(xiàng)之前與ka不相等的項(xiàng)至少多了一項(xiàng)1ia-，則()