基于驅(qū)動(dòng)被動(dòng)引力的并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度和彈性變形分析

0串聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度和彈性變形剛性是組合機(jī)構(gòu)最重要的執(zhí)行指標(biāo)之一。剛性性能決定了機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性和定位精度。更高的剛性允許更高的加工速度。對于少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu),由于結(jié)構(gòu)約束的存在,分支中出現(xiàn)了約束反力,在傳統(tǒng)方案中,并沒有考慮機(jī)構(gòu)中約束反力產(chǎn)生的變形,而事實(shí)上這個(gè)變形已經(jīng)達(dá)到了不可忽視的程度。因此在初始設(shè)計(jì)階段,分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度和彈性變形很重要。對于少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度,許多學(xué)者也做了研究。Joshi等分析和比較了Tricept機(jī)構(gòu)和3-UPU機(jī)構(gòu)的剛度模型。Huang等對一種tripod-based并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了剛度分析。Li等分析了3-PUU機(jī)構(gòu)的剛度。韓書葵等用螺旋理論建立了一種新型4自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度模型。張勇等建立3自由度可約移動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)3-PPRR的剛度模型。李劍鋒等對具有大位置空間的2PUS-PU3自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度進(jìn)行了分析。本文中我們以3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對象,通過驅(qū)動(dòng)力/約束力研究分支剛度伴隨矩陣和彈性變形,從而求解機(jī)構(gòu)總的剛度矩陣和彈性變形。13-spr組合結(jié)構(gòu)的剛性和彈性變形1.13驅(qū)動(dòng)分段的靜力學(xué)建模由文獻(xiàn)中并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的約束力位置和方向的約束情況可知3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)中只存在約束力,無約束力矩。3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)及其受力情況如圖1所示。整個(gè)工作載荷被簡化為作用在動(dòng)平臺(tái)m的o上的集中力/力矩(F,T),(F,T)平衡于機(jī)構(gòu)本身產(chǎn)生的3個(gè)驅(qū)動(dòng)力力Fai(i=1,2,3)和3個(gè)約束力Fci(i=1,2,3)。驅(qū)動(dòng)力Fai沿著ri作用在ri上的Bi上,每個(gè)Fci∥轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線Ri。基于虛功原理,從參考文獻(xiàn)中導(dǎo)出3-SPR的靜力學(xué)方程為式中,J是一個(gè)6×6的雅克比矩陣;ri和δi(i=1,2,3)是驅(qū)動(dòng)分支的長度和單位矢量;ei是從o到bi的矢量;ci(i=1,2,3)是Fci的單位矢量;di是從o到Bi的矢量。1.23spr于各鏈桿間所作的變形(1)連續(xù)性假設(shè):認(rèn)為組成固體的物質(zhì)毫無間隙地充滿了固體的幾何空間。(2)均勻性假設(shè):認(rèn)為從構(gòu)件內(nèi)任取一部分,不論體積大小如何,其力學(xué)性能完全相同。(3)各項(xiàng)同性假設(shè):認(rèn)為固體在各個(gè)方向上的力學(xué)性能完全相同。(4)彈性小變形條件:固體因外力作用而引起的變形,限于變形的大小遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于構(gòu)件原始尺寸的情況,且在外力解除后又可恢復(fù)原狀。(5)不考慮各轉(zhuǎn)動(dòng)副處的變形和間隙。(6)動(dòng)平臺(tái)比各鏈桿的尺寸大很多,其變形遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于桿的變形,為計(jì)算動(dòng)平臺(tái)上中心點(diǎn)變形及協(xié)調(diào)關(guān)系,假定動(dòng)平臺(tái)為剛體。并聯(lián)機(jī)構(gòu)中每個(gè)SPR分支既受軸向力作用產(chǎn)生拉壓彈性變形,又受切向力作用產(chǎn)生彎曲彈性變形,每個(gè)分支的變形可以看作這兩種變形分別作用的結(jié)果。設(shè)定如下參數(shù):r1i、B1i、I1i分別為分支活塞的長度、截面積和慣性矩;r1i-r1i、B2i、I2i分別為分支液壓缸的長度、截面積和慣性矩;Ei為分支ri的彈性模量。當(dāng)每個(gè)驅(qū)動(dòng)力Fai(i=1,2,3)沿著ri作用在驅(qū)動(dòng)分支ri上時(shí),分支上產(chǎn)生的軸向彈性微變形δai(圖2a)為,約束力Fci施加在SPR分支上的S副,產(chǎn)生一個(gè)徑向的彎曲彈性變形δci(圖2b)為式中,kai和kci分別是SPR分支的軸向剛度和彎曲剛度,其推導(dǎo)過程參見文獻(xiàn)。由式(2)~式(3)可導(dǎo)出分支的力變形方程為式中,Kp是3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)分支ri的一個(gè)6×6的伴隨矩陣。1.33構(gòu)變形創(chuàng)造的虛功總量與由f,t的變異產(chǎn)生的虛功根據(jù)虛功原理有(Fa1,Fa2,Fa3,Fc1,Fc2,Fc3)沿并聯(lián)機(jī)構(gòu)變形產(chǎn)生的虛功總量與由(F,T)沿在{B}里的點(diǎn)o的變形產(chǎn)生的虛功之和為零,如式(5)表達(dá)所示。令(dXo,dYo,dZo)為{B}里m彈性微變形的3個(gè)線位移分量,(dφx,dφy,dφz)為{B}里m彈性微變形的3個(gè)角位移分量。23位姿對動(dòng)平臺(tái)剛度的影響在3SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)中,令初始位姿為α=1°,β=1°(α=γ),Zo=100mm,機(jī)構(gòu)以νZo=3mm/s,ωα=1(°)/s,ωβ=2(°)/s的速度運(yùn)動(dòng)。設(shè)L=100mm,l=50mm,F=[-20,-30,-60]TN,Ei=2.11×1011Pa,EiI1i=EiI2i=26502N·m2,B1i=B2i=0.0013m2。圖3a和3b所示為動(dòng)平臺(tái)歐拉角和位置坐標(biāo)相對時(shí)間t的變化情況,通過分析相關(guān)方程組,可得到ri的伸長量、驅(qū)動(dòng)分支的彈性變形、驅(qū)動(dòng)分支的彎曲變形以及動(dòng)平臺(tái)的最終彈性變形,分別如圖3c~圖3g所示。綜合圖3可以得到:3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度隨著動(dòng)平臺(tái)的位姿變化而變化;當(dāng)動(dòng)平臺(tái)處于初始位置,即驅(qū)動(dòng)分支伸長量最小時(shí),并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度最大。3約束/矩的影響通過求解3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的驅(qū)動(dòng)分支的彈性變形,導(dǎo)出驅(qū)動(dòng)/約束分支的伴隨矩陣,根據(jù)驅(qū)動(dòng)分支的6×6雅克比矩陣和伴隨矩陣,導(dǎo)出3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的總剛度矩陣和彈性變形。3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度隨著動(dòng)平臺(tái)的位姿變化而變化,當(dāng)動(dòng)平臺(tái)處于初始位置,即驅(qū)動(dòng)分支伸長量最小時(shí),并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度最大。約束力/矩對3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的彈性有巨大的影響,當(dāng)建立3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的總剛度矩陣和求解其彈性變形時(shí),必須充分考慮約束力/矩的影響。用解析法建立本文中并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度模型時(shí),僅考慮連桿和驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)等組件彈性的影響,所建模型缺乏一定的完備性,勢必會(huì)影響剛度預(yù)測的精確度,并且所建模型還缺乏對鉸鏈間隙以及預(yù)應(yīng)力影響的考慮,因此很多研究內(nèi)容還需要進(jìn)一步深入開展。為了便于計(jì)算先做如下假設(shè):結(jié)合式(