11/12第41講離心率的求值或取值范圍問題【高考地位】圓錐曲線的離心率是近年高考的一個(gè)熱點(diǎn),有關(guān)離心率的試題,究其原因,一是貫徹高考命題“以能力立意”的指導(dǎo)思想,離心率問題綜合性較強(qiáng),靈活多變,能較好反映考生對知識的熟練掌握和靈活運(yùn)用的能力,能有效地反映考生對數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度;二是圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,具有數(shù)學(xué)的實(shí)用性和美學(xué)價(jià)值,也是以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).方法一定義法萬能模板內(nèi)容使用場景離心率的求值或取值范圍解題模板第一步根據(jù)題目條件求出的值第二步代入公式，求出離心率.例1.在平面直角坐標(biāo)系中,若雙曲線的離心率為,則的值為．【變式演練1】【福建省莆田第一中學(xué)2021屆高三上學(xué)期期中考試】已知是橢圓上的點(diǎn)，，分別是的左，右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若且，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．方法二方程法萬能模板內(nèi)容使用場景離心率的求值或取值范圍解題模板第一步設(shè)出相關(guān)未知量；第二步根據(jù)題目條件列出關(guān)于的方程；第三步化簡，求解方程，得到離心率.例2.【云南民族大學(xué)附屬中學(xué)2020屆高三第一次高考仿真模擬數(shù)學(xué)（理）】設(shè)，分別為橢圓：的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)，分別為橢圓的右頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，且點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為.若，則橢圓的離心率為（）A． B．C． D．例3.如圖，，是雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，且四邊形為矩形，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．【變式演練2】（2021·安徽蚌埠·高三開學(xué)考試（理））已知橢圓的右頂點(diǎn)為A，坐標(biāo)原點(diǎn)為，若橢圓上存在一點(diǎn)P使得△OAP是等腰直角三角形，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【變式演練3】【江西省景德鎮(zhèn)一中2021屆高三8月月考數(shù)學(xué)（理）】已知分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，為該橢圓的右頂點(diǎn)，過作垂直于軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（在軸上方），若，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．方法三借助平面幾何圖形中的不等關(guān)系萬能模板內(nèi)容使用場景離心率的求值或取值范圍解題模板第一步根據(jù)平面圖形的關(guān)系，如三角形兩邊之和大于第三邊、折線段大于或等于直線段、對稱的性質(zhì)中的最值等得到不等關(guān)系，第二步將這些量結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)用進(jìn)行表示，進(jìn)而得到不等式，第三步解不等式，確定離心率的范圍.例4【四川省遂寧市射洪縣射洪中學(xué)校2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期第一次學(xué)月考】設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，為橢圓的右焦點(diǎn)，且.若，則該橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【變式演練4】【四川省閬中市東風(fēng)中學(xué)2020-2021學(xué)年高三11月月考數(shù)學(xué)（文）】如圖，?是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的右左兩支分別交于點(diǎn)?兩點(diǎn).若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A．4 B． C． D．方法四借助題目中給出的不等信息萬能模板內(nèi)容使用場景離心率的求值或取值范圍解題模板第一步找出試題本身給出的不等條件，如已知某些量的范圍，存在點(diǎn)或直線使方程成立，的范圍等；第二步列出不等式，化簡得到離心率的不等關(guān)系式，從而求解.例5．（2021·玉林市第十一中學(xué)高三月考（理））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，，在雙曲線上存在點(diǎn)滿足，則此雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【變式演練5】【河北省衡水中學(xué)2020屆高三高考數(shù)學(xué)（理科）二調(diào)】已知圓，圓，橢圓，若圓，都在橢圓內(nèi)，則橢圓離心率的范圍是（）A． B． C． D．方法五借助函數(shù)的值域求解范圍萬能模板內(nèi)容使用場景離心率的求值或取值范圍解題模板第一步根據(jù)題設(shè)條件，如曲線的定義、等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式；第二步通過確定函數(shù)的定義域；第三步利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍.例6.【2020屆福建省漳州市高三畢業(yè)班調(diào)研】已知直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，與圓交于C、D兩點(diǎn).若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【變式演練6】是經(jīng)過雙曲線焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的直線,是雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn),若在上存在一點(diǎn),使,則雙曲線離心率的最大值為（）A．B．C．D．【高考再現(xiàn)】1.（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．2、【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)15】已知為雙曲線的右焦點(diǎn)，為的右頂點(diǎn)，為上的點(diǎn)，且垂直于軸．若的斜率為，則的離心率為．3．【2020年高考江蘇卷6】在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率是．4.【2017課標(biāo)3，理10】已知橢圓C：，（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為A． B． C． D．5.【2017北京，理9】若雙曲線的離心率為，則實(shí)數(shù)m=_________.6.【2017課標(biāo)1，理】已知雙曲線C：（a>0，b>0）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn).若∠MAN=60°，則C的離心率為________.7.【2017課標(biāo)=2\*ROMANII，文5】若，則雙曲線的離心率的取值范圍是A.B.C.D.8.【2015高考新課標(biāo)2，理11】已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，?ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為（）A．B．C．D．【反饋練習(xí)】1．【貴州省銅仁市偉才學(xué)校2021屆高三上學(xué)期第四次半月考】如圖，，分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與該雙曲線左支交于，兩點(diǎn)，若是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．2．（2021·廣東高三月考）著名的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家約翰尼斯·開普勒（JohannesKepler）發(fā)現(xiàn)了行星運(yùn)動(dòng)三大定律，其中開普勒第一定律又稱為軌道定律，即所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，且太陽處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.記地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道為橢圓C，在地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的過程中，若地球與太陽的最遠(yuǎn)距離與最近距離之比為，則C的離心率為（）A． B． C． D．3．【安徽省江淮十校2020屆高三下學(xué)期5月第三次聯(lián)考】設(shè)，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)使得，則橢圓的離心率取值范圍為（）A． B． C． D．4．【甘肅省天水一中2020屆高三高考數(shù)學(xué)（理科）二?！恳阎獧E圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，且的三邊長，，成等差數(shù)列，則的離心率為（）A． B． C． D．5．【江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽市呂叔湘中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期11月教學(xué)調(diào)研】橢圓C：的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P(x1，y1)，Q(-x1，-y1)在橢圓C上，其中x1>0，y1>0，若|PQ|=2|OF2|，，則離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．6．【2020屆安徽省池州市高三下學(xué)期5月教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一監(jiān)測數(shù)學(xué)（文）】已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，若在橢圓上存在點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．7．【江西省贛州市部分重點(diǎn)中學(xué)2021屆高三上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)】已知曲線：與曲線：有公共的焦點(diǎn)F，P為與在第一象限的交點(diǎn)，若軸，則的離心率e等于（）A． B． C． D．8．【江西省名校2021屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考】已知雙曲線C：(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B分別為雙曲線的左，右頂點(diǎn)，以AB為直徑的圓與雙曲線C的兩條漸近線在第一，二象限分別交于P，Q兩點(diǎn)，若OQ∥PF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則該雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．9．【河南省新鄉(xiāng)市2021屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理科）】已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線右支上且不與頂點(diǎn)重合，過作的角平分線的垂線，垂足為．若，則該雙曲線離心率的取值范圍為（）A． B．C． D．10．【安徽省四校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期適應(yīng)性測試文科數(shù)學(xué)】已知（不在軸上）是雙曲線上一點(diǎn)，，分別是的左、右焦點(diǎn)，記，，若，則的離心率的取值范圍是（）.A． B． C． D．11.（2021·全國）已知橢圓：（）的半截距為，是上異于短軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．12．（2021·安徽高三開學(xué)考試（文））已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)M滿足：，則該橢圓離心率是（）A． B． C． D．13．（2021·安徽高三開學(xué)考試（理））已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)M滿足：，則該橢圓離心率取值范圍是（）A． B． C． D．14.（2022·浙江高三專題練習(xí)）若點(diǎn)P為共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，，分別是它們的左右焦點(diǎn).設(shè)橢圓離心率為，雙曲線離心率為，若，則（）A．4 B．3 C．2 D．115．（2022·全國高三專題練習(xí)（理））已知，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)O且傾斜角為60°的直線l與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為M，若，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．16．（2021·江蘇高三開學(xué)考試）從某個(gè)角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個(gè)對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，AB＝BC＝CD，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．17．（2021·榆林市第十中學(xué)高三月考（文））已知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，A，B分別是C的左，右頂點(diǎn)，若，則雙曲線C的離心率為（）A． B．2 C． D．318．（2021·嘉峪關(guān)市第一中學(xué)高三一模（理））已知雙曲線與拋物線共焦點(diǎn)，過點(diǎn)作一條漸近線的垂線，垂足為，若三角形的面積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．或 D．或19．（2021·湖北高三開學(xué)考試）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)為，過的直線交雙曲線右支于，若，且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．20．（2021·全國高三模擬預(yù)測）設(shè)雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別是，，過作漸近線的垂線，垂足為．若的面積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．21．（2021·孟津縣第一高級中學(xué)（文））雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為A、B，過A且斜率為的直線l與漸近線交于第一象限的N，與y軸交于M，若M為中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A． B．C．2 D．322．（多選題）【江蘇省徐州市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期12月模擬測試】橢圓，，分別為左、右焦點(diǎn)，，分別為左、右頂點(diǎn)，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且恒成立，則橢圓C的離心率可能為（）A． B． C． D．23.【四川省成都市第七中學(xué)2020-2021學(xué)年高三期中數(shù)學(xué)（文）】已知橢圓，左焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)，滿足，則橢圓的離心率為____________.24．【重慶市南開中學(xué)2020屆高三下學(xué)期第九次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理）】已知，B分別是橢圓的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).過點(diǎn)垂直于x軸