唯一性定理與靜電屏蔽靜電屏蔽問題：要把它的原理真正說透，需要用到唯一性定理.唯一性定理與靜電屏蔽靜電屏蔽問題：1(a)殼外面有若干正、負帶電體，腔內(nèi)無帶電體。殼外電場對殼內(nèi)電場沒影響.(b)將帶電體放入腔內(nèi)，而殼外無帶電體，外部空間殼內(nèi)電場對殼外電場沒影響.

導(dǎo)體殼接地.(c)將(a)、(b)合并在一起。問題：(c)這時殼內(nèi)、外電場的平衡分布是否各與圖(a)、(b)一樣？答案是肯定的，這是可能的。(a)殼外面有若干正、負帶電體，腔內(nèi)無帶電體。2（1）、當殼外部電荷和電場分布的環(huán)境如(a)時，它在腔內(nèi)不產(chǎn)生電場，從而腔內(nèi)的帶電體所處的環(huán)境如(b)一樣。（2）、當內(nèi)部電荷和電場分布如(b)時，它在殼外不產(chǎn)生電場，從而殼外帶電體處的環(huán)境如(a)一樣。當殼內(nèi)、外帶電體同時存在時，若殼內(nèi)、外的電荷和電場分部分別與(a)、(b)相同的分布，是可以達到靜電屏蔽的。（1）、當殼外部電荷和電場分布的環(huán)境如3問題：空腔內(nèi)、外帶電體在相互影響下，是

否達到另一種與此不同的平衡分布？唯一性定理將告訴我們，這是不可能的。由高斯定理：問題：空腔內(nèi)、外帶電體在相互影響下，是

4

泊松方程

5如果知道電荷分布，可以解Poisson方程，求電勢——》電場強度E。但還不夠，因為Poissoneq.沒有包括邊界條件。邊界條件：各導(dǎo)體的大小、位置、形狀、電勢、電荷、空間邊界面上的電勢。如果知道電荷分布，可以解Poisson方程，6實際中的靜電學(xué)問題是:大多不是已知電荷分布求電場分布.而是通過一定的電極來控制(各帶電導(dǎo)體的形狀,大小,導(dǎo)體之間的相對位置

各導(dǎo)體的電勢或各導(dǎo)體上的電量)

實現(xiàn)某種所要求的空間電場分布.前提是:給定各帶電導(dǎo)體的幾何形狀,相互位置外.每個導(dǎo)體的電勢ui每個導(dǎo)體上的總電量Qi實際中的靜電學(xué)問題是:大多不是已知電荷分布求電場分布.而7如果知道電荷分布，可以解Poissoneq.求UE,但不能確定具體的電場分布，必須附加一些條件(如開始電場狀態(tài)－初值問題、或在邊界上受到外界的約束－邊界問題）后，就能完全確定具體電場分布。

邊界條件是很重要的方法：分析實際問題，引入試探性解到Poissoneq.+邊界條件。如果都滿足，則：試探解就是方程的解。但是否唯一？如果知道電荷分布，可以解Poissoneq.8物理上：

要確定給定區(qū)域各點的電場強，除知道電荷分布，還必須知道區(qū)域的邊界面的各點電勢值。

電勢可以反映區(qū)域外部的電荷分布對區(qū)域各點電場的貢獻.物理上：

要確定給定區(qū)域各點的電場強，除知道電荷分9二、唯一性定理的表述

假設(shè)所研究空間V,界面S,V內(nèi)有若干導(dǎo)體，如A,B,導(dǎo)體A的表面為S1,導(dǎo)體B的表面為S2,如果V是整個空間，邊界S在無窮遠，把除了導(dǎo)體A,B之外的空間為V’,V’的邊界包括S,S1,S2……。為了唯一的確定空間的電場分布，除了知道電荷分布外，還需要知道其它條件：二、唯一性定理的表述假設(shè)所研究空間V10（1）邊界面上的電勢和各導(dǎo)體上的電勢。（2）邊界面上的電勢和各導(dǎo)體上的帶電量給定。由條件，將分為兩類問題來考慮：（1）對于第一類問題，唯一性定理表述如下：設(shè)V’內(nèi)有給定的電荷分布，并在邊界S,Si都有給定的電勢，和或者給定，V’電場被唯一的確定。（1）邊界面上的電勢和各導(dǎo)體上的電勢。11對于第二類問題，唯一性定理表述如下：

設(shè)V’空間內(nèi)的電荷分布給定，并給定邊界S上的電勢或，以及每個導(dǎo)體上所帶電荷量Qi,則V’內(nèi)的電場被唯一地確定了。對于第二類問題，唯一性定理表述如下：12三、數(shù)學(xué)準備三、數(shù)學(xué)準備13

格林第一定理

14格林第二定理唯一性定理與靜電屏蔽課件15四、證明唯一性定理用反證法假設(shè)滿足同樣條件地有兩個解、

令

如果：

則四、證明唯一性定理用反證法16要證明：

即證明有兩種解是不可能的。

要證明：17第一類問題的證明

設(shè)：都是方程的解(1)它們滿足Poissoneq.

那么：第一類問題的證明設(shè)：18再看邊界條件：（2）它們都必須滿足邊界條件：

在S上：

在Si上：再看邊界條件：19或在S面上：所以，u’滿足：方程

邊界條件或在S面上：20或要證明：利用格林定理，令：或21唯一性定理與靜電屏蔽課件22

所以u’是常數(shù)。

進一步利用邊界條件：即在S,Si處u’=0所以u’處處等于零，即：

在滿足邊界條件下，只有一個解！

所以u’是常數(shù)。23第二類問題的證明：證明：假設(shè)有兩個解u1,u2

設(shè)：U’=u1-u2

(1)它們滿足Poissoneq.

第二類問題的證明：證明：假設(shè)有兩個解u1,u224(2).導(dǎo)體上的電量給定：（3）u1,u2滿足邊界條件：

(2).導(dǎo)體上的電量給定：25OrOr26(4).靜電平衡，導(dǎo)體是個等勢體，應(yīng)用格林定理：(4).靜電平衡，導(dǎo)體是個等勢體，27所以：結(jié)合邊界條件：

只有一個解。所以：28五、用唯一性定理解釋靜電屏蔽空腔導(dǎo)體內(nèi)有導(dǎo)體A,B,空腔外有導(dǎo)體C,D.分別帶電qA,qB,qc,qD空腔外表面為S1,內(nèi)表面S2V1指殼外空間，殼外V1的邊界為S1因接地，有V2指殼內(nèi)空間，五、用唯一性定理解釋靜電屏蔽空腔導(dǎo)體內(nèi)有導(dǎo)體A,B,空29導(dǎo)體C,Dqc,qD給定，或給定.

在這些情況下，殼外：V1的電場分布是唯一確定，殼內(nèi)狀態(tài)對V1的場沒有影響。

殼內(nèi)：V2的邊界S2,qA,qB已給定，或者，uA,uB給定，V2內(nèi)的電場被唯一確定了，V2之外V1的狀態(tài)對V2沒有影響。導(dǎo)體C,D30例題1：一個點電荷＋q旁邊有一無限大導(dǎo)體平板(接地），試求，靜電平蔽時平板上的電荷分布。

分析：由于靜電感應(yīng)，在導(dǎo)體平板表面右側(cè)，將有一定的負電荷分布，由于導(dǎo)體平板的屏蔽作用，導(dǎo)體左方的半無窮大空間不會有電場存在，也不會有感應(yīng)電荷分布。

方法：為了計算導(dǎo)體平板右側(cè)空間各點的電場強度和表面各點的感應(yīng)電荷密度，在左側(cè)與＋q相對稱的位置放置一等量異號的點電荷（假想），并將平板拿掉。例題1：一個點電荷＋q旁邊有一無限大導(dǎo)體平板(接地），試求31唯一性定理與靜電屏蔽課件32

+q點電荷位于一無限大接地導(dǎo)體的前面，距離為d，則在導(dǎo)體表面將有感應(yīng)電荷，感應(yīng)電荷的分布比較復(fù)雜，導(dǎo)體外側(cè)的電場由點電荷和感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生，所產(chǎn)生的場在邊界上滿足U|s=0。

我們可以把感應(yīng)電荷的貢獻用一虛擬（鏡像）電荷來替代，問題是要找出該鏡像電荷的位置和數(shù)值。根據(jù)唯一性定理，所得到的解將是唯一正確的解。1.點電荷對無限大接地導(dǎo)體的鏡像+q點電荷位于一無限大接地導(dǎo)體的前面，距離為d，則在導(dǎo)體表33鏡像的電荷：q’=-q，鏡像的位置：-d由q和q’組成的系統(tǒng)正好滿足邊界條件，即：鏡像的電荷：q’=-q，34此題中:區(qū)域中只有一個點電荷+q,在邊界上處處u|s=0根據(jù)唯一性定理,給定這兩個條件,區(qū)域內(nèi)的電場分布就唯一地確定了.

不論區(qū)域外存在的是導(dǎo)體平板上的感應(yīng)電荷分布還是別的電荷分布,只要它們與區(qū)域內(nèi)的點電荷+q一起,使邊界上電勢處處u|s=0.此題中:區(qū)域中只有一個點電荷+q,35x>0區(qū)域的電勢為：x>0區(qū)域的電場強度為：x>0區(qū)域的電勢為：x>0區(qū)域的電場強度為：36導(dǎo)體表面的電場強度為：導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷面密度為：導(dǎo)體表面的總感應(yīng)電荷為：導(dǎo)體表面的電場強度為：導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷面密度為：導(dǎo)體表面的37點電荷所受的力

需計算q所在處由感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電場強度：X=d,y=0,z=0處：點電荷所受的力

需計算q所在處由感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電38電像法（鏡像法）1、區(qū)域中電場：形式上：自由電荷產(chǎn)生的場＋假想中電像電荷產(chǎn)生的場。

實質(zhì)上：自由電荷產(chǎn)生的場＋導(dǎo)體上感應(yīng)電荷產(chǎn)生的場。2、假想電荷的位置必須位于所考慮的區(qū)域V之外。電像法（鏡像法）1、區(qū)域中電場：39以上例題中：區(qū)域中只有一個點電荷+q，而在邊界上U|s=0,根據(jù)唯一性定理，給定這兩個條件，區(qū)域內(nèi)的電場分布也就唯一地確定了。因此，不論在這區(qū)域外存在的是導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷還是別的電荷分布，只要它于區(qū)域內(nèi)點電荷+q一起使邊界面上U|s=0。像電荷與導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷分布在區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的電場必然完全相同，處于對稱位置的等量異號－q與+q在一起所產(chǎn)生的電場，在所考慮的區(qū)域邊界面上U|s=0。以上例題中：區(qū)域中只有一個點電荷+q，而在邊界上U|s=040唯一性定理與靜電屏蔽課件41例題:有一半徑a的導(dǎo)體球殼接地,球外一個電量為q

與球心的距離為d,求:球外任意一點p處的電勢,空間的電場分布.唯一性定理與靜電屏蔽課件42球面上：U|s=0，設(shè)置鏡像電荷q’,位置d’<a,邊界條件要求：U|r=a=0上式對任意的都成立，可改寫為：球面上：U|s=0，設(shè)置鏡像電荷q’,位置d’<a,邊界43唯一性定理與靜電屏蔽課件44唯一性定理與靜電屏蔽課件45唯一性定理與靜電屏蔽課件46像電荷：q’=-(a/d)q，位置為：x=a2/d球上另有一均勻分布電荷，Q-q’。這樣既滿足球面總電荷為Q，也滿足球面是等勢面，由唯一性定理知，球外的電勢由三個電荷疊加而成。像電荷：q’=-(a/d)q，位置為：x=a2/d47唯一性定理與靜電屏蔽課件48唯一性定理與靜電屏蔽課件49唯一性定理與靜電屏蔽課件50點電荷對無限大介質(zhì)平面的鏡像點電荷對無限大介質(zhì)平面的鏡像51唯一性定理與靜電屏蔽課件52唯一性定理與靜電屏蔽課件53唯一性定理與靜電屏蔽課件54第二章小結(jié)1、靜電場中的導(dǎo)體：(1)靜電平衡條件,導(dǎo)體內(nèi)電場處處為零E導(dǎo)體內(nèi)=0（2）導(dǎo)體處于靜電平衡時