1、試題序號(hào)：3212、題型：證明題3、難度級(jí)別：34、知識(shí)點(diǎn)：第二章矩陣及其運(yùn)算5、分值：86、所需時(shí)間：8分鐘7、試題關(guān)鍵字：矩陣秩的性質(zhì)8、試題內(nèi)容：設(shè)A為一個(gè)n階方陣，E為同階單位矩陣且A2二E，證明：R（A+E）+R（A-E）=n.9、答案內(nèi)容：證明:A2=EnA2-E2=0n（A+E）（A-E）二0由矩陣秩的性質(zhì),則有R（A+E）+R（A-E）二R（A+E）+R（E-A）<n.同時(shí),有R（A+E）+R（E-A）>R（A+E+E-A）二n.R（A+E）+R（A-E）二n.10、評(píng)分細(xì)則：由題設(shè)推出（A+E）（A-E）=0得2分；由矩陣秩的性質(zhì)推出R（A+E）+R（A-E）<n得2分；推出R（A+E）+R（A-E）>n得2分；因而推出R（A+E）+R（A-E）=n得2分.1、 試題序號(hào)：3222、 題型：證明題3、 難度級(jí)別：34、 知識(shí)點(diǎn)：第五章相似矩陣及二次型5、 分值：86、 所需時(shí)間：6分鐘7、 試題關(guān)鍵字：正交矩陣的特征值8、 試題內(nèi)容：設(shè)A為一個(gè)n階正交矩陣，且|A|=-1.證明：九=-1是A的特征值.9、 答案內(nèi)容：證明：

A是正交矩陣,AtA=E.又:|a|=—1,=—E+At=—Et+.??IA—(-=—E+At=—Et+二|(E+At)a|=|e+A=|-(E+A)”=—|E+A|A+E二0=|A—(—1)E二0.:入=-1是A的特征值.10、評(píng)分細(xì)則：推出|A-(-1)E二|a+AAt|(2分)=-|e+At|(2分)=—IE+A|(2分)推出A—(—1)E二0并說(shuō)明九=—1是A的特征值(2分).1、試題序號(hào)：3232、 題型：證明題3、 難度級(jí)別：44、 知識(shí)點(diǎn)：第五章相似矩陣及二次型5、 分值：86、 所需時(shí)間：10分鐘7、 試題關(guān)鍵字：二次型的正定性8、 試題內(nèi)容：已知A,B已知A,B均為n階正定矩陣，試證明：分塊矩陣也為正定矩陣.9、答案內(nèi)容：證明tA,B是正定矩陣,A,B是對(duì)稱(chēng)矩陣.(A0、T(At 0(A0、T(At 0t'(A0],0 B丿,0tBt丿,0B是對(duì)稱(chēng)矩陣.(A0、B丿令f=(XT1<0(X)1IX丿'2y,此為(A<0所確定的二次型.豐0nX,X中至少有一個(gè)不為0,12豐0nX,X中至少有一個(gè)不為0,121IX丿'2y則有/=XTAX+XtBX>0.1122.此二次型為正定二次型為正定矩陣.(A0、為正定矩陣.0B丿10、評(píng)分細(xì)則：由題設(shè)中條件推出(A是對(duì)稱(chēng)矩陣(2分);令10、評(píng)分細(xì)則：由題設(shè)中條件推出(A是對(duì)稱(chēng)矩陣(2分);令f=(XTXT(X)i2丿(2分);由X1TXT)H0推出X,X中至少有一個(gè)不為零212(2分).則有f=XtAX+XtBX>0，推出f=XtAX+XtBX為正定二次型(2分).11221122(A0)因而有nD為正定矩陣(2分). —--B2 1、試題序號(hào)：3242、 題型：證明題3、 難度級(jí)別：34、 知識(shí)點(diǎn)：第五章相似矩陣及二次型5、 分值：86、 所需時(shí)間：8分鐘7、 試題關(guān)鍵字：二次型的正定性8、 試題內(nèi)容：設(shè)A,B均為n階正定矩陣，試證明：A+B也為正定矩陣.9、答案內(nèi)容證明：???A,B都是正定矩陣，At二A,Bt=B.（A+B）T=At+Bt=A+BnA+B為對(duì)稱(chēng)矩陣.令f=xt（A+B）x.Vx豐0,則有f=xtAx+xtBx.???A,B是正定矩陣xtAx,xtBx是正定二次型.貝卩有f=xtAx+xtBx>0..f二xt（A+B）x為正定二次型.則A+B也為正定矩陣.10、評(píng)分細(xì)則：由題設(shè)中條件推出A+B為對(duì)稱(chēng)矩陣（2分）；令f=xt（A+B）x（2分）；Vx豐0nf=xTAx+xTBx>0（2分）；推出f=xT（A+B）x為正定二次型（2分）；因而有A+B為正定矩陣（2分）.1、 試題序號(hào)：3252、 題型：證明題3、 難度級(jí)別：24、知識(shí)點(diǎn)：第四章向量組的線性相關(guān)性5、 分值：86、 所需時(shí)間：8分鐘7、 試題關(guān)鍵字：向量組的線性關(guān)系8、 試題內(nèi)容：若向量卩可由向量組a,a，…,a線性表示，但卩不能由a,a，…,a線性表示，試證:12 r 12 r-1r-1a可由a,ar-1r 1 29、答案內(nèi)容：證明：a，…a線性表示,a，…a線性表示,2 ri.存在一組數(shù)K,K,…K，使得1 2 rKa+Ka+…+Ka=P.1 1 2 2 rr若K=0,則卩=Ka+Ka+…+Ka.r 11 2 2 r-1r—1這與卩不能由a,a，…a線性表示矛盾.TOC\o"1-5"\h\z1 2 r—1”c KK K.?.KzOna=-—a——a——-^-1ar rK1K2K r-1r r r.a可由a,a，…a,卩線性表示.r 1 2 r—110、評(píng)分細(xì)則：由題設(shè)中條件令ka+ka+???+ka=p（2分）；假設(shè)k=0推出卩不能112 2 rr r

由a,a，…,a線性表示矛盾（2分）；二k豐0na可以由a,a，…,a,卩線性表示（412 r-1 r r 12 r-1分）.1、試題序號(hào)：3262、題型：證明題3、 難度級(jí)別：44、 知識(shí)點(diǎn)：第四章向量組的線性相關(guān)性5、 分值：86、 所需時(shí)間：10分鐘7、 試題關(guān)鍵字：向量的線性關(guān)系與矩陣的秩8、 試題內(nèi)容：如果向量組*a，…,如果向量組*a，…,a線性無(wú)關(guān)，試證：向量組a,a+a,a+a+?—a線性無(wú)1121-關(guān).9、答案內(nèi)容證明：令A(yù)二（aa),B=(a a+aS 112a+a+???+ai)?va,a,…a線性無(wú)關(guān),R（a1(a a1+(a a1+a2a+a+???+aiL(ai1丿則有B=AC，顯然C可逆.10、評(píng)分細(xì)則:令A(yù)=G]10、評(píng)分細(xì)則:令A(yù)=G]由題設(shè)條件推出R（A）丄a??2s(1分);),B=(a1a+a12+???a)(1分);s推出B=AC(2分)；推出A=BC-1nR(B)>R(A)=s(2分)3又R(B)<snR(B)=sna,a+a，.…a+???a線性無(wú)關(guān)(2分).1 1 2 1 s1、 試題序號(hào)：3272、 題型：證明題3、難度級(jí)別：34、知識(shí)點(diǎn)：第二章矩陣及其運(yùn)算5、分值：86、所需時(shí)間：8分鐘7、試題關(guān)鍵字：奇異矩陣8、試題內(nèi)容：已知矩陣A2=E,B2=E，且|A|+|B=0證明：A+B為奇異矩陣.9、答案內(nèi)容：證明：???A2=En|A|二±1,B2=En|B二±1.又t|a|+|B=0n若|a|=±1,則|B-+1.WA（A+B）-A2B+AB2-B+A.A（A+B）B\-|B+A|.A||A+B||B|-|A+B|.|A+B\-0,貝仏+B為奇異矩陣.10、評(píng)分細(xì)則：由題設(shè)中條件推出|A|-±1,|B|-干1（1分）；推出A（A+B）B-B+A（3分）;推出|A||A+B||B|-|B+A（2分）;推出|A+B-0nA+B為奇異矩陣（2分）.1、 試題序號(hào)：3282、 題型：證明題3、 難度級(jí)別：24、 知識(shí)點(diǎn)：第四章向量組的線性相關(guān)性5、 分值：86、 所需時(shí)間：6分鐘7、 試題關(guān)鍵字：向量組的線性關(guān)系與矩陣的秩8、 試題內(nèi)容：設(shè)n維基本單位向量組￡,￡，…,￡可由n維向量組a,a，…,a線性表示，證明：TOC\o"1-5"\h\z1 2 n 1 2 na,a，…,a線性無(wú)關(guān).1 2 n9、 答案內(nèi)容：證明：令A(yù)二（aaa）,且E-（￡￡ ￡）.a1 2 n n 1 2 n*.*￡,￡，…￡可以由a,a，…，a線性表示.1 2 n 1 2 n存在一個(gè)n階方陣B,使得E-ABnR（A）＞R（E）-n.同時(shí)R（A）＜n.???R（A）- ，…,a線性無(wú)關(guān).1 2 n10、評(píng)分細(xì)則：令A(yù)-（aa…a）,E-（￡￡…￡）（2分）；由題設(shè)條件推出1 2 n 1 2 n

存在一個(gè)n階矩陣B（2分）；使得AB=E=R（A）=n（4分）.1、試題序號(hào)：3292、題型：證明題3、 難度級(jí)別：44、 知識(shí)點(diǎn)：第四章向量組的線性相關(guān)性5、 分值：86、 所需時(shí)間：10分鐘7、 試題關(guān)鍵字：向量組的線性關(guān)系與矩陣的秩8、 試題內(nèi)容：設(shè)a,a，…,a線性無(wú)關(guān)，卩可由a,a，…,a線性表示，B不可由a,a，…,a線性表1 2 m 1 12 m 2 1 2 m示，證明：a,a，…,a,九卩+卩線性無(wú)關(guān)（其中九為常數(shù)）.1 2 m1 29、 答案內(nèi)容：證明:=ka+ka1122.?.(a a12a 九B+B)~(a a???aB)..?.(a a12m 1 2 1 2 m2假設(shè)R假設(shè)R(a1a2…aB)<m，則有M2a1，a2，?「a，B2線性相關(guān),因而與B2不能由Ja，…。線性表示矛盾..R(a1B)>mR(a2，-九.R(a1B)>mR(a2，-九B+B)=m+11一.a,a，…，a12線性無(wú)關(guān).10（aR（a1分）;分）；推出a,a，二a,九B+B線性無(wú)關(guān)（1分）.1 2 m1 2a...2aR(a1amama2分細(xì)則九B+B)?(aB)<2 123456782???a■—ma2m由題設(shè)推出B）＞m推出、2件）;能由a,a，…a線性表示，與題設(shè)矛盾（22R（a112a2中(2推出假設(shè)九B+B)=m+1(312設(shè)A為nxm矩陣，B為mxn矩陣，n＜m，若AB=E，證明B的列向量組線性無(wú)關(guān).9、 答案內(nèi)容：證明:???A為nxm矩陣,B為mxn矩陣，且AB=E,E為單位矩陣.由矩陣秩的性質(zhì)，則有R（B）＞R（E）=n.又:n＜m,R（B）＜n.R（B）=n.B的列向量組線性無(wú)關(guān).10、 評(píng)分細(xì)則：由題設(shè)推出R（B）＞R（e）=n（2分）；又有題設(shè)中n＜mnR（B）＜n（2分）；???R（B）=n（2分）；所以B的列向量組線性無(wú)關(guān)（2分）.1、 試題序號(hào)：3312、 題型：證明題3、 難度級(jí)別：44、 知識(shí)點(diǎn)：第四章向量組的線性相關(guān)性5、 分值：86、 所需時(shí)間：10分鐘7、 試題關(guān)鍵字：向量組的線性關(guān)系與矩陣的秩8、 試題內(nèi)容：設(shè)a,a，…o為n-1個(gè)線性無(wú)關(guān)的n維列向量，耳，耳與a,a，…。均正交，證明:12 n-1 12 12 n-1n,n線性相關(guān).129、答案內(nèi)容：證明:???n,n分別與a,a，…,a均正交,12 12 n-1f 、nt1(aa???a)=ro]5T丿12n-1<0丿令A(yù)=(a a???a)B=nt1,BA=0nR(A)=n-1nR(B)<11 2 n-1比J.n,n線性相關(guān).1210、評(píng)分細(xì)則：令A(yù)=（aa12???a ),B=(nn-1 1n）T（1分）;由題設(shè)中條件推得2BA=0nR(A)+R(B)<n(2分);.R(A)=n—1nR(B)<1(1分r(b)=0nn=o,n=0(1分);.n,n線性相關(guān)（1分若若););R（b）=inR（ni n2）=i<2（i分）,所以nx，n2線性相關(guān)（i分）.1、試題序號(hào)：3322、題型：證明題3、難度級(jí)別：24、 知識(shí)點(diǎn)：第五章相似矩陣及二次型5、 分值：86、 所需時(shí)間：6分鐘7、 試題關(guān)鍵字：正交向量組8、 試題內(nèi)容：已知n階實(shí)矩陣A為正交矩陣，a,a，…,a為n維正交單位向量組，證明：TOC\o"1-5"\h\z1 2 nAa,Aa，…,Aa也是n維正交單位向量組.1 2 n9、 答案內(nèi)容：證明:???A是階正交矩陣，則有*.，a,a，…,a是維正交向量組1 2 na主0,ata—0,i主j（Aa）t（Aa）—aTATAa—aTa-0i j i ji..Aa,Aa，…Aa是正交向量組.1 2 n10、 評(píng)分細(xì)）則：由題設(shè)中條件推出az0,aTa—0,i豐j（2\o"CurrentDocument"分）；（Aa》（Aa）—aTATAa—aTEa—ata—0（2分）；az0且JA可逆，推得Aaz0（2分）；推得Aaz,Aa,?j??,Aa是正交向量組（2分）. 1i 1 2 n1、 試題序號(hào)：3332、 題型：證明題3、 難度級(jí)別：44、 知識(shí)點(diǎn)：第四章向量組的線性相關(guān)性5、 分值：86、 所需時(shí)間：10分鐘7、 試題關(guān)鍵字：向量組的秩與方程組的解8、 試題內(nèi)容：設(shè)a,a，…,a是Ax—0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，卩不是Ax—0的解，證明：TOC\o"1-5"\h\z1 2 s卩,P+a,P+a，…,P+a線性無(wú)關(guān).1 2 s9、 答案內(nèi)容：證明:假設(shè)R（卩aa…a）<s+1.這與卩不是Ax—0的解矛盾1 2 sR（卩a以…a）二s+1TOC\o"1-5"\h\z1 2 sR（卩卩+a???B+a）=s+1\o"CurrentDocument"1 s即卩,卩+a,…卩+a線性無(wú)關(guān).1 s10、評(píng)分細(xì)則：由題設(shè)推出R（卩卩+a…卩+a）=R（Ba…a）（2分）；假設(shè)R（B匕…a）＜s+1，由題設(shè)中條件推出卩可以由幺嚴(yán)?,?丄,a線性表示，與卩不是Ax=0的解矛盾（2分）；R（卩卩+? B+a）=s+1（2\o"CurrentDocument"分）；.?.卩,卩+a，…,卩+a線性無(wú)關(guān)（2分）. 試題序號(hào)：335 題型：證明題 難度級(jí)別：4 知識(shí)點(diǎn)：第四章向量組的線性相關(guān)性 分值：8 試題序號(hào)：335 題型：證明題 難度級(jí)別：4 知識(shí)點(diǎn)：第四章向量組的線性相關(guān)性 分值：81 s1、 試題序號(hào)：3342、 題型：證明題3、 難度級(jí)別：24、 知識(shí)點(diǎn)：第四章向量組的線性相關(guān)性5、 分值：86、 所需時(shí)間：8分鐘7、 試題關(guān)鍵字：矩陣的秩與方程組的解8、 試題內(nèi)容：設(shè)A為n階矩陣，若Ax=0只有零解，證明：方程組Akx=0也只有零解，其中k為正整數(shù).9、 答案內(nèi)容：證明:Ax=0只有零解nR（A）=nA為n階矩陣,A可逆o|A|豐0.則|a^=|A|k豐0即Ak為可逆矩陣R（Ak）=nnAkx=0只有零解.10、評(píng)分細(xì)則：由題設(shè)推出R（A）=nnA可逆（3分）；推出|Ak|=|A|k豐0（2分）；推得RCAk）=nnAkx=0只有零解（3分）.

6、所需時(shí)間：10分鐘7、試題關(guān)鍵字：向量組的秩,矩陣的秩及方程組的解8、試題內(nèi)容：設(shè)A是mxn矩陣，D是mxn矩陣，B為mxm矩陣，求證：若B可逆且BA的行向量的轉(zhuǎn)置都是Dx=0的解，則A的每個(gè)行向量的轉(zhuǎn)置也都是該方程組的解.9、答案內(nèi)容：證明：設(shè)A的行向量組為a,a，…,a（i）TOC\o"1-5"\h\z12 m設(shè)B的行向量組為BB，…，B（II）12 m則向量組（I）與（II）均為n維向量組BA=C,B可逆nA=B-1Cfkiik令B-ifkiik令B-i= 2112 1m\o"CurrentDocument"k …kIkm1kka)1a2k11k21km1mIkm1kka)1a2k11k21km1m2mm7kkmmm???向量組（I）可以由（II）線性表示-■向量組（II）是Dx=0的解???向量組（I）也是Dx=0的解10、評(píng)分細(xì)則：令A(yù)的行向量組a,a，…,a⑴，C的行向量組為B,B，…，B（11）（11 2 m 1 2 m分）；BA=CnA=B-1C（2分）；推得fa)1a2fk11k21I推得fa)1a2fk11k21Ikm1,B-1=fk11k21k12k22k)1mk2m(2分)Ikm1km2km2丿所以（I）可以由（II）線性表示（2分）;由（II）是Dx=0的解推出（I）也是Dx=0的解（1分）.1、試題序號(hào)：3362、題型：證明題3、難度級(jí)別：24、知識(shí)點(diǎn)：第四章向量組的線性相關(guān)性5、分值：86、所需時(shí)間：6分鐘7、試題關(guān)鍵字：向量組的線性關(guān)系與方程組的基礎(chǔ)解系8、試題內(nèi)容：設(shè)非齊次線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣的秩為r,耳,H，…E是其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解12 n—r系，H是Ax=b的一個(gè)解，證明：耳“,H，…E線性無(wú)關(guān).12 n—r9、答案內(nèi)容：證明：假設(shè)耳,n,n，…m線性相關(guān)，12 n—rvn ，…E是Ax=0的基礎(chǔ)解系，12 n—r???n,n，…,n是線性無(wú)關(guān)的.12 n—r由以上可得n可以由n,n，…,n線性表示.12 n—r則n是Ax=0的解，與n是Ax=b的解矛盾.?假設(shè)不成立，即n,n,n，…,n線性無(wú)關(guān).12 n—rio、評(píng)分細(xì)則：假設(shè)n,n,n，…n線性相關(guān)，由題設(shè)推得n可以由n,n，…n線性表示12 n—r 12 r—1（3分）；所以n是Ax=0的解與n是Ax=b的解矛盾（3分）；所以n,n,n，…n線性無(wú)關(guān)12 n—r（2分）.1、 試題序號(hào)：3372、 題型：證明題3、 難度級(jí)別：34、 知識(shí)點(diǎn)：第五章相似矩陣及二次型5、 分值：86、 所需時(shí)間：8分鐘7、 試題關(guān)鍵字：正定矩陣的逆矩陣與伴隨矩陣8、 試題內(nèi)容：設(shè)A*為A的伴隨矩陣，若A為正定的，試證A*及A-1均為正定的.9、 答案內(nèi)容：證明：???A為正定矩陣，???A的特征值全為正數(shù)。設(shè)A的特征值為九，則有Ax=九x,x豐0nA-iAx=九A-ixnx=Atx.???A-的特征值1>0,則A-i為正定矩陣.入同理:Ax二九x,x豐0nA*Ax=九A*xA正定n|A|>0,A/.|A|Ex=九A*xnA*x=x.???A*的特征值般>0,則A*為正定矩陣.入10、評(píng)分細(xì)則：設(shè)A的特征值為九,由題設(shè)推得九>0（2分）；由A的特征值為九推得A-1的特征值為-（1分），則有1>0nA-i為正定矩陣（2分）；A正定n|A|>0（1分）nA*的九 九|A|特征值一>0nA*為正定矩陣（2分）.九1、 試題序號(hào)：3382、 題型：證明題3、 難度級(jí)別：34、 知識(shí)點(diǎn)：第五章相似矩陣及二次型5、 分值：86、 所需時(shí)間：8分鐘7、 試題關(guān)鍵字：正定矩陣8、 試題內(nèi)容：若A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，證明：當(dāng)t充分大時(shí)，tE+A為正定矩陣.9、 答案內(nèi)容：證明：A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣.???At=A.貝惰（tE+A）t=tE+At=tE+A.???tE+A也為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣.設(shè)A的特征值為九,九，…九，最小值記為1 2 nX=min（X},i=1,2,…,n.it+X均為tE+A的特征值.i當(dāng)t+X>0nt>-X時(shí),tE+A的全部特征值均為正數(shù).?t充分大時(shí),tE+A為正定矩陣

10、評(píng)分細(xì)則：由題設(shè)推得tE+A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣（2分）；說(shuō)明t+九i=1,2,…,n均為tE+Ai的特征值（2分）；當(dāng)t+九〉0,九為最大特征值，推得t>-九時(shí)，tE+A的特征值全為正數(shù)（2分）；所以t充分大時(shí)，tE+A為正定矩陣（2分）.1、 試題序號(hào)：3392、 題型：證明題3、 難度級(jí)別：34、 知識(shí)點(diǎn)：第五章相似矩陣及二次型5、 分值：86、 所需時(shí)間：8分鐘7、 試題關(guān)鍵字：正定二次型8、 試題內(nèi)容：設(shè)C為n階實(shí)可逆矩陣，E為單位矩陣，九〉0,證明：九E+CtC為正定的.9、 答案內(nèi)容：證明：???（九E+CtC）t=九Et+CtC二九E+CtC,.??九E