第二十七章相似相似三角形應(yīng)用舉例

例

如圖，左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和CD=12m，兩樹底部的距離BD=5m.一個(gè)人估計(jì)自己眼睛距地面1.6m.她沿著正對(duì)這兩棵樹的一條水平直路l從左向右前進(jìn)，當(dāng)他與左邊較低的樹的距離小于多少時(shí)，就看不到右邊較高的樹的頂端C了？分析：如圖，設(shè)觀察者眼睛的位置為點(diǎn)F，畫出觀察者的水平視線FG，分別交AB，CD于點(diǎn)H，K.視線FA與FG的夾角∠AFH是觀察點(diǎn)A時(shí)的仰角.類似地，∠CFK是觀察點(diǎn)C時(shí)的仰角.由于樹的遮擋，區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，觀測(cè)者都看不到.解：如圖，假設(shè)觀察者從左向右走到點(diǎn)E

時(shí)，她的眼睛的位置點(diǎn)E與兩棵樹的頂端A，C

恰在一條直線上．∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD．∴△AEH∽△CEK．∴即解得EH=8（m）．由此可知，如果觀察者繼續(xù)前進(jìn)，當(dāng)她與左邊的樹距離小于8m

時(shí)，由于這棵樹的遮擋，她看不到右邊樹的頂端C．例我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽的《海島算經(jīng)》中有一題：今有望海島，立兩表齊高三丈，前后相去千步，今后表與前表參相直，從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰亦與表末參合，從后表卻行一百二十七步，人目看地取望島峰亦與表末參合，問島高及去表各幾何？畫成圖形，用現(xiàn)在的話表述即是：要求海島的山峰AB的高度，分別在D和F處樹立標(biāo)桿DC和FE，標(biāo)桿高都是3丈，相隔1000步（一步等于5尺），并且AB,CD,EF都在同一截面上.從標(biāo)桿DC退后123步的G處，可看見山峰頂A和標(biāo)桿頂C在同一直線上;從標(biāo)桿FE退后127步的H處，也可以看到山峰頂A和標(biāo)桿頂E在同一直線上，求山高AB及它和標(biāo)桿CD的水平距離BD.解：如圖，DH=DF+FH=(1000+127)×5=5635(尺)，F(xiàn)H=127×5=635(尺)，DG=123×5=615（尺）.∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴AB∥CD,∴△GAB∽△GCD,又∵EF⊥BH,∴EF∥AB,∴△HAB∽△HEF,又∵EF=30尺，例如圖所示，一段街道的兩邊緣所在直線分別為AB，PQ,并且AB∥PQ.建筑物的一端DE所在直線MN⊥AB于點(diǎn)M,交PQ于點(diǎn)N.小亮從勝利街的點(diǎn)A處，沿著AB方向前進(jìn)，小明一直站在點(diǎn)P的位置等候小亮.（1）請(qǐng)你在圖中畫出小亮恰好能看見小明時(shí)的視線，以及此時(shí)小亮所在位置（用點(diǎn)C標(biāo)出）；（2）已知MN=20m,MD=8

m,PN=24

m,

求（1）中的點(diǎn)C到勝利街口的距離CM.

答案

(1)如下圖所示，CP為視線，點(diǎn)C為所求位置.（2）因?yàn)锳B∥PQ，

MN⊥AB于M,所以∠CMD=∠PND=90°.

又因?yàn)椤螩DM=∠PDN,所以△CDM∽

△PDN.所以所以解得CM=16(m).第二十七章相似相似三角形應(yīng)用舉例

進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)建模思想，能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的數(shù)學(xué)模型，提高分析問題、解決問題的能力.(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)12能夠利用相似三角形的知識(shí)，求出不能直接測(cè)量的物體的高度和寬度.(重點(diǎn))復(fù)習(xí)引入新課導(dǎo)入1.相似三角形的判定方法有哪幾種？（1）定義：對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似；（2）判定定理1：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似

；（3）判定定理2：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似；（4）判定定理3：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；（5）判定定理4：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似；（6）直角三角形相似的判定方法：一組直角邊和斜邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似.2.

相似三角形的性質(zhì)有哪些？（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.（2）相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比.（3）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方.情景一世界上最高的樹——紅杉，你能測(cè)量它的高度嗎？情景二神秘的埃及金字塔，你能測(cè)量它的高度嗎？情景三世界上最寬的河——亞馬遜河，你能測(cè)量它的高度嗎？知識(shí)講解★利用相似三角形測(cè)量物體的高度

據(jù)史料記載,古希臘數(shù)學(xué)家,天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的頂部立一根木桿.借助太陽光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形,來測(cè)量金字塔的高度.例1

如圖，木桿EF長(zhǎng)2m，它的影長(zhǎng)FD為3m，測(cè)得OA為201m，求金字塔的高度BO.解：太陽光是平行的光線，因此∠BAO=∠EDF.又∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF.∴，∴

因此金字塔的高度為134m.歸納：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，可以用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比例”的原理解決.物1高：物2高=影1長(zhǎng)：影2長(zhǎng)例2如圖，某水平地面上建筑物的高度為AB，在點(diǎn)D和點(diǎn)F處分別豎立高是2米的標(biāo)桿CD和EF，兩標(biāo)桿相隔52米，并且建筑物AB、標(biāo)桿CD和EF在同一豎直平面內(nèi)．從標(biāo)桿CD后退2米到點(diǎn)G處，在G處測(cè)得建筑物項(xiàng)端A標(biāo)桿頂端C在同一條直線上；從標(biāo)桿FE后退4米到點(diǎn)H處，在H處測(cè)得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端E在同一直線上，求建筑物的高度．

歸納：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，也可以用“利用標(biāo)桿測(cè)量高度”的原理解決.

例3

如圖是一位學(xué)生設(shè)計(jì)的用手電筒來測(cè)量某古城墻高度的示意圖．點(diǎn)P處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn)A發(fā)出經(jīng)平面鏡反射后剛好到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD,測(cè)得AB=2米，BP=3米，PD=12米，求該古城墻的高度．

歸納：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，也可以用“利用鏡子的反射測(cè)量高度”的原理解決.★利用相似三角形測(cè)量物體的寬度例4

如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河的這一邊選點(diǎn)B和C，使AB⊥BC，然后，再選點(diǎn)E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點(diǎn)D．

此時(shí)如果測(cè)得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求兩岸間的大致距離AB．EADCB60m50m120m解：∵∠ADB＝∠EDC，

∠ABC＝∠ECD＝90°，

∴△ABD∽△ECD.

∴，即，解得AB=100.因此，兩岸間的大致距離為100m.

測(cè)量如河寬等不易直接測(cè)量的物體的寬度，常構(gòu)造相似三角形求解.歸納：隨堂訓(xùn)練1.學(xué)校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置BD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，則欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CD為（）A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5mC

D3.

如圖，為了測(cè)量水塘邊A、B兩點(diǎn)之間的距離，在可以看到A、B的點(diǎn)E處，取AE、BE延長(zhǎng)線上的C、D兩點(diǎn)，使得CD∥AB.若測(cè)得CD＝5m，AD＝15m，ED=3m，則A、B兩點(diǎn)間的距離為

m.ABEDC204.如圖所示，有點(diǎn)光源S在平面鏡上面，若在P點(diǎn)看到點(diǎn)光源的反射光線，并測(cè)得AB＝10cm，BC＝20cm，PC⊥AC，且PC＝24cm，則點(diǎn)光源S到平面鏡的距離SA的長(zhǎng)度為

.12cm5.如圖，在高為4m的平房頂上A處望一幢樓的底部D時(shí)，視線恰好過一棵樹的頂端E，從平房底部B處望樓頂C時(shí)，視線也恰好經(jīng)過小樹的頂端E.如果測(cè)得小樹的高度為3m，求這幢樓的高度.解：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB.∵EF=3，AB=4，∴,∴.∵EF∥AB，∴△BEF∽△BCD，∴,∴CD=4EF=12m.答：這幢樓的高度為12m.6.如圖，左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和CD=12m，兩樹底部的距離BD=5m，一個(gè)人估計(jì)自己的眼睛距地面1.6m．她沿著正對(duì)這兩棵樹的一條水平直路l

從左向右前進(jìn)，當(dāng)她與左邊較低的樹的距離小于多少時(shí)，就不能看到右邊較高的樹的頂點(diǎn)C了？解：如圖，假設(shè)觀察者從左向右走到點(diǎn)E

時(shí)，她的眼睛的位置點(diǎn)E與兩棵樹的頂端A、C恰在一條直線上．