專題10已知函數的零點個數，求參數的取值范圍一、選擇題1．【河南省安陽三十五中2018屆高三開學考】已知函數是定義在上的偶函數，且滿足，當時，，若在區(qū)間上，方程恰有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】若在區(qū)間上方程恰有四個不相等的實數根，等價為有四個不相等的實數根，即函數和，有四個不相同的交點，∵，∴函數的周期是2，當時，，此時，∵是定義在上的偶函數，∴，即，，作出函數和的圖象，當經過時，兩個圖象有3個交點，此時，解得，當經過時，兩個圖象有5個交點，此時，解得，要使在區(qū)間上方程恰有四個不相等的實數根，則，故選C.學！科網2．【江西省六校2018屆高三聯考】設函數，若對于在定義域內存在實數滿足，則稱函數為“局部奇函數”．若函數是定義在上的“局部奇函數”，則實數的取值范圍是（）A.[1﹣，1+）B.[﹣1，2]C.[﹣2，2]D.[﹣2，1﹣]【答案】B【解析】根據“局部奇函數”的定義可知，函數f（﹣x）=﹣f（x）有解即可，即f（﹣x）=4﹣x﹣m?2﹣x+m2﹣3=﹣（4x﹣m2x+m2﹣3），∴4x+4﹣x﹣m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0，即（2x+2﹣x）2﹣m?（2x+2﹣x）+2m2﹣8=0有解即可．設t=2x+2﹣x，則t=2x+2﹣x≥2，∴方程等價為t2﹣m?t+2m2﹣8=0在t≥2時有解，設g（t）=t2﹣m?t+2m2﹣8，對稱軸x=，①若m≥4，則△=m2﹣4（2m2﹣8）≥0，即7m2≤32，此時m不存在；②若m＜4，要使t2﹣m?t+2m2﹣8=0在t≥2時有解，則，解得﹣1≤m＜2，綜上：﹣1≤m＜2，故選B3．【2017屆山東省濟寧市高三?？肌慷x在上的函數，滿足，且當時，，若函數在上有零點，則實數的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】設，則，因為且當時，，所以，則，【點睛】本題考查了方程的根的存在性以及根的個數的判斷，數形結合思想，分段函數，屬于中檔題，解決本題的重點是根據函數的性質求出函數的解析式，再利用數形結合的思想即可得出的范圍，解答此題的關鍵是利用數形結合，使復雜的問題簡單化.4．【山東省濰坊壽光市2016-2017學年期末】函數是定義在R上的偶函數，且滿足時，，若方程恰有三個不相等的實數根，則實數的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】試題分析：由可得函數的周期為2，當時，，又為偶函數，則當時，，由得，作出和即的圖象，可知直線斜率為且過定點.要使方程恰有三個不相等的實數根，則由圖象可得直線的斜率必須滿足，由題意可得，則，．即有．故選A．考點：1函數方程的根;2數形結合.5．【山東省聊城市2016-2017學年高二期末】已知定義在上的函數，周期為4，當時，當時，函數有5個零點，則實數的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根據題意，當時，，若，即，則有或，解得或，即上，函數有兩個零點，即或，又函數的周期為，在上，函數也有兩個零點，即或，在上，函數也有兩個零點，即或，當時，函數也有個零點，必有，故選A.點睛：本題考查了方程的根的存在性及根的個數的判定、函數的零點問題，解答中涉及到分段函數的性質及其應用、函數的零點的判定及函數的周期性，其中正確根據分段函數的解析式，得到一個周期中函數零點的個數是解答的關鍵.6．【山東省菏澤市2016--2017學年高二期末】已知函數，函數恰有三個不同的零點，則實數的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】函數g(x)=f(x)?a恰有三個不同的零點，即y=f(x)和y=a恰有三個不同的交點，畫出函數f(x)的圖象，如圖所示：，x>0時,f(x)的最小值是?，結合圖象,?<a<2，故選：B.點睛：已知函數有零點求參數取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍；(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決；(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解．7．【福建省南平市2016-2017學年高二聯考】已知函數，設，且滿足，若實數是方程的一個解，那么下列不等式中不可能成立的是（）A.B.C.D.【答案】B點睛：本題考查函數零點問題.函數零點問題有兩種解決方法，一個是利用二分法求解，另一個是化原函數為兩個函數，利用兩個函數的交點來求解.8．【西藏自治區(qū)拉薩中學2017屆高三月考】已知函數，若關于的方程有8個不等的實數根，則的取值范圍是A.B.C.D.（2,）【答案】D【解析】函數，的圖象如圖：

關于的方程有8個不等的實數根，必須有兩個不相等的實數根，由函數圖象可知，令，方程化為：，，開口向下，對稱軸為：，可知：的最大值為：，的最小值為2，，故選D.9．【北京市昌平區(qū)2017年高三】已知函數，若函數恰有兩個零點，則實數的取值范圍是A.B.C.D.【答案】C【解析】恰有兩個零點，等價于與有兩個交點，同一坐標系，畫出與的圖象，直線過時，，直線與，相切時，由圖知，時，兩圖象有兩交點，即的取值范圍是，故選C.【方法點睛】根據零點個數求參數的常用方法：①直接法：可利用判別式的正負直接判定一元二次方程根的個數；②轉化法：函數零點個數就是方程根的個數，結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)可確定函數的零點個數；③數形結合法：一是轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題，畫出兩個函數的圖象，其交點的個數就是函數零點的個數，二是轉化為的交點個數的圖象的交點個數問題.本題的解答就利用了方法③.10．【天津市河東區(qū)2017屆高三二?！恳阎瘮担艉瘮登∮腥齻€不同的零點，則實數的取值范圍是()A.[-1,1)B.[-1,2)C.[-2,2)D.[0,2]【答案】B【方法點睛】判斷函數零點個數的常用方法：(1)直接法：令則方程實根的個數就是函數零點的個；(2)零點存在性定理法：判斷函數在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且再結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)可確定函數的零點個數；(3)數形結合法：轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題，畫出兩個函數的圖象，其交點的個數就是函數零點的個數，在一個區(qū)間上單調的函數在該區(qū)間內至多只有一個零點，在確定函數零點的唯一性時往往要利用函數的單調性，確定函數零點所在區(qū)間主要利用函數零點存在定理，有時可結合函數的圖象輔助解題.11．【山東萊蕪市第一中學2017年高三】已知函數，，若有兩個不相等的實根，則實數的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】試題分析：由題意可得函數f（x）的圖象（藍線）和函數g（x）的圖象（紅線）有兩個交點，如圖所示：KOA=，數形結合可得-1＜k＜考點：根的存在性及根的個數判斷12．【河北省館陶縣第一中學2016-2017學年高二期末】已知函數，若正實數互不相等，且，則的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】函數,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c)，如圖，不妨a<b<c，由已知條件可知：0<a<1<b<e<c<e2，∵?lna=lnb，∴ab=1∵lnb=2?1nc∴bc=e2，∴,(1<b<e)，，故選A.點睛：對于連等問題，常規(guī)的方法有兩個，一是令該連等為同一個常數，再用這個常數表示出對應的變量，進而研究范圍，二是數形結合，根據函數的集合特征建立變量間的關系進行運算.13．【江西省南昌市三校2016-2017學年高二聯考】設函數的定義域為,若函數滿足條件：存在,使在上的值域是則稱為“倍縮函數”，若函數為“倍縮函數”，則的范圍是()A.B.C.D.【答案】A【解析】∵函數f(x)=f(x)=log2(2x+t)為“倍縮函數”，且滿足存在[a,b]?D,使f(x)在[a,b]上的值域是[]，∴f(x)在[a,b]上是增函數；∴，即，∴a,b是方程2x?+t=0的兩個根，設m=,則m>0,此時方程為m2?m+t=0即方程有兩個不等的實根，且兩根都大于0；∴，解得：0<t<，∴滿足條件t的范圍是(0,)，故選：A.點睛：由題意得，函數是增函數，構造出方程組，將問題轉化為方程在定義域上有兩個不等實根，利用方程組的解都大于0，求出t的取值范圍．二、填空題14．【湖北省部分重點中學2018屆高三起點考】若函數有四個零點,則實數的取值范圍是____．【答案】【解析】因，故令，則，故問題轉化為求函數有四個實數根時實數的取值范圍。當時，只有兩個實數根，不合題設；當時，，解之可得，當時，方程只有兩個實數根，不合題設，故且；又由可得，求導可得或舍去，當時，恰好有四個實數根，應填答案。點評：解答本題的關鍵是運用換元轉化的數學思想，先將令，則，故問題轉化為求函數有四個實數根時實數的取值范圍。進而借助函數的圖像與導數的有關知識進行分析求解，從而探求出實數的取值范圍，使得問題巧妙獲解。15．【河南省南陽市一中2018屆高三第一次考】已知函數，若函數有3個不同的零點，則實數的取值范圍是____________.【答案】【解析】當x<0時,g(x)=?x+1>0,此時g(g(x))=(?x+1)2?1=x2?2x當0?x<1時,g(x)=x2?1<0,此時g(g(x))=?(x2?1)+1=?x2+2當x?1時,g(x)=x2?1?0,此時g(g(x))=(x2?1)2?1=x4?2x2，函數y=g(g(x))的圖象如下：結合圖象可得若函數y=g(g(x))?2m有3個不同的零點,則實數m的取值范圍是故答案為：16．【河北省正定中學2016-2017學年高二月考】設函數，若恰有2個零點，則實數的取值范圍是__________．【答案】考點：分段函數圖象與性質．【思路點晴】本題主要是討論分段函數零點的問題．當時，這是一個單調遞增的函數，所以至多有一個零點，所以對于時，至少要有一個零點，也即兩個零點至少有一個是在上．對參數分成三類進行分類討論，求得的取值范圍．轉化為指數式就是，要熟悉指數式和對數式互化．17．【江蘇省如皋市2016-2017學年高二期末】已知函數的零點在區(qū)間內，則正整數的值為___________.【答案】【解析】由函數的解析式可得函數在(0,+∞)上是增函數，且f(2)=ln2+2?4<0,f(3)=ln3+3?4>0，故有f(2)f(3)<0，根據函數零點的判定定理可得函數在區(qū)間(2,3)上存在零點。結合所給的條件可得，故k=2.18．【江蘇省連云港市2016-2017學年高二期末】若關于的二次方程的兩個互異的實根都小于1，則實數的取值范圍是__________.【答案】【解析】關于的二次方程的兩個互異的實根都小于1，則，即求得，即的取值范圍是，故答案為.【方法點睛】本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，屬于難題.對于一元二次方程根與系數的關系的題型常見解法有兩個：一是對于未知量為不做限制的題型可以直接運用判別式解答（本題屬于這種類型）；二是未知量在區(qū)間上的題型，一般采取列不等式組（主要考慮判別式、對稱軸、的符號）的方法解答.19．【云港市2016-2017學年高二期末】已知函數，若有兩個零點，則實數的取值范圍為_________.【答案】【解析】作出的函數圖象如圖所示：畫出函數的圖象，由圖象可知當時，有零點，當時，有個零點，當或時，有個零點，故答案為.【方法點睛】判斷方程零點個數的常用方法：①直接法：可利用判別式的正負直接判定一元二次方程根的個數；②轉化法：函數零點個數就是方程根的個數，結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)可確定函數的零點個數；③數形結合法：一是轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題，畫出兩個函數的圖象，其交點的個數就是函數零點的個數，二是轉化為的交點個數的圖象的交點個數問題.本題（2）就利用了方法③.20．【2016-2017年上海市閔行區(qū)高三4月調研】若函數在區(qū)間上有零點，則實數的取值范圍是

.【答案】【解析】因為函數在區(qū)間上有零點,則=,解得.即實數的取值范圍是.故答案為.21．【湖南師范大學附屬中學2016-2017學年高一期中】已知函數f(x)＝，若f(x)恰有2個不同的零點，則實數a的取值范圍是__________．【答案】∪[2，＋∞)【解析】設g(x)＝4(x－a)(x－2a)(x≥1)，h(x)＝2x－a(x＜1)，且h(x)至多有一個零點．①若g(x)有兩個零點，h(x)沒有零點，則，得a≥2.②若g(x)和h(x)各有1個零點，則得≤a<1.綜上，a∈∪[2，＋∞)．22．【福建省2016屆高三畢業(yè)班總復習】關于方程有四個不相等的實數根，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】構造函數結合圖象可得的取值范圍是.點睛：對于方程解的個數(或函數零點個數)問題，可利用函數的值域或最值，結合函數的單調性、草圖確定其中參數范圍．從圖象的最高點、最低點，分析函數的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性等．23．【牡丹江市第一高級中學2016-2017學年高二期末】函數的一個零點在區(qū)間內，則實數的取值范圍是.【答案】【解析】試題分析：由于函數在上單調遞增，且函數的一個零點在區(qū)間內，則有且，解得.考點：1.函數的單調性；2.零點存在定理24．【黃山市屯溪第一中學2016-2017學年高二】設f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個函數，若函數y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有兩個不同的零點，則稱f(x)和g(x)在[a，b]上是“關聯函數”，區(qū)間[a，b]稱為“關聯區(qū)間”．若f(x)＝x2－3x＋4與g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“關聯函數”，則m的取值范圍為________．【答案】考點：數學閱讀能力與函數的零點及數形結合思想.25．已知函數f(x)＝|x2－2x－2015|，若關于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有四個互不相等的實根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝__________．【答案】4【解析】不妨設x1＜x2＜x3＜x4，則x1＋x4＝2，x2＋x3＝2.x1＋x2＋x3＋x4＝4三、解答題26．【2017年江西省“北陽四?！备呷_學摸底】設函數（）.（Ⅰ）當時，求不等式的解集；（Ⅱ）若方程只有一個實數根，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】試題分析：利用零點分區(qū)間討論法解絕對值不等式，轉化為，只有一個根，轉化為函數與的圖象只有一個交點，畫出的圖象解決.試題解析：（Ⅰ）依題意：原不等式等價于：，當時，，即：，此時解集為；當時，，即：，此時；當時，，即：，此時.綜上所述：所求的解集為：.（Ⅱ）依題意：方程等價于，令.（圖象如圖）.要令原方程只有一個實數根，只需或.實數的取值范圍是.【點睛】本題為不等式選講，屬于選修內容，解絕對值不等式是常見考試題，只需分段討論去解；利用轉化思想解決零點問題也是?？紗栴}，畫出函數圖像，把零點問題轉化為圖象與軸的交點問題去解決.27．【巴中市2016-2017學年高一期末】已知函數（）.（1）若函數有零點，求實數的取值范圍；（2）若對任意的，都有，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）令f(x)=0，變形為，有兩種解題思種，一是換元令，則，變形為關于的方程有正根，分,,討論。二是分離參數,只需求右邊的值域即可。（2）變形為，，恒成立。當，，即，。試題解析：（1）由函數有零點得：關于的方程（）有解令，則于是有，關于的方程有正根設，則函數的圖象恒過點且對稱軸為當時，的圖象開口向下，故恰有一正數解當時，，不合題意當時，的圖象開口向上，故有正數解的條件是解得：綜上可知，實數的取值范圍為.（2）由“當時，都有”得：，②∵，故②變形為：當時，不等式②簡化為，此時實數當時，有∴∴，∵當時，，當且僅當時取等號∴綜上可知，實數的取值范圍.【點睛】對于有角和恒成立問題，如果參數能很好的分離，我們首選參數分離法。28．【2017浙江省金華十校聯考】已知函數().(Ⅰ)當時，解不等式；(Ⅱ)證明：方程最少有1個解，最多有2個解，并求該方程有2個解時實數的取值范圍.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)答案見解析.【解析】試題分析：(Ⅰ)由題意分段求解不等式可得不等式的解集為.(Ⅱ)分類討論a=0和兩種情況即可證明方程最少有1個解，最多有2個解，計算可得該方程有2個解時實數的取值范圍是試題解析：（Ⅰ）∵，∴，當時，由，解得，∴，當時，由，解得，∴，綜上所得，不等式的解集是.（Ⅱ）證明：（1）當時，注意到：，記的兩根為，∵，∴在上有且只有1個解；（2）當時，，1）當時方程無解，2）當時，得，若，則，此時在上沒有解；若，則，此時在上有1個解；（3）當時，，∵，，∴，∴在上沒有解.綜上可得，當時只有1個解；當時有2個解.點睛：當給出函數值求自變量的值時，先假設所求的值在分段函數定義區(qū)間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍．29．【江蘇省南通市海安高級中學2016-201