八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)全冊(cè)全套試卷（提升篇）（Word版含解析）一、八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形解答題壓軸題（難）1．（1ABCBC,DABE）已知△是等腰三角形，其底邊是點(diǎn)在線段上，是直線上一BC點(diǎn)，且∠若∠等于60°（如圖①）.求證：EB=AD；DEC=∠DCE,A（21DABDAB）若將（）中的“點(diǎn)在線段上”改為“點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上”，其他條件不變（如圖②），（1）的結(jié)論是否成立，并說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】試題分析（：1）作DF∥BC交AC于F，由平行線AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，證明△ABC是等邊三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，證出△ADF是等邊三角DFC=120°，得出AD=DF，F(xiàn)DC=∠DEC，ED=CD，由AAS證明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，的性質(zhì)得出∠ADF=∠ABC，∠形，∠由已知條件得出∠即可得出結(jié)論；（2）作DF∥BC交AC的延長(zhǎng)線于F，同（1）證出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出結(jié)論.試題解析：（1）證明：如圖，作DF∥BC交AC于F，ADF則△為等邊三角形∴AD=DF，又∵∠DEC=∠DCB，∠DEC+∠EDB=60°，∠DCB+∠DCF=60°，∴∠EDB=∠DCA，DE=CD，在和△DEB△CDF中，EBDDFC120，EDBDCF，DECD∴△DEB≌△CDF，∴BD=DF，∴BE=AD.(2).EB=AD成立；DFBCACF理由如下：作∥交的延長(zhǎng)線于，如圖所示：1AD=DF同（）得：，F(xiàn)DC=ECDFDC=DEC，，ED=CD∠，∠∠∠又∵∠DBE=∠DFC=60°∴△DBE≌△CFD（），AAS∴EB=DF∴EB=AD.，，點(diǎn)睛：此題主要考查了三角形的綜合，考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，有一定的難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.2．在ABC中，BAC90,ABAC，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)（DBC點(diǎn)不與點(diǎn)B,CD重合），以AD為腰作等腰直角DAF，使DAF90，連接CF．1（）觀察猜想1BC上時(shí)，如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線①BC與CF的位置關(guān)系為__________②CF、DC、BC之間的數(shù)量關(guān)系為___________（提示：可證DABFAC）段；2（）數(shù)學(xué)思考2如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線CB1上時(shí)，（）中的①、②結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明；3（）拓展延伸如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線時(shí)，將DAF沿線段翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重DFE3BCA合，連接CE、CF，若4CDBC,AC22，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．（提示：做CEAHBC于，做EMBD于M）H＝＋；（）2C⊥CF成立；BC＝CF＋DC不成立，正確①BCCF②BCCFDC【答案】（1）⊥；DCCFBC332結(jié)論：＝＋，證明詳見解析；（）【解析】【分析】1BAC∠＝∠DAF＝，90°推出△DAB≌△FAC（）；SAS（）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得，②由正CFBD，全等三角形的性質(zhì)可得到方形的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，根據(jù)ADEFACFABD，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC＝∠DAF＝，90°推出△DAB≌△FAC，根據(jù)2全等三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的角的性質(zhì)可得到結(jié)論；過作AHBC于H，過E作EMBD于，證明M△ADH≌△DEM，推出3A（）EMDH3，CMEM3，即可解決問題．DMAH2，推出【詳解】ADEF中（1）①正方形，ADAF∵∠BAC∠DAF90∴BADCAF在△DAB與△FAC中ADAFBADCAFABAC∴△DAB≌△FACSAS∴BACF∴∠ACB∠ACF90，即BCCF；②∵△DAB≌△FAC∴CFBD∵BCBDCD∴BCCFCDBCCFBCCFDCDCCFBC證明：∵△ABC和△ADF都是等腰直角三角形（2）⊥成立；＝＋不成立，正確結(jié)論：＝＋∴AB＝，＝，ACADAF∠＝∠DAF＝，90°BAC∴∠BAD＝∠CAFADAFFACBADCAFABAC在△DAB和△中∴△DAB≌△FAC（）SAS∴∠ABD＝∠ACF，＝DBCF∵∠BAC＝，＝，90°ABAC∴∠ACB＝∠ABC＝45°ABD＝180°－45°＝135°∴∠∴∠ACF＝∠ABD＝135°∴∠BCF＝∠ACF－∠ACB＝135°45°90°－＝，CFBC∴⊥∵CD＝DB＋BC，DB＝CF∴DC＝CF＋BC（3）過A作AHBC于H，過E作EMBD于M，∵BAC90，ABAV22BC2AB4，AHBHCH1BC2∴21CDBC1∴4∴DHCHCD3∵四邊形ADEF是正方形∴ADDE，∠ADE90∵BCCF，EMBD，ENCF∴四邊形CMEN是矩形∴NECM，EMCN∵∠AHD∠ADC∠EMD90∠ADH∠EDM∠EDM∠DEM90∴∴∠ADH∠DEM在△ADH和△DEM中ADHDEMAHDDMEADDE∴△ADH≌△DEM∴EMDH3，DMAH2∴CMEM3CE∴EM2CM232【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的綜合問題，掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及判定、余角的性質(zhì)、等腰三角形的角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．ABAC，D、E是斜邊上兩動(dòng)點(diǎn)，且3．（1BC）如圖，在中，1Rt△ABC∠DAE=45°，將△繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后，得到△AFC，連接DF.AABE（1）試說明：△AED≌△；AFD求∠的度數(shù)和DE的長(zhǎng)；（3）如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BD=3，BC=8BE=3,CE=9BCF時(shí)，（2）當(dāng)BAC=∠DAE=90°，D是斜邊BC所在直線上一點(diǎn)，，求DE2的長(zhǎng).【答案】（1）略（2）∠BCF=90°DE=5（3）34或130【解析】試題分析：1由ABE≌AFC，得到AEAF，BAECAF，EAD45,BAECAD45,CAFCAD45,即DAF45.EAD，AED≌AFD.DAF從而得到2由△AED≌AFD得到EDFD，再證明DCF90，利用勾股定理即可得出結(jié)論.3AHBH1BC4.過點(diǎn)A作AHBC于根據(jù)等腰三角形三線合一得，H,2DHBHBD1或DHBHBD7,求出AD的長(zhǎng)，即可求得DE2.試題解析：1ABE≌AFC，AEAF，BAECAF，EAD45,BAC90,BAECAD45,CAFCAD45,即DAF45.AFAE{EAFDAE在AED和AFD中，ADAD，AED≌AFD.2AED≌AFD，EDFD，ABAC,BAC90.BACB45，ACF45，BCF90.設(shè)DEx.DFDEx,CD9x.FCBE3.FC2DC2DF2,329x2x.2x5.解得：故DE5.3過點(diǎn)A作AHBC于根據(jù)等腰三角形三線合,一得，HAHBH1BC4.2DHBHBD1或DHBHBD7,AD2AH2DH217或65.DE22AD234或130.點(diǎn)睛：D是斜邊BC所在直線,注意分類討論.上一點(diǎn)A904．如圖（1），在ABC中，，ABAC，點(diǎn)BCD是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E，AC上，且EDF90．F分別在線（1）求證：DEF為等腰ABC的面積為7，求四邊形AEDF的面積；段AB，直角三角形；（2）若（3）如圖（2），如果點(diǎn)上時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB的延長(zhǎng)線F在射線上且保持CAEDF90，DEF還是等腰直角三角形嗎．請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）3.5；（3）是，理由見解析．【解析】【分析】（1）由題意連接AD，并利用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA)，進(jìn)而分析證得DEF為等腰直角三角形；（2）由題意分析可得S=S?ADF+S?ADE=S?BDE+S?CDF，以此進(jìn)行分析計(jì)算求出四邊形四邊形AEDFAEDF的面積即可；（3）根據(jù)題意連接AD，運(yùn)用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA)，進(jìn)而分析證得DEF為等腰直角三角形.【詳解】解：（1）證明：如圖①，連接AD.∵∠BAC=90?,AB=AC,點(diǎn)D是斜邊BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，AD=BD，∴∠1=∠B=45°，∵∠EDF=90°，∠2+∠3=90°，又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，，∠1=∠BAD=BD,∠2=∠4，在△BDE和△ADF中，∴△BDE≌△ADF(ASA),∴DE=DF,又∵∠EDF=90°∴ΔDEF為等腰直角三角形（2）由（1）可知DE=DF∠C=∠6=45°，∵∠2+∠3=90°∠2+∠5=90°，∴∠3=∠5，，.，又，∴△ADE≌△CDF，∴S四邊形AEDF=S?ADF+S?ADE=S?BDE+S?CDF,，∴S?ABC=2S四邊形AEDF∴S四邊形AEDF=3.5.（3）是.如圖②，連接AD.∵∠BAC=90°AB=ACDBC，，是斜邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC,AD=BD，∴∠1=45°，∵∠DAF=180°-∠1=180°—45°=135°，∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，∴∠DAF=∠DBE，∵∠EDF=90°，∴∠3+∠4=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠2=∠4,△BDE△ADF∠DAF=∠DBE，AD=BD,∠2=∠4,在和中，∴△BDE≌△ADF(ASA),∴DE=DF,又∵∠EDF=90°，∴△DEF.為等腰直角三角形【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．PMNPMPNMN5．已知點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，分別以，為一邊，在的同側(cè)作△，APMBPNBMAN△，并連接，．（Ⅰ）如圖1，當(dāng)PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°時(shí)，試猜想BM，AN之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的猜想；（Ⅱ）如圖2，當(dāng)△，△都是等邊三角形BMANⅠ）中，之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，（Ⅲ）在（條件下，連接AB得到圖3，當(dāng)PN＝2PM時(shí)，求∠PAB度數(shù)．【答案】（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）結(jié)論成立.（3）90°．APMBPN時(shí)，（請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，試說明理由．Ⅱ）的【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件可證△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延長(zhǎng)MB交AN于點(diǎn)C，得出MCN90,因此有BM⊥AN；(2)根據(jù)所給條件可證△MPB≌△APN，得出結(jié)論BM＝AN；(3)取PB的中點(diǎn)C，連接AC，AB，通過已知條件推出△APC為等邊三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，進(jìn)一步得出∠PAB的度數(shù).【詳解】解：（Ⅰ）結(jié)論：＝，⊥BMANBMAN．理由：如圖1中，∵M(jìn)P＝，∠＝∠＝，＝，APAPMBPN90°PBPNMBP∴△≌△（ANPSAS），∴MB＝AN．延長(zhǎng)交于點(diǎn)C．MBANMBPANP∵△≌△，PANPMB∴∠＝∠，PAN+PNA90°∵∠∠＝，PMB+PNA90°∴∠∠＝，MCN180°PMBPNA90°∴∠＝﹣∠﹣∠＝，∴BM⊥AN．（Ⅱ）結(jié)論成立理由：如圖2中，APMBPN∵△，△，都是等邊三角形APMBPN60°∴∠＝∠＝MPBAPN120°∴∠＝∠＝，又∵PM＝，＝，PAPBPNMPBAPNSAS∴△≌△（）MBAN∴＝．（Ⅲ）如圖3中，取PB的中點(diǎn)C，連接AC，AB．∵△APM，△PBN都是等邊三角形∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN∵點(diǎn)C是PB的中點(diǎn)，且PN＝2PM，∴2PC＝2PA＝2PM＝＝PBPN，∵∠APC＝60°，∴△APC為等邊三角形，∴∠PAC＝∠PCA＝60°，又∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝．90°【點(diǎn)睛】本題是一道關(guān)于全等三角形的綜合性題目，充分考查了學(xué)生對(duì)全等三角形的判定定理及其性質(zhì)的應(yīng)用的能力，此類題目常常需要數(shù)形結(jié)合，借助輔助線才得以解決，因此，作出合理正確的輔助線是解題的關(guān)鍵.二、八年級(jí)數(shù)學(xué)軸對(duì)稱解答題壓軸題（難）6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且BD＝．DE點(diǎn)是線段BC的中點(diǎn)，連結(jié)AG，交BD于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DH⊥BC，垂G足為H．1（）求證：△DCE為等腰三角形；（）若∠CDE＝，22.5°DC＝，求GH的長(zhǎng)；223（）探究線段CE，GH的數(shù)量關(guān)系并用等式表示，并說明理由．23CE2GH.1）證明見解析；（2）；（）＝，理由見解析2【答案】（【解析】【分析】11（1）根據(jù)題意可得∠CBD＝∠ABC＝∠ACB，，由，可得BD=DE∠DBC＝∠E＝22121CDE＝∠ACB＝∠E，可證DCE，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠△為等腰三角2∠ACB形；（2）根據(jù)題意可得CH=DH=1，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性質(zhì)可得BG=GC，BH=HE=2+1，即可求GH的值；（3）CE=2GH，根據(jù)等腰三角形的性可得BG=GC，BH=HE，可得＝GHGC﹣HC＝GC﹣1（﹣）＝﹣121CEHECEBCBE+CE＝，即CE=2GH22【詳解】證明：（）1∵AB＝，AC∴∠ABC＝∠ACB，∵BD平分∠ABC，11∴∠CBD＝∠ABC＝∠ACB，22∵BD＝，DE1∴∠DBC＝∠E＝∠ACB，2∵∠ACB＝∠E+∠CDE，1∴∠CDE＝∠ACB＝∠E，2∴CD＝，CE∴△DCE是等腰三角形2（）∵∠CDE＝，＝＝，22.5°CDCE∴∠DCH＝，45°且DH⊥BC，∴∠HDC＝∠DCH＝45°2∴DH＝，CHDH+CHDC2∵＝＝，222DHCH1∴＝＝，∵∠ABC＝∠DCH＝45°∴△ABC是等腰直角三角形，又∵點(diǎn)G是BC中點(diǎn)AGBCAGGCBG∴⊥，＝＝，BDDEDHBC∵＝，⊥BHHE2+1∴＝＝BHBG+GHCG+GHCH+GH+GH2+1∵＝＝＝＝1+2GH2+1∴＝2∴＝GH2（3）CE＝2GH理由如下：∵＝，點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，ABCABGGC∴＝，∵＝，BDDEDH⊥BC，BHHE∴＝，1121CE∵＝GHGC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝﹣BCBE+CE＝，22CE2GH∴＝【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運(yùn)用知識(shí)是解題的關(guān)鍵.DE=DA(7．在等邊△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，如圖1)．(1)求證：∠BAD=∠EDC；(2)若點(diǎn)E關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為M(如圖2)，連接DM，AM．求證：DA=AM．【答案】(1)見解析；(2)見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出∠BAC=∠ACB=60°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和和外角性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可.MDC=BAD（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得DM=DA，然后結(jié)合（1）可得∠∠，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和，求出∠ADM=60°即可.【詳解】解：(1)如圖1，∵△ABC是等邊三角形，∴∠∠，BAC=ACB=60°BAD=60°DAEEDC=60°E∴∠﹣∠，∠﹣∠，又∵DE=DA，E=DAE∴∠∠，∴∠∠BAD=EDC．(2)DM=DEEDC=MDC由軸對(duì)稱可得，，∠∠，∵DE=DA∴DM=DA由(1)可得，∠∠，MDC=BAD，，BAD=EDC∴∠∠，BAD+ADB=180°B=120°∵△ABD中，∠∠﹣∠，∴∠∠MDC+ADB=120°，ADM=60°∴∠，∴△ADM是等邊三角形，∴AD=AM【點(diǎn)睛】．.本題主要考察了軸對(duì)稱和等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些性質(zhì)8．如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的高，D是AM上的點(diǎn)，以CD為一邊，在CD的下方作等邊△CDE，連結(jié)BE．（1）填空：∠ACB=____；∠CAM=____；（2）求證：△AOC≌△BEC；（3）延長(zhǎng)BE交射線AM于點(diǎn)F，請(qǐng)把圖形補(bǔ)充完整，并求∠的度數(shù)；BFM（4）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在射線AM上，且在BC下方時(shí)，設(shè)直線BE與直線AM的交點(diǎn)為F．∠BFM的大小是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中面出圖形，井直接寫出∠的度數(shù)；若變BFM化，請(qǐng)寫出變化規(guī)律．【答案】（1）60°，30°；（2）答案見解析；（3）60°；（4）∠BFM＝60°．【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可進(jìn)行解答；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性BCE=ACD△ADCSASBEC；∠∠，根據(jù)就可以得出≌△質(zhì)就可以（3）補(bǔ)全圖形，由△ADC≌△BEC得∠CAM=∠CBE=30°,由三角形內(nèi)角和定理即可求得∠BFM的度數(shù)；（4）畫出相應(yīng)圖形，可知當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線上且在BC下方時(shí)，如圖，可以得出△ACD≌△BCE，進(jìn)而得到∠CBE=∠CAD=30°，據(jù)此得出結(jié)論．【詳解】(1)∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°；∴線段AM為BC邊上的高，1∴∠CAM=2∠BAC=30°，故答案為60，30°；（2）∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE.在△ADC和△BEC中，ACBCACDBCE，CDCE∴△ACD≌△BCE(SAS)；（3）補(bǔ)全圖形如下：由（1）（2）得∠CAM=30°，△ADC≌△BEC，∴∠CBE=∠CAM=30°，∵∠BMF=90°，∴∠BFM=60°；（4）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在射線AM上，且在BC下方時(shí)，畫出圖形如下：∵△與都是等邊三角形，ABC△DECAC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∴ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，∴∠在△ACD和△BCE中，ACBCACDBCE，CDCE∴△ACD≌△BCE(SAS)，CBE=∠CAD=30°，∴∠AMC=∠BMO，又∵∠AOB=∠ACB=60°.∴∠即動(dòng)點(diǎn)D在射線AM上時(shí),∠AOB為定值60°.【點(diǎn)睛】，的性質(zhì)的運(yùn)用，等式的性質(zhì)的運(yùn)用，全的判定及性質(zhì)的運(yùn)用解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵.解題時(shí)注意：全等三角形60°.相等，等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等，且都等于本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用直角三角形，等三角形的對(duì)應(yīng)角9．如圖，△ABC中，＝＝＝，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A．點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，ABBCAC12cm沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為2cm/s，點(diǎn)N的速度為3cm/s．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)AMN秒后，△是等邊三角形？（2）點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)秒后得到以MN△AMN？為底邊的等腰三角形（3）M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)幾秒后，AMN△是直角三角形？請(qǐng)說明理由．1248【答案】（）；（）；（）點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)秒或秒或秒或秒后，12123MN3109557AMN△為直角三角形．【解析】【分析】1AMANMNA（）當(dāng)＝時(shí)，△是等邊三角形．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，構(gòu)建方程即可解決問t題；2MNBCCMBN（）點(diǎn)、在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足＝時(shí)，可以得到以為底邊的等腰三角形MNAMN△．構(gòu)建方程即可解決問題；3MNt（）據(jù)題意設(shè)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)秒后，可得到直角三角形△，分四種情況討論即可．AMN【詳解】1AMANMNA（）當(dāng)＝時(shí)，△是等邊三角形，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒t2t123t則有：＝﹣12解得＝t512故點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)秒后，△是等邊三角形；MNAMN52MNBCCMBN（）點(diǎn)、在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足＝時(shí)，可以得到以為底邊的等腰三角形MNAMN△2t12363t則有：﹣＝﹣48解得＝t548故運(yùn)動(dòng)秒后得到以為底邊的等腰三角形△；MNAMN53MNt（）設(shè)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)秒后，可得到直角三角形△AMN①當(dāng)在上，在上，∠ANM＝時(shí)，90°如圖MACNAB∵∠A＝60°∴∠AMN＝30°∴AM＝2AN2t2123t則有＝（﹣）∴t＝；3當(dāng)在上，在上，∠AMN＝時(shí)，90°如圖②MACNAB∵∠A＝60°∴∠ANM＝30°∴2AM＝AN∴4t＝12﹣3t12∴t＝；7③當(dāng)M、N都在BC上，∠ANM＝90°時(shí)，如圖CN＝3t﹣24＝6解得t＝10；④當(dāng)M、N都在BC上，∠AMN＝90°時(shí)，則N與B重合，M正好處于BC的中點(diǎn)，如圖此時(shí)2t＝12+6解得t＝9；12綜上所述，點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)3秒或秒或10秒或9秒后，△AMN為直角三角形．7【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵.10．已知ABC為等邊三角形，E為射線AC上一點(diǎn)，D為射線CB上一點(diǎn)，ADDE.AC（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上且CDCE時(shí)，AD是ABC的中線嗎？請(qǐng)說明理由；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上時(shí)，寫出AB,BD,AE之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說明理AC由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在線段上時(shí)，請(qǐng)直接寫出CBACAB,BD,AE的數(shù)量關(guān)系.【答案】（1）AD是ABC的中線，理由詳見解析；（2）ABBDAE，理由詳見解析；（3）ABAEBD.【解析】【分析】（）利用△是等邊三角形及CD=CE可得∠CDE=∠E=30°，利用，證明1ABCAD=DE∠CAD=∠E=30°，即可解決問題．（）在AB上取BH=BD，連接DH，證明AHD≌△得出DH=CE2DCEAE=AB+BD，得出，（）在AB上取AF=AE，連接DF，利用△≌△得3AFDEFD出角的出△是等腰BDF關(guān)系，得三角形，根據(jù)邊的關(guān)系得出結(jié)論AB=BD+AE．【詳解】（）解：如圖1，結(jié)論：AD是△的中線1ABC．理由如下：ABC∵△是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°∵CD=CE，，∴∠CDE=∠E，∵∠ACD=∠CDE+∠E=60°，∴∠E=30°，∵DA=DE，∴∠DAC=∠E=30°，∵∠BAC=60°，∴∠DAB=∠CAD，∵AB=AC，∴BD=DC，ABC∴AD是△的中線．2（）結(jié)論：AB+BD=AE，理由如下：如圖2，在AB上取BH=BD，連接DH，BH=BDB=60°，∵，∠∴△BDH為等邊三角形，∴∠BHD=60°BD=DHAH=DCAB-BH=BC-BD，，，，AD=DE∵，∴∠E=∠CAD，∴∠BAC-∠CAD=∠ACB-∠E∴∠BAD=∠CDE，BHD=60°ACB=60°，∵∠，∠∴180°-∠BHD=180°-∠ACB,∴∠AHD=∠DCE，∴在△AHD和△DCE，BADCDEAHDDCEADDE∴△AHD≌△DCE（AAS），∴DH=CE，，∴BD=CE∴AE=AC+CE=AB+BD（3）結(jié)論：AB=BD+AE，理由如下：如圖3，在AB上取AF=AE，連接DF，．∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°∴△AFE是等邊三角形，∴∠FAE=∠FEA=∠AFE=60°，，∴EF∥BC，∴∠EDB=∠DEF，AD=DE∵，DEA=∠DAE，∴∠DEF=∠DAF，∴∠∵DF=DF，AF=EF，在△AFD和△EFD中，ADDEDFDF,AFEF∴△AFD≌△EFD（SSS）∴∠ADF=∠EDF，∠DAF=∠DEF，F(xiàn)DB=∠EDF+∠EDB，∠∴∠∠∠DFB=DAF+ADF，∵∠EDB=∠DEF，F(xiàn)DB=∠DFB，∴∠DB=BF∴，∵AB=AF+FB，∴AB=BD+AE．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，運(yùn)用三角形全等找出對(duì)應(yīng)的線段．三、八年級(jí)數(shù)學(xué)整式的乘法與因式分解解答題壓軸題（難）11．（閱讀材料）xy2xy1．因式分解：22112．解：將“xy”看成整體，令xyA，則原式A2AAxy1再將“A”還原，原式2．上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法.（問題解決）15xy4xy（1）因式分解：（2）因式分解：2；abab44；n1n2n3n1的值一定是某個(gè)整數(shù)的平n（3）證明：若為正整數(shù)，則代數(shù)式2方．a(chǎn)b22；（3）見解析.．（2）1xy14x4y【答案】（1）【解析】【分析】（1）把（x-y）看作一個(gè)整體，直接利用十字相乘法因式分解即可；（2）把a(bǔ)+b看作一個(gè)整體，去括號(hào)后利用完全平方公式即可將原式因式分解；n+3n+12，進(jìn)一步整理為（），根據(jù)為正n3n2n3n13（）將原式轉(zhuǎn)化為n222n+3n+1整數(shù)得到也為正整數(shù)，從而說明原式是整數(shù)的平方．2【詳解】15xy4xy1(xy)14(xy)(1xy)(14x4y)；1（）2abab44(ab)24(ab)4(ab2)2；2（）n3n2n3n13（）原式222n3n2n3n1222．n3n12n∵為正整數(shù)，∴n23n1為正整數(shù)．n1n2n3n1的值一定是某個(gè)整數(shù)的平方．∴代數(shù)2【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)讀題，理解題意，掌握整體思想解決問題的方法．2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．m12．閱讀材料：若﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0解：∵m2∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．探究下面的問題：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；根據(jù)你的觀察，（2）已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大邊c的值；（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．6、7、8、9、10；（3）8.【答案】(1)9；（2）△ABC的最大邊c的值可能是【解析】試題分析：（1）直接利用配方法得出關(guān)于x，y的值即可求出答案；（2）直接利用配方法得出關(guān)于a，b的值即可求出答案；（3）利用已知將原式變形，進(jìn)而配方得出答案．﹣2xy+2y試題解析：（1）x2+6y+9=0，∵2∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，∴x﹣y=0，y+3=0，∴x=﹣3，y=﹣3，∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，9．即xy的值是（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，∴a﹣5=0，b﹣6=0，∴a=5，b=6，∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，∴6≤c＜11，∴△ABC的最大邊c的值可能是6、7、8、9、10．（3）∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，∴a﹣4=0，c﹣8=0，∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，∴a+b+c=4﹣4+8=8，即a+b+c的值是8．13．先閱讀下列材料，然后解后面的問題．材料：一個(gè)三位自然數(shù)（百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個(gè)位數(shù)字為c），若滿足abc）=ac．如374，因?yàn)樗陌傥簧蠑?shù)字a+c=b，則稱這個(gè)三位數(shù)為“歡喜數(shù)”，并規(guī)定F（abc3與個(gè)位數(shù)字4之和等于十位上的數(shù)字7，所以374是“歡喜數(shù)”，∴F（374）=3×4=12．（1）對(duì)于“歡喜數(shù)”，若滿足b能被9整除，求證：“歡喜數(shù)”能被99整除；abcabc（2）已知有兩個(gè)十位數(shù)字相同的“歡喜數(shù)”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．【答案】（1）詳見解析；（2）99或297．【解析】【分析】（1）首先由題意可得a+c=b，將歡喜數(shù)展開，因?yàn)橐C明“歡喜數(shù)”能被99整除，所abc以將展開式中100a拆成99a+a，這樣展開式中出現(xiàn)了a+c，將a+c用b替代，整理出最終結(jié)果即可；（2）首先設(shè)出兩個(gè)歡喜數(shù)m、n，表示出F（m）、F（n）代入F（m）﹣F（n）=3中，將式子變形分析得出最終結(jié)果即可.【詳解】（1）證明：∵abc為歡喜數(shù)，∴a+c=b．∵abc=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b，b能被9整除，∴11b能被99整除，99a能被99整除，∴“歡喜數(shù)”能被99整除；abc（2）設(shè)m=abc，n=abc（且a＞a2），11122∵F（m）﹣F（n）=a1?c1﹣a2?c2=a1?（b﹣a1）﹣a2（b﹣a2）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=3，a1、a2、b均為整數(shù)，∴a1﹣a2=1或a1﹣a2=3．m﹣n=100（a1﹣a2）﹣（a1﹣a2）=99（a1﹣a2），∵∴m﹣n=99或m﹣n=297．∴若F（m）﹣F（n）=3，則m﹣n的值為99或297．【點(diǎn)睛】做此類閱讀理解類題目首先要充分理解題目，會(huì)運(yùn)用因式分解將式子變形.14．閱讀材料后解決問題：小明遇到下面一個(gè)問題：計(jì)算（2+1）（22+1）（）（）．2+12+148經(jīng)過觀察，小明發(fā)現(xiàn)如果將原式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏罂梢猿霈F(xiàn)特殊的結(jié)構(gòu)，進(jìn)而可以應(yīng)用平具體解法如下：（2+1）（）（）（）2+12+12+1方差公式解決問題，248=（2+1）（2﹣1）（）（2+12+12+1）（）824=（22﹣1）（22+1）（）（）2+12+148=21（﹣）（24+1）（）2+184=（28﹣1）（28+1）=216﹣1請(qǐng)你根據(jù)小明解決問題的方法，試著解決以下的問題：（1）（2+1）（22+1）（）（）（）2+12+1=_____．2+14816（2）（3+1）（32+1）（）（）（）3+13+1=_____．3+14816（3）化簡(jiǎn)：（m+n）（2）（4）（8）（m+nm+nm+nm+n16）．162483321【答案】232﹣1；2【解析】【分析】（1）原式變形后，利用題中的規(guī)律計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）原式變形后，利用題中的規(guī)律計(jì)算即可得到結(jié)果；（3）分m=n與m≠n兩種情況，化簡(jiǎn)得到結(jié)果即可．【詳解】（1）原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=232-1；13321；2（2）原式=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=2（3）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．1（m-當(dāng)m≠n時(shí)，原式=mn16+n16）=m32n32；n）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（mmnm=n=2m?2m…2m16=32m31．當(dāng)時(shí)，原式2【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．15．（觀察）1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621，…，47×3=141，48×2=96，49×1=49．（發(fā)現(xiàn)）根據(jù)你的閱讀回答問題：（1）上述內(nèi)容中，兩數(shù)相乘，積的最大值為；（2aba）設(shè)參與上述運(yùn)算的第一個(gè)因數(shù)為，第二個(gè)因數(shù)為，用等式表示與的數(shù)量關(guān)系b．是（類比）觀察下列兩數(shù)的積：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1．mn猜想的最大值為，并用你學(xué)過的知識(shí)加以證明．（1）625；（2）a+b=50900.；；證明見解析【答案】【解析】【分析】1625；發(fā)現(xiàn)：（）觀察題目給出的等式即可發(fā)現(xiàn)兩數(shù)相乘，積的最大值為（2ab）觀察題目給出的等式即可發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系是a＋b＝50；＋60m＝?（m?30）2＋900，利m＋n＝60mn＝?m類比：由于，將代入，得2n＝60?mmn用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出m＝30時(shí)，的最大值為【詳解】900．mn1625．解：發(fā)現(xiàn)：（）上述內(nèi)容中，兩數(shù)相乘，積的最大值為625；故答案為（2aba）設(shè)參與上述運(yùn)算的第一個(gè)因數(shù)為，第二個(gè)因數(shù)為，用等式表示與的數(shù)量關(guān)系b是a+b=50．故答案為a+b=50；n=60﹣mmn，類比：由題意，可得m+n=60，將代入得mn=﹣m2+60m=﹣（m﹣30）2+900，∴m=30時(shí)，的最大值為mn900．900．故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，配方法，二次函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)，需熟練掌握．四、八年級(jí)數(shù)學(xué)分式解答題壓軸題（難）16．如圖，小剛家、王老師家、學(xué)校在同一條路上，小剛家到王老師家的路程為3千米，王老師家到學(xué)校的路程為0.5千米.由于小剛的父母戰(zhàn)斗在抗震救災(zāi)第一線，為了使他能按時(shí)到校，王老師每天騎自行車送小剛上學(xué).已知王老師騎自行車的速度是步行的3倍，每天比平時(shí)步行上班多用了20分鐘，問王老師的步行速度及騎自行車的速度各是多少？【答案】王老師的步行速度是5km/h，則王老師騎自行車的速度是15km/h.【解析】【分析】20王老師接小剛上學(xué)走的路程÷騎車的速度-平時(shí)上班走的路程÷步行的速度=60小時(shí)．【詳解】設(shè)王老師的步行速度是xkm/h，則王老師騎自行車是3xkm/h，330.50.520，解得：x5，x60由題意可得：3x經(jīng)檢驗(yàn)，x5是原方程的根，∴3x15答：王老師的步行速度是5km/h，則王老師騎自行車的速度是15km/h.【點(diǎn)睛】本題考查列分式方程解應(yīng)用題.重點(diǎn)在于準(zhǔn)確地找出相等關(guān)系，需注意①王老師騎自行車接小剛所走路程是（3+3+0.5）千米；②注意單位要統(tǒng)一.17．某市為了做好“全國(guó)文明城市”驗(yàn)收工作，計(jì)劃對(duì)市區(qū)S米長(zhǎng)的道路進(jìn)行改造，現(xiàn)安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)進(jìn)行施工．（1）已知甲工程隊(duì)改造360米的道路與乙工程隊(duì)改造300米的道路所用時(shí)間相同．若甲工程隊(duì)每天比乙工程隊(duì)多改造30米，求甲、乙兩工程隊(duì)每天改造道路的長(zhǎng)度各是多少米．（2）若甲工程隊(duì)每天可以改造a米道路，乙工程隊(duì)每天可以改造b米道路，（其中種施工改造方案：ab）．現(xiàn)在有兩11方案一：前S米的道路由甲工程隊(duì)改造，后S米的道路由乙工程隊(duì)改造；22方案二：完成整個(gè)道路改造前一半時(shí)間由甲工程隊(duì)改造，后一半時(shí)間由乙工程隊(duì)改造．根據(jù)上述描述，請(qǐng)你判斷哪種改造方案所用時(shí)間少？并說明理由．【答案】（1）甲工程隊(duì)每天道路的長(zhǎng)度為180米，乙工程隊(duì)每天道路的長(zhǎng)度為150米；（2）方案二所用的時(shí)間少【解析】【分析】1x（）設(shè)乙工程隊(duì)每天道路的長(zhǎng)度為米，根據(jù)“甲工程隊(duì)改造360米的道路與乙工程隊(duì)改造300米的道路所用時(shí)間相同”，列出分式方程，即可求解；2（）根據(jù)題意，分別表示出兩種方案所用的時(shí)間，再作差比較大小，即可得到結(jié)論．【詳解】x30則甲工程隊(duì)每天道路的長(zhǎng)度為米，1（）設(shè)乙工程隊(duì)每天道路的長(zhǎng)度為米，x360300根據(jù)題意，得：x30x，解得：x150，檢驗(yàn)，當(dāng)x150時(shí)，xx300，x150，∴原分式方程的解為：x30180，180150答：甲工程隊(duì)每天道路的長(zhǎng)度為米，乙工程隊(duì)每天道路的長(zhǎng)度為米；11ss22t(ab)s，2（）設(shè)方案一所用時(shí)間為：ab2ab2s11t方案二所用時(shí)間為，則ta1tbst，，22ab2222ab2(ab)2∴2abSabS2ab(ab)S，∵ab，a0，b0，∴ab20，abS2S0，即：tt，∴2abab12∴方案二所用的時(shí)間少．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用以及分式的減法法則，找出等量關(guān)系，列分式方程，掌握分式的通分，是解題的關(guān)鍵．18．閱讀下面內(nèi)容：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a0，b0時(shí)，∵(ab)2a2abb0，∴ab2ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等．號(hào)請(qǐng)利用上述結(jié)論解決以下問題：11最大值為__________．(1)當(dāng)x0時(shí)，x的最小值為_______；當(dāng)x0時(shí)，的xxxx23x16(2)當(dāng)x0時(shí)，求y的最小值．x(3)ABCDACBDOAOB如圖，四邊形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，△、△的面積分別為和COD49ABCD，求四邊形面積的最小值．【答案】（1）2，-2；（2）11；（3）25【解析】【分析】1x0a+b≥2ab（）當(dāng)＞時(shí)，按照公式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）來計(jì)算即可；＜時(shí)，a=bx01由于＞，＞，則也可以按照公式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）來計(jì)算；-x0-0a+b≥2aba=bxx23x16x的分子分別除以分母，展開，將含的項(xiàng)用題中所給公式求得最2（）將yx小值，再加上常數(shù)即可；3（）設(shè)，已知，，則由等高三角形可知：：：S=xS=4S=9SS=SCODAOBBOCAOB△COD△BOC△△△△SxSABCD，用含的式子表示出，四邊形的面積用含的代數(shù)式表示出來，再按照xAOD△AOD△題中所給公式求得最小值，加上常數(shù)即可．【詳解】1解：（）當(dāng)＞時(shí)，1x2x21x0xx1當(dāng)＜時(shí)，1xx0xxx11x2x2∵xx1x2∴x1x的最小值為1x0時(shí)，xx0時(shí)，的最-2；大值為2；當(dāng)∴當(dāng)xxx23x1616x3x（）由y2xx0∵＞，1616∴yx32x311xx16當(dāng)x時(shí)，最小值為；11x3S=xS=4S=9（）設(shè)，已知，COD△BOCAOB△△SS=SSAOD△△△則由等高三角形可知：：：BOC△CODAOBx9=4S∴：：△AOD36=xS∴：AOD△36132x3625=4+9+x+ABCD∴四邊形面積xxx=6ABCD25當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即四邊形面積的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法在最值問題中的應(yīng)用，同時(shí)本題還考查了分式化簡(jiǎn)和等高三角形的性質(zhì)，本題難度中等略大．?“？”看不清楚：132x.19．小華想復(fù)習(xí)分式方程，由于印刷問題，有一個(gè)數(shù)x2（1）她把這個(gè)數(shù)“？”猜成5，請(qǐng)你幫小華解這個(gè)分式方程；“我看到標(biāo)準(zhǔn)答案是：方程的增根是x2，原分式方程媽媽說：（2）小華的無解”，請(qǐng)你求出原分式方程中“？”代表的數(shù)是多少？【答案】（1）x0;（2）原分式方程中“？”代表的數(shù)是-1.【解析】【分析】（1）“？”當(dāng)成5，解分式方程即可，（2）方程有故先去分母，再將x=2代入即可解答.增根是去分母時(shí)產(chǎn)生的，【詳解】x2（1）方程兩邊同時(shí)乘以得53x21解得x0x0是原分式方程的解.經(jīng)檢驗(yàn)，（2）？設(shè)為，mx2方程兩邊同時(shí)乘以得m3x21x2是原分式方程的由于增根，所以把x2代入上面的等式得m3221m1所以，原分式方程中“？”代表的數(shù)是-1.【點(diǎn)睛】.本題考查了分式方程解法和增根的定義及應(yīng)用增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分0①②式方程的分整式方程；母為的根.增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：化分式方程為把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．20．京廣高速鐵路工程指揮部，要對(duì)某路段工程進(jìn)行招標(biāo)，接到了甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書．從投標(biāo)書中得知：甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)是乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天2數(shù)的；若由甲隊(duì)先做10天，剩下的工程再由甲、乙兩隊(duì)合作30天完成．3（1）求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需多少天？（2）已知甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為8.4萬元，乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為5.6萬元．工程預(yù)算的施工費(fèi)用為500萬元．為縮短工期并高效完成工程，擬安排預(yù)算的施工費(fèi)用是否夠用？若不夠用，需追加預(yù)算多少萬元？請(qǐng)給出你的判斷并說明理由．【答案】（1）甲隊(duì)單獨(dú)完成需60天，乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要90天；（2）工程預(yù)算的施工費(fèi)用不夠，需追加預(yù)算4萬元.【解析】【分析】（1）設(shè)甲單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)，表示出乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)及各自的工作效率．根據(jù)工作量=工作效率×工作時(shí)間列（2）根據(jù)題意，甲乙合作工期最短，所以須求合作的時(shí)間，然后計(jì)【詳解】方程求解；算費(fèi)用，作出判斷．（1）解:設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，則甲隊(duì)單獨(dú)完成需要23x填；403012xx3解得：x90經(jīng)檢驗(yàn)，x=90是原方程的根．22則x9060（天）33答：甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程分別需60天和90天．（2）設(shè)甲、乙兩隊(duì)合作完成這項(xiàng)工程需要y天，11+y(6090)=1.則有解得y=36.需要施工費(fèi)用：36×(8.4+5.6)=504(萬元).504>500.∵∴工程預(yù)算的施工費(fèi)用不夠用，需追加預(yù)算4萬元．五、八年級(jí)數(shù)學(xué)三角形解答題壓軸題（難）21．探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品--圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（）觀察規(guī)形圖，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，1“”并說明理由；2（）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題：2把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)①如圖，B、C，∠A=40°，則∠ABX+∠ACX等于多少度；②如圖，3DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)；③如圖，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、、9，若∠BDC=133°，4G…G2∠BG1C=70°，求∠A的度數(shù)．【答案】（1）詳見解析；（2）；①50°②85°；③63°．【解析】【分析】（1）連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，根據(jù)外角的性質(zhì)即可得到∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，即可得出∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①根據(jù)（1）得出∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，再根據(jù)∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的度數(shù)；②先根據(jù)（）得出∠ADB+∠AEB=90°，再利用DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，即可求出1∠DCE的度數(shù)；11③由②得∠BG1C=（∠ABD+∠ACD+∠A133-x+x=70），設(shè)∠A為x°，即可列得（），1010求出x的值即可.【詳解】1（）如圖（），1連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；2（）①由（），1可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，∵∠A=40°，∠BXC=90°，ABX+∠ACX=90°-40°=50°；∴∠②由（1），可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，1∴（∠∠ADB+AEB）=90°÷2=45°，2∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴ADC1ADB，AEC1AEB，22DCE=∠ADC+∠AEC+∠DAE,∴∠1=2（∠ADB+∠AEB）+∠DAE,=45°+40°,=85°；1③由②得∠BG1C=（∠ABD+∠ACD）+∠A，10∵∠BG1C=70°，∴設(shè)∠A為x°，∵∠ABD+∠ACD=133°-x°1∴（133-x）+x=70，10113.3-∴x+x=70，10解得x=63，即∠A的度數(shù)為63°.【點(diǎn)睛】此題考查三角形外角的性質(zhì)定理，三角形的外角等于與它不相鄰的內(nèi)角的和，，根據(jù)此定理得到角度的規(guī)律，由此解決問題，此題中得到平分角的變化規(guī)律是解題的難點(diǎn).22．如圖①所示，在三角形紙片ABC中，C70，B65，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)A落在ABC內(nèi)的點(diǎn)處A.（1）若140，2________.1（2）如圖①，若各個(gè)角度不確定，試猜想，2，A之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論.②當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE外部時(shí)（如圖②），（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說明理由，若不成立，A，1，2之間又存在什么關(guān)系？請(qǐng)說明．3（）應(yīng)用：如圖③：把一個(gè)三角形的三個(gè)角向內(nèi)折疊之后，且三個(gè)頂點(diǎn)不重合，那么圖中的123456________.和是【答案】(1)50°；(2)①見解析;②見解析;(3)360°.【解析】【分析】C70，B65，可結(jié)合三角形內(nèi)角和定理和折疊變換的性1（）根據(jù)題意，已知質(zhì)求解；2（）①先根據(jù)折疊得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，由兩個(gè)平角∠AEB和∠ADC得：∠1+∠2等于360°與四個(gè)折疊角的差，化簡(jiǎn)得結(jié)果；②利用兩次外角定理得出結(jié)論；3（）由折疊可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六邊形的內(nèi)角和減去（∠B'GF+∠B'FG）以及（∠C'DE+∠C'ED）和（∠A'HL+∠A'LH），再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：（1）∵C70，B65，∴∠A′=∠A=180°-（65°+70°）=45°，∴∠A′ED+∠A′DE=180°-∠A′=135°，∴∠2=360°-（∠C+∠B+∠1+∠A′ED+∠A′DE）°=360-310°=50°；（2）①122A,理由如下由折疊得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，∵∠AEB+∠ADC=360°，∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A′DE-∠AED-∠A′ED=360°-2∠ADE-2∠AED，∴∠1+∠2=2（180°-∠ADE-∠AED）=2∠A；②22A1，理由如下：∵2是ADF的一個(gè)外角∴2AAFD.△AEF∵是的一個(gè)外角AFD∴AFDA1又∵AA∴22A1（3）如圖由題意知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=720°-（∠B'GF+∠B'FG）-（∠C'DE+∠C'ED）-（∠A'HL+∠A'LH）（∠B'+∠C'+∠A'）=720°-（180°-∠B'）-（180°-C'）-（180°-A'）=180°+又∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．【點(diǎn)睛】題主要考查了折疊變換、三角形、四邊形內(nèi)角和定理．注意折疊前后圖形全等；三角形內(nèi)180360角和為°；四邊形內(nèi)角和等于度．ABCA=x23．如圖，在中，記∠度，回答下列問題：