某某省“五個一聯盟”2021屆高三數學下學期第二次診斷考試試題試卷滿分：150分考試時長：120分鐘注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的某某、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將答題卡交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知全集，集合，則如圖所示陰影區(qū)域表示的集合為（）A．B．C．D．2．已知正實數a，b滿足，則復數為（）A．B．C．D．3．在三棱錐中，M，N分別是的中點，若，則與所成的角為（）A．B．C．D．4．若，則的值為（）A．B．C．D．5．直線與圓交于M、N兩點，O為坐標原點，則（）A．B．C．1D．26．甲、乙、丙、丁四人過橋，一次最多能過兩個人，四人只有一把手電（在橋上行走時需攜帶且打亮），手電照明時間僅能維持二十分鐘，每個人單獨過橋所需的時間分別為1分鐘、2分鐘、5分鐘、10分鐘，則四人全部過橋的最短時間為（若兩人同時過橋，必須相伴同行）（）A．16分鐘B．17分鐘C．18分鐘D．19分鐘7．過拋物線的焦點F作傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點，點A在第一象限，則（）A．2B．3C．4D．8．已知恰有三個不同零點，則實數a的取值X圍為（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。9．已知函數，則下列說法正確的是（）A．在區(qū)間上有2個零點B．為的一個對稱中心C．D．要得到的圖像，可以將圖像上所有的點向左平移個單位長度，再將橫坐標縮短到原來的10．已知數列滿足，且，則下列結論正確的是（）A．B．C．的最小值為0D．當且僅當時，取最大值3011．已知函數的定義域為R，滿足，當時，，則下列說法正確的是（）A．B．函數是偶函數C．當時，的最大值為6D．當時，的最小值為12．已知橢圓上有一點P，分別為左、右焦點，的面積為S，則下列選項正確的是（）A．若，則B．若，則C．若為鈍角三角形，則D．橢圓C內接矩形的周長X圍是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．五位同學站成一排，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能相鄰，且女生甲不能排第一個，那么所有的排列總數為____________．（用數字作答）14．某大學2013年在校本科生4500人，研究生500人，預計在今后若干年內，該學校本科生每年比上一年增長，研究生每年比上一年增長，則從_______年開始該校研究生的人數占該校本科生和研究生總人數比例首次達到以上．（參考數據：）15．點M在內部，滿足，則________．16．設雙曲線的左右頂點分別為，與不重合的點P在其右支上，則直線與直線的斜率之積為__________．若，則的大小為___________．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）在①；②；③的面積三個條件中任選一個（填序號），補充在下面的問題中，并解答該問題。已知的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，_________，D是邊上的一點，且，求線段的長．18．（12分）數列的前n項和為，且，等比數列滿足．（1）求數列與的通項公式；（2）若，求數列的前n項和。19．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形是等腰梯形，，，M，N分別是的中點．且，平面平面．（1）證明：平面；（2）已知三棱錐的體積為，求二面角的余弦值．20．（12分）已知橢圓的離心率為，一頂點坐標為．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知M、N為橢圓上異于A的兩點，且，判斷直線是否過定點？若過定點，求出此點坐標．21．（12分）某中學有高一和高二兩個乒乓球隊，每隊各9人．兩隊在過去的九場單打對抗賽中，比賽結果統(tǒng)計數據如下：場次123456789比賽結果高二勝高二勝高一勝高二勝高一勝高二勝高二勝高一勝高二勝兩隊隊員商量下一次單打對抗賽的比賽形式，提供了三種方案：（1）雙方各出3人，比三局；（2）雙方各出5人，比五局；（3）雙方各出7人，比七局．（以上表中的高二隊戰(zhàn)勝高一隊的頻率作為高二隊戰(zhàn)勝高一隊的概率）三種方案均以比賽中獲勝局數多的一方獲勝．問：對高一年級來說，哪種方案獲勝率更高？你能得出什么結論？22．（12分）已知函數．（1）若函數在區(qū)間上單調遞增，某某數a的取值X圍．（2）當時，求證：．某某省“五個一名校聯盟”2021屆高三第二次診斷考試數學參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D2．C3．A4．D5．C6．B7．B8．D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。9．AB10．AC11．ABC12．ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．6014．202115．3：416．1，（或）四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．解：若選①，，∴，2分∴，∴4分若選②，，又，∴2分因為，所以4分若選③，的面積，結合余弦定理可得號，可得，可得2分因為，所以4分因為，所以，在中，，5分在中，由正弦定理的，∴，∴,7分∵，∴，8分在中，，∴,．10分18．解：（1）時，，時，，又適合上式，∴，3分∵，設的公比為q，，∴．6分（2）；8分設數列的前n項和為；9分.12分19．解：（1）連接，顯然且，∴四邊形為平行四邊形，∴且，∴是正三角形，∴，2分∵平面平面，且平面平面，∴平面，∴平面，∴，又∵，且，∴平面．4分（2）連接，易知，∴．在中，，∵，∴，∴6分故建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設平面的一個法向量，,∴,∴,∴;8分設平面的一個法向量，,∴,∴,∴;10分∴，設二面角所成的角為，．12分20．解：（1）橢圓離心率為，∴，1分∵，∴3分橢圓方程為．4分（2）直線斜率不存在時，不合題意，設直線方程為．聯立得，，6分，9分解得或,10分若直線方程為，則直線過定點，與A重合，不合題意；若直線方程為，則直線過定點．綜上，直線過定點．12分21．解：由題意知，高二每位隊員戰(zhàn)勝高一每位隊員的概率為，即每場比賽高一隊獲勝的概率為分方案一高一年級獲勝的概率：；4分方案二高一年級獲勝的概率：；7分方案三高一年級獲勝的概率：．10分∵所以對高一年級來說，方案一更有利．結論：因為高一年級每位隊員獲勝的概率為，概率低于高二年級，所以比賽次數越少，高一年級僥幸獲勝的概率越大。當雙方實力有差距時，所比局數越少，對實力弱的一方越有利．12分22．解：（1），因為在單調遞增，在上恒成立，即，2分令，，所以在單調遞增，所以，即．