補(bǔ)充二次曲面的一般理論

空間直角坐標(biāo)變換

二次曲面方程的化簡

應(yīng)用不變量判斷二次曲面的類型

二次曲面的仿射特征和度量特征2二次曲面分類簡介空間直角坐標(biāo)變換

空間仿射坐標(biāo)變換公式向量的坐標(biāo)變換公式:其中

(c11,c21,c31),(c12,c22,c32),(c13,c23,c33)分別為新坐標(biāo)向量e1,e2,e3

在原坐標(biāo)系I

中的坐標(biāo).I到I

的過渡矩陣2二次曲面分類簡介點的坐標(biāo)變換公式:其中

(c11,c21,c31),(c12,c22,c32),(c13,c23,c33)分別為新坐標(biāo)向量e1,e2,e3

在原坐標(biāo)系I

中的坐標(biāo),(d1,d2,d3)為新原點O

在原坐標(biāo)系I

中的坐標(biāo).空間直角坐標(biāo)變換

2二次曲面分類簡介過渡矩陣的性質(zhì)1.過渡矩陣是可逆矩陣.

2.

設(shè)有三個仿射坐標(biāo)系I,I

,I,I

到I

的過渡矩陣為C,I

到I

的過渡矩陣為D,則I

到I

的過渡矩陣為CD.3.

若I

到I

的過渡矩陣為C,則

I

到I

的過渡矩陣為C1.4.

兩個直角坐標(biāo)系之間的過渡矩陣是正交矩陣.空間直角坐標(biāo)變換

2二次曲面分類簡介空間直角坐標(biāo)(點)變換移軸:或其中(d1,d2,d3)為新原點O

在原坐標(biāo)系I

中的坐標(biāo).空間直角坐標(biāo)變換

2二次曲面分類簡介轉(zhuǎn)軸:

設(shè)新坐標(biāo)向量e1,e2,e3

與原坐標(biāo)向量e1,e2,e3

的交角如下表所示:原系x軸(e1)z軸(e3)y軸(e2)新系交角x

軸(e1

)y

軸(e2

)z

軸(e3

)

1

1

1

2

2

2

3

3

3空間直角坐標(biāo)變換

2二次曲面分類簡介則轉(zhuǎn)軸公式為:或空間直角坐標(biāo)變換

2二次曲面分類簡介或一般的空間直角坐標(biāo)(點)變換公式:空間直角坐標(biāo)變換

2二次曲面分類簡介空間一般坐標(biāo)變換公式,還可以由新坐標(biāo)系的三個坐標(biāo)面來確定.設(shè)有兩兩互相垂直的三個平面:

1:A1x+

B1y

+C1z

+D1=0,

2:A2x+

B2y

+C2z

+D2=0,

3:A3x+

B3y

+C3z

+D3=0,其中AiAj+

BiBj

+CiCj

=0,(i,j=1,2,3,i

j).空間直角坐標(biāo)變換

2二次曲面分類簡介若取

1

為y

O

z

面,

2

為x

O

z

面,

3

為x

O

y

面,則原系到新系的坐標(biāo)變換公式為:

其中正負(fù)號的選取要使得坐標(biāo)變換為右手直角坐標(biāo)變換.空間直角坐標(biāo)變換

2二次曲面分類簡介二次曲面的類型

二次曲面的一般方程空間中二次曲面的一般方程為a11x2+a22y2

+a33z2

+2a12xy+2a13xz

+2a23yz

其中a11,a22,a33,

a12,a13,

a23不全為零.+2b1x

+2b2y

+2b3z

+

c

=0(

)2二次曲面分類簡介呂林根《解析幾何》P275.

定理6.6.1適當(dāng)選取坐標(biāo)系,二次曲面的方程總可化為下列五個簡化方程之一:(I)

a11x2+a22y2

+a33z2

+c=0,

a11a22a33

0;

(II)

a11x2+a22y2

+2b3z

=0,

a11a22b3

0;

(III)

a11x2+a22y2

+c

=0,

a11a22

0;

(IV)

a11x2+2b2y

=0,

a11b2

0;

(V)

a11x2+c

=0,

a11

0.

二次曲面的類型二次曲面的類型

2二次曲面分類簡介(一)橢球面[1]橢球面:[2]點:呂林根《解析幾何》P278.

定理6.6.2適當(dāng)選取坐標(biāo)系,二次曲面的方程總可化為下列十七個標(biāo)準(zhǔn)方程之一:[3]虛橢球面:二次曲面的類型

2二次曲面分類簡介(二)雙曲面[4]單葉雙曲面:[5]雙葉雙曲面:(四)拋物面[7]橢圓拋物面:(三)二次錐面[6]二次錐面:二次曲面的類型

2二次曲面分類簡介(五)二次柱面[9]橢圓柱面:[10]虛橢圓柱面:[11]一條直線:[8]雙曲拋物面:二次曲面的類型

2二次曲面分類簡介[12]雙曲柱面:[13]一對相交平面:[14]拋物柱面:[17]一張平面:[15]一對平行平面:[16]一對平行平面:二次曲面的類型

2二次曲面分類簡介用不變量判斷二次曲面類型二次曲面的表示空間中二次曲面的一般方程為a11x2+a22y2

+a33z2

+2a12xy+2a13xz

+2a23yz

其中a11,a22,a33,

a12,a13,

a23不全為零.+2b1x

+2b2y

+2b3z

+

c

=0記

F(x,y,z)=

a11x2+a22y2

+a33z2

+2a12xy+2a13xz

+2a23yz

+2b1x

+2b2y

+2b3z

+

c(

)2二次曲面分類簡介則用不變量判斷二次曲面類型2二次曲面分類簡介

(x,y,z)=

a11x2+a22y2

+a33z2

+2a12xy+2a13xz

+2a23yz

則用不變量判斷二次曲面類型2二次曲面分類簡介記

F1(x,y,z)=

a11x+a12y

+a13z

+b1F2(x,y,z)=

a12x+a22y

+a23z

+b2F3(x,y,z)=

a13x+a23y

+a33z

+b3F4(x,y,z)=

b1x+b2y

+b3z

+c

則

F(x,y,z)=

xF1(x,y,z)+yF2(x,y,z)+

zF3(x,y,z)+F4(x,y,z)用不變量判斷二次曲面類型2二次曲面分類簡介記

1(x,y,z)=

a11x+a12y

+a13z

2(x,y,z)=

a12x+a22y

+a23z

3(x,y,z)=

a13x+a23y

+a33z

4(x,y,z)=

b1x+b2y

+b3z

則

(x,y,z)=

x

1(x,y,z)+y

2(x,y,z)+z

3(x,y,z)

用不變量判斷二次曲面類型2二次曲面分類簡介I1=a11

+a22+a33,

二次曲面的不變量用不變量判斷二次曲面類型2二次曲面分類簡介二次曲面的半不變量用不變量判斷二次曲面類型2二次曲面分類簡介P287.定理6.7.3給出二次曲面方程(

)

,則用不變量和半不變量判別(

)為何種類型的充要條件是:第(I)類曲面:

I3

0;

第(II)類曲面:I3

=

0,I4

0;

第(III)類曲面:I3

=

0,I4

=

0,I2

0;

第(IV)類曲面:I3

=

0,I4

=

0,I2

=

0,K2

0;

第(V)類曲面:I3

=

0,I4

=

0,I2

=

0,K2

=

0.

用不變量和半不變量判斷二次曲面的類型用不變量判斷二次曲面類型2二次曲面分類簡介型別識別標(biāo)志類別橢球面

一點

虛橢球面I4

<0I4

=0I4

>0橢球面

(I3

0

I2

>

0或

I1I3>0)P291.定理6.7.5用不變量判斷二次曲面類型2二次曲面分類簡介型別識別標(biāo)志類別單葉雙曲面雙葉雙曲面

I4

>

0

I4

<

0

二次錐面

I4

=

0

雙曲面

(I3

0

I2

0或

I1I3

0)二次錐面

(I3

0

I2

0或

I1I3

0)用不變量判斷二次曲面類型2二次曲面分類簡介型別識別標(biāo)志類別橢圓拋物面雙曲拋物面

I4

<

0I4

>0拋物面

(I3=

0

I4

0)用不變量判斷二次曲面類型2二次曲面分類簡介型別二次柱面

(I3=0

I4=0I2

0)識別標(biāo)志類別雙曲柱面

一條直線

K2

0橢圓柱面

K2=0I1K2>0I2

>

0,

虛橢圓柱面

I1K2<0I2

>

0,

I2

>

0,

I2

<

0,

一對相交平面

K2=

0I2

<

0,

用不變量判斷二次曲面類型2二次曲面分類簡介型別識別標(biāo)志類別一對平行平面

K2

=0,

K1=0拋物柱面

K2

=0,

K1>0K2

=0,

K1<0K2

0二次柱面

(I3=0

I4=0I2

=

0)一對虛平行平面

一對重合平面

用不變量判斷二次曲面類型2二次曲面分類簡介P291.定理6.7.4設(shè)

1,

2,

3是二次曲面(

)

的特征方程|

I

A0|=

3

I1

2

+

I2

I3=0

的非零特征根,則二次曲面(

)

的簡化方程如下:第(I)類曲面:

I3

0;

第(II)類曲面:I3

=

0,I4

0;

用不變量和半不變量化簡二次曲面的方程用不變量判斷二次曲面類型2二次曲面分類簡介第(III)類曲面:I3

=

0,I4

=

0,I2

0;

第(IV)類曲面:I3

=

0,I4

=

0,I2

=

0,K2

0;

第(V)類曲面:I3

=

0,I4

=

0,I2

=

0,K2

=

0.

用不變量判斷二次曲面類型2二次曲面分類簡介例1設(shè)在空間直角坐標(biāo)系下二次曲面有下列方程,判斷其類型,并求其標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)

x2+y2+5z2

6xy

2xz+2yz

6x+6y

6z+10=0;

(2)

2x2+2y2+3z2+4xy+2xz+2yz

4x+6y

2z+3=0.

解:(1)二次曲面的矩陣為

(3)

4x2+y2+z2+4xy+4xz+2yz

24x+32=0.

用不變量判斷二次曲面類型2二次曲面分類簡介I1

=1+1+5=

7,

用不變量判斷二次曲面類型2二次曲面分類簡介因為I3

0,I2

=

0,I4

<

0,

所以這是雙葉雙曲面.

解特征方程

3

I1

2+I2

I3=

3

7

2+36=0

得三個非零特征值

1=6,

2=3,

3=2,

用不變量判斷二次曲面類型2二次曲面分類簡介因此二次曲面(1)

的簡化方程為:即故它的標(biāo)準(zhǔn)方程為用不變量判斷二次曲面類型2二次曲面分類簡介(2)二次曲面的矩陣為

I1

=2+2+3=

7,

用不變量判斷二次曲面類型2二次曲面分類簡介因為I3

=

0,I4

<

0,

所以這是橢圓拋物面.

用不變量判斷二次曲面類型2二次曲面分類簡介解特征方程

3

I1

2+I2

I3=

3

7

2+10

=0

得兩個非零特征值

1=5,

2=2,

因此二次曲面(2)

的簡化方程為:即故它的標(biāo)準(zhǔn)方程為用不變量判斷二次曲面類型2二次曲面分類簡介(3)二次曲面的矩陣為

I1

=4+1+1=

6,

用不變量判斷二次曲面類型2二次曲面分類簡介因為I3

=

I4

=

I2

=0,K2

0,

所以這是拋物柱面.

=

144

144+0=

288,

用不變量判斷二次曲面類型2二次曲面分類簡介因此二次曲面(3)

的簡化方程為:即故它的標(biāo)準(zhǔn)方程為用不變量判斷二次曲面類型2二次曲面分類簡介二次曲面仿射特征度量特征直線與二次曲面的相交情況設(shè)空間二次曲面

的一般方程為a11x2+a22y2

+a33z2

+2a12xy+2a13xz

+2a23yz

+2b1x

+2b2y

+2b3z

+

c

=0(

)直線l的參數(shù)方程為2二次曲面分類簡介則直線l

與二次曲面

的相交方程為

(X,Y,Z)t2

+2[XF1(x0,y0,z0)+YF2(x0,y0,z0)+ZF3(x0,y0,z0)]t

+F(x0,y0,z0)=0.情形1

當(dāng)

(X,Y,Z)

0

時,()是t

的二次方程,其判別式

4

(X,Y,Z)

F(x0,y0,z0),(

)=4[XF1(x0,y0,z0)+YF2(x0,y0,z0)+ZF3(x0,y0,z0)]2二次曲面仿射特征度量特征2二次曲面分類簡介①

若

>0,則l

和

有兩個不同交點;②

若

=0,則l

和

有兩個重合交點;③若

<0,則l

和

無交點,但方程()

有兩個共軛復(fù)根,也稱l

和

有兩個虛交點.情形2

當(dāng)

(X,Y,Z)

=0

時,

④

XF1(x0,y0,z0)+YF2(x0,y0,z0)+ZF3(x0,y0,z0)0,則()為t

的一次方程,l

和

只有一個交點.二次曲面仿射特征度量特征2二次曲面分類簡介而F(x0,y0,z0)0,則()無解,l

和

不相交.⑤

XF1(x0,y0,z0)+YF2(x0,y0,z0)+ZF3(x0,y0,z0)＝0,⑥

XF1(x0,y0,z0)+YF2(x0,y0,z0)+ZF3(x0,y0,z0)＝0,且F(x0,y0,z0)＝0,則()為恒等式,于是任何實數(shù)t

都是()的解,從而整條直線

l在二次曲面

上.二次曲面仿射特征度量特征2二次曲面分類簡介二次曲面的漸近方向定義6.2.1

一個非零向量u(X,Y,Z)

如果使得

(X,Y,Z)

=0,則稱u

所代表的直線方向為

的漸近方向.否則,稱為非漸近方向.通過任意給定的點(x0,y0,z0),且以二次曲面()的任意漸近方向u(X,Y,Z)為方向的所有直線的軌跡是一個以(x0,y0,z0)為錐頂?shù)腻F面:

(x

x0,y

y0,z

z0)＝0.二次曲面仿射特征度量特征2二次曲面分類簡介二次曲面的中心定理6.2.1點M0(x0,y0,z0)是二次曲面()的中心的充要條件是M0的坐標(biāo)(x0,y0

,z0)是下面方程組的解:稱上述方程組為二次曲面()的中心方程組.二次曲面仿射特征度量特征2二次曲面分類簡介中心方程組的系數(shù)矩陣A和增廣矩陣B分別為二次曲面仿射特征度量特征2二次曲面分類簡介

R(A)=R(B)=3,中心方程組的系數(shù)行列式方程組有唯一解,二次曲面()有唯一中心;

R(A)=R(B)=2,中心方程組有無窮多解,這些解可用一個參數(shù)線性表示,因此二次曲面()有無窮多中心,它們構(gòu)成一條直線;

R(A)=R(B)=1,中心方程組有無窮多解,這些解可用兩個參數(shù)線性表示,因此二次曲面()有無窮多中心,它們構(gòu)成一個平面;二次曲面仿射特征度量特征2二次曲面分類簡介

R(A)R(B),中心方程組無解,因此二次曲面()沒有中心.定義6.2.3

有唯一中心的二次曲面叫中心二次曲面;否則稱為非中心二次曲面,其中沒有中心的二次曲面叫無心二次曲面;有無數(shù)中心且構(gòu)成一條直線的二次曲面叫線心二次曲面;而有無數(shù)中心且構(gòu)成一個平面的二次曲面叫面心二次曲面.推論二次曲面()成為中心二次曲面的充要條件是I3

0,為非中心二次曲面的充要條件是I3

=0.二次曲面仿射特征度量特征2二次曲面分類簡介二次曲面的徑面和奇向定理6.4.1

二次曲面()的一族平行于一個非漸近方向

u(X,Y,Z)的弦的中點的軌跡是一個平面,稱為共軛于方向u的徑面,其方程為XF1(x,y,z)+YF2(x,y,z)+ZF3(x,y,z)＝0或定理6.4.2

二次曲面的任何徑面一定通過它的中心(假若中心存在的話).推論1線心二次曲面的任何徑面通過它的中心線.推論2面心二次曲面的徑面與它的中心平面重合.

1(X,Y,Z)x+

2(X,Y,Z)y+

3(X,Y,Z)z+

4(X,Y,Z)=0.二次曲面仿射特征度量特征2二次曲面分類簡介仍表示一個平面,也稱為共軛于方向u的徑面.注:如果u(X,Y,Z)是二次曲面的漸近方向,那么平行于u的弦不存在,但如果

1(X,Y,Z),

2(X,Y,Z),

3(X,Y,Z)

不全為零,那么定義6.4.2

滿足

i(X,Y,Z)=0,i=1,2,3

的漸近方向u(X,Y,Z)稱為二次曲面的奇異方向,簡稱奇向.定理6.4.3二次曲面有奇向

I3

=0.推論有且只有中心曲面沒有奇向.定理6.4.4二次曲面的奇向平行于其任意徑面.

1(X,Y,Z)x+

2(X,Y,Z)y+

3(X,Y,Z)z+

4(X,Y,Z)=0.二次曲面仿射特征度量特征2二次曲面分類簡介二次曲面的主徑面和主方向定義6.5.1

如果二次曲面的徑面垂直于它所共軛的方向,則稱這個徑面為二次曲面的主徑面.顯然主徑面就是二次曲面的對稱面.定義6.5.2

二次曲面的主徑面的共軛方向,或二次曲面的奇向,稱為二次曲面的主方向.注:u(X,Y,Z)成為二次曲面()的主方向存在

,使得二次曲面仿射特征度量特征2二次曲面分類簡介二次曲面的切線和切平面定義6.3.1

如果直線與二次曲面相交于兩個互