第二章：解析函數§1解析函數的概念1.

復變函數的導數與微分(1)導數的定義定義設是定義在區(qū)域D上的復變函數,存在，則稱在點可導,并把這個極限值稱為

z0是區(qū)域D內的一點.若極限

在點的導數，記做或

定義中的極限式可以寫為注意的方式是任意的.若在區(qū)域D內每一點都可導,則稱在區(qū)域D內可導.的導數。例1求例2問是否可導。z(2)可導與連續(xù)的關系

函數f(z)在z0處可導，則在z0處一定連續(xù),但函數f(z)在z0處連續(xù)不一定在z0處可導.

由知,在復平面上處處不可導.但是二元實函數連續(xù),于是根據知,函數連續(xù).(3)求導法則(1)其中c為復常數.(2)其中n為正整數.其中其中與是兩個互為反函數的單值函數,且

復變函數可微的概念在形式上與一元實變函數的微分概念完全一致.

微分定義設函數在的某鄰域內有定義,若存在復常數A,使得

則稱在點可微，稱A△z為(4)

微分的概念記作定理復變函數在點可導的充分必要條件是在點可微，且這個定理表明,函數在可導與在可微等價.如果函數在區(qū)域D內處處可微,則稱在區(qū)域D內可微。2.

解析函數的概念定義設在區(qū)域D有定義.(1)設,若存在的一個鄰域，使得在此鄰域內處處可導,則稱在處解析,也稱是的解析點.(2)若在區(qū)域D內每一點都解析，則稱在區(qū)域D內解析,或者稱是區(qū)域D內的解析函數(全純函數或正則函數).

(3)設G是一個區(qū)域，若閉區(qū)域且在G內解析，則稱在閉區(qū)域上解析.若函數在處不解析，則稱是的奇點.若是的奇點,但在的某鄰域內,除外,沒有其他的奇點，則稱是函數的孤立奇點.δδ/2函數在處解析和在的某一個鄰域內解析意義相同.

r=δ/2可導解析

復變函數在區(qū)域內解析與在該區(qū)域內可導是等價的.

事實上，復變函數在區(qū)域內解析顯然在該區(qū)域內可導.

反之,設函數在區(qū)域D內可導,則對任意存在z的某一個鄰域U,使得U

D,由在D內可導,可知在U內可導,即在z處解析.注:

上述結論對閉區(qū)域不成立。由例1和例2知,函數是全平面內不解析的連續(xù)函數.的解析函數，但是函數是處處例3：研究函數、和的解析性。根據求導法則，很容易得到下面的結論.1）設函數在區(qū)域D內解析,則也在D內解析.當時,是的解析點.特別地,多項式P(z)在全平面內解析,有理分式在復平面內除分母為零的點之外解析,分母為零的點是有理分式的奇點.定理：2）設函數在z平面上的區(qū)域D內解析，函數在h平面上的區(qū)域G內解析。如果對D

內的每一個點z，函數的對應值h都屬于G，那么復合函數在D內解析。GD§2.2

函數解析的充要條件

判斷函數的解析性定義其他方法？（復雜）一、函數可導的充要條件定理一、復變函數處可微(即可導)的充分必要可微，并且在該點滿足Cauchy-Riemann方程此時在區(qū)域D內有定義，則在D內一點條件是二元函數在處都),(yx證明：必要性因為在z可微，故由(2.1.2)式有對于充分小的其中設于是我們有從而由于所以由此可知，和在可微，且滿足方程且滿足Cauchy-Riemann方程.充分性.

設在處可微,由于由在處可微,有因此我們有再由柯西-黎曼方程有因為故，當△z趨向于零時，因此即函數在z=x+yi處可導。定理二復變函數在區(qū)域D內解析的充分必要條件是在區(qū)域D內可微,且在D內滿足Cauchy-Riemann方程二、函數解析的充要條件解析函數的判定方法:(1)定義(2)Cauchy-Riemann方程,例1判定下列函數在何處可導，在何處解析。例2設其中a,b,c,d是常數，問它們取何值時,函數f(z)在復平面上解析.

例3

如果在區(qū)域D內處處為零,則f(z)在區(qū)域D內為常數.證明:由函數可導知所以都是常數.因此f(z)在區(qū)域D內為常數.例4：如果為一解析函數，且，那么曲線族與必互相正交。其中c1,c2為常數.§2.3

初等函數1指數函數2對數函數3冪函數4三角函數和雙曲函數5反三角函數和反雙曲函數1.指數函數目的:

將指數函數推廣到復變數的情形.由42頁例1可知,函數在z平面上解析，且當z為實數,即當y=0時,與通常實指數函數一致,因此給出下面定義.

定義假設則由定義復指數函數，或簡記為記顯然

定理設為指數函數，則在全平面解析，且從而其中n正整數;(1)(2)當時,其中(3)是周期函數,其周期是n非零整數,(4)的充分必要條件是n為整數.即2.

對數函數定義指數函數的反函數稱為對數函數,即把滿足方程的函數稱為z的對數函數，記作令則由可得從而由復數的相等的定義知,即其中k為整數,或所以由于是多值的，所以是多值函數.如果記則對數函數可寫為對應某個確定的k,稱為對數函數的第k個個分支,對應k=0的分支，稱為對數函數主支.

即是對數主支,稱為對數函數的主值.

對數函數各分支之間，僅差的整數倍例1：求以及他們的相應主值。注：①負數也有對數②正實數的對數也是無窮多值的

定理設為任意復數，則注：①②對數函數的解析性.

考慮對數主支

其在即在除去原點與負實軸的復平面上,

處處連續(xù).定理1.8對數主支在區(qū)域上解析(如圖),并且D對于其他各給定的對數分支，因為(k確定),所以也有因此，對于確定的k,稱為一個單值解析分支.補例求的值.解因為所以事實上，以上結果還可以由直接得到．3.

冪函數定義設z為不等于零的復變數,m為任意為一個復數，定義冪函數即當z為正實變數，m為實數時，它與實冪函數的定義一致，而z為復變數，m為復數時1.當m是整數時，是單值函數；2.當m為有理數時,其中為既約分數,那么是有限多值（q個）的，且3.當m為無理數或虛部不為零的復數時，是無窮多值的.注:上述定義實質上包含了復數的n次冪函數

與n次方根函數的定義.因為(1)當m=n(n是正整數)時,(指數為n項之和)(n個因子之積)(n個因子z之積)當z給定時，它與復數z的n次方根的定義完全一致.(2)當時，有因為的每一個分支都在區(qū)域上解析,所以冪函數在該區(qū)域上解析,并且根據復合函數求導公式,可得解例2求和的值.因為將兩式相加與相減,得定義1.10定義三角函數與雙曲函數如下:正弦函數余弦函數4三角函數和雙曲函數雙曲正弦函數雙曲余弦函數

當z是實變數時，它們與實的正弦、余弦、雙曲正弦、雙曲余弦函數是一致的.由于在復平面上是解析的，所以正弦、余弦、雙曲正弦、雙曲余弦函數在整個復平面上都是解析的.容易證明并且具有下面的一些性質:是以(1)為周期的周期函數；是以為周期的周期函數.(2)為奇函數;為偶函數.(3)一些恒等式關系仍成立.(4)

三角函數與雙曲函數滿足關系式(5)

不是有界函數.因為所以雖然但是當時,所以當時,即是無界函數.這與實正弦函數有本質區(qū)別.余弦函數類似.補例解方程解由得到關于的二次方程其根為兩邊取對數，有例1.20解方程解因為所以原方程可改寫為即所以可化簡得