主講教師:何松華教授聯(lián)系方式:(0731)82687718

現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理/確定性最小二乘濾波器第三章確定性最小二乘濾波器本章的教學(xué)內(nèi)容正那么方程濾波器的漸近性最小二乘逆濾波器白化濾波器前言一、LP、HP、BP、BS濾波器設(shè)計(jì)(本科)設(shè)計(jì)特點(diǎn)：在頻域上給出容限圖，期望能逼近理想濾波器。濾波器設(shè)計(jì)與輸入信號(hào)的特性關(guān)系不密切。以低通濾波器為例前言二、最正確濾波器的概念期望輸出實(shí)際輸出設(shè)計(jì)特點(diǎn)：在時(shí)域上，我們希望實(shí)際輸出盡量逼近期望輸出。與輸入和輸出信號(hào)的波形特性密切相關(guān)。輸入和輸出既可是隨機(jī)信號(hào)，也可是確定信號(hào)。逼近準(zhǔn)那么：最小均方誤差、最小二乘h(k)g(k)y(k)f(k)以信道均衡為例?前言確定性最小二乘濾波器直接對(duì)樣本數(shù)據(jù){g(k)}進(jìn)行處理,無(wú)須知道g(k)的統(tǒng)計(jì)特性,只對(duì)該樣本現(xiàn)實(shí)最正確統(tǒng)計(jì)性最小二乘濾波器(最小均方誤差)需要知道g(k)的二階統(tǒng)計(jì)特性,對(duì)具有該二階統(tǒng)計(jì)特性的隨機(jī)信號(hào)的所有樣本現(xiàn)實(shí),從平均意義上最正確第4章前言濾波\預(yù)測(cè)\平滑的概念期望輸出實(shí)際輸出預(yù)測(cè)濾波器(k)y(k)f(j+k)j>0期望輸出實(shí)際輸出平滑濾波器(k)y(k)f(j+k)j<0gg第一節(jié)正那么方程一、最正確濾波的引出假設(shè)輸入信號(hào)g為單位脈沖信號(hào)u(k)通過(guò)線性系統(tǒng)G(z)產(chǎn)生問(wèn)題的解決似乎很容易,真有這么簡(jiǎn)單嗎?第一節(jié)正那么方程在因果、穩(wěn)定的要求下，H(z)無(wú)法物理實(shí)現(xiàn)的原因：

最優(yōu)準(zhǔn)那么：LMS準(zhǔn)那么、最小二乘的零點(diǎn)不一定在單位圓內(nèi),如果不是最小相位的，那么就不是穩(wěn)定的；對(duì)應(yīng)的可能是一個(gè)因果穩(wěn)定的IIR濾波器，而所設(shè)計(jì)的要求是一個(gè)有限階的FIR濾波器。如果不是因果的(平滑濾波)，那么不是因果的物理可實(shí)現(xiàn)的解決方案：設(shè)計(jì)因果、穩(wěn)定或FIR的最正確線性濾波第一節(jié)正那么方程二、正那么方程誤差序列因果輸入序列期望輸出n階FIR濾波器(不限定)表示平方可積(和)序列帕斯瓦爾定理誤差總能量第一節(jié)正那么方程最小二乘準(zhǔn)那么(LS:Least-Square)要求h(n)因果、FIR積分的乘積變成二維積分，采用兩個(gè)積分變量第一節(jié)正那么方程與h無(wú)關(guān)的常數(shù)項(xiàng)：期望輸出信號(hào)的能量

線性項(xiàng)的系數(shù)：輸入與輸出的互相關(guān)函數(shù)

輸入序列是因果的卷積定義？第一節(jié)正那么方程二次項(xiàng)的系數(shù)輸入信號(hào)自相關(guān)

積分變量置換積分變量置換參見(jiàn)前面求和表達(dá)式第一節(jié)正那么方程Toeplitz矩陣(n+1)(n+1)維的輸入自相關(guān)矩陣，第i行第j列元素值為r(|i-j|)n+1維濾波矢量令n+1維輸入輸出互相關(guān)矢量n階濾波器第一節(jié)正那么方程上式用矢量、矩陣形式表示為練習(xí):反過(guò)來(lái)驗(yàn)證第一節(jié)正那么方程標(biāo)量V對(duì)矢量h求偏導(dǎo)零矢量當(dāng)R為對(duì)稱矩陣時(shí)下面介紹另外一種相對(duì)復(fù)雜的推導(dǎo)方法(展開(kāi)法)第一節(jié)正那么方程估計(jì)誤差序列與輸入序列(l=0)及其平移序列正交參見(jiàn)r()、q()的定義及性質(zhì)第一節(jié)正那么方程最小二乘濾波器的正那么方程第一節(jié)正那么方程三、誤差分析即：期望輸出能量一定大于最小二乘濾波器實(shí)際輸出能量。類似于勾股定理。誤差能量等于期望輸出信號(hào)能量-實(shí)際輸出信號(hào)能量練習(xí):根據(jù)定義以及可別離的二維求和性質(zhì)第一節(jié)正那么方程相對(duì)誤差能量：期望輸出f與實(shí)際輸出y

完全一致期望輸出f與實(shí)際輸出y完全不一致輸入與期望輸出完全不相關(guān)。第一節(jié)正那么方程輸入序列長(zhǎng)度為2情況下的舉例，大于2時(shí)，引入超平面子空間概念期望輸出與輸入不相關(guān)期望輸出與輸入完全相關(guān)為輸入的線性組合，必在輸入信號(hào)構(gòu)成的子空間內(nèi)窄帶干擾信號(hào)y(k)有長(zhǎng)的相關(guān)長(zhǎng)度，自相關(guān)在范圍上有較大的值；干擾數(shù)目、頻率等參數(shù)未知。例：窄帶干擾(NBI)消除s(k)、y(k)和v(k)相互之間不相關(guān)；熱噪聲v(k)是白色的；有用信號(hào)s(k)是寬帶的，因此有短的相關(guān)長(zhǎng)度，即

第一節(jié)正那么方程超寬帶雷達(dá)(探地、救災(zāi))信號(hào)處理,如何根據(jù)觀測(cè)信號(hào)x(k)得到回波信號(hào)s(k)的最正確估計(jì),或如何消除干擾y(k)例如各種窄帶的通信信號(hào)由于y(k)和x(k)是相關(guān)的，可以通過(guò)x(k)用最正確線性估計(jì)方法得到一個(gè)對(duì)NBI的估計(jì)：如果

那么第一節(jié)正那么方程線性預(yù)測(cè)器可以利用最小二乘濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)。濾波器期望輸出為y(k)，輸入為x(k)

問(wèn)題：只有觀測(cè)數(shù)據(jù)

x(k)，y(k)不可得。序列的卷積如何計(jì)算互相關(guān)?可計(jì)算自相關(guān)?思路：最正確濾波器的設(shè)計(jì)需要的是期望輸出與輸入之間的互相關(guān)函數(shù){q(m)|m=0,1,…,n},而不是期望輸出f(k);進(jìn)一步的問(wèn)題是:依然無(wú)法計(jì)算y(k)與x(k)的互相關(guān)思考：x(k)由s(k)、y(k)、v(k)三局部組成，s(k)的相關(guān)長(zhǎng)度小于D，y(k)的相關(guān)長(zhǎng)度大于D，v(k)相關(guān)長(zhǎng)度為零，那么x(k)中的s(k)與x(k-D)中的s(k-D)、y(k-D)、v(k-D)三局部都不相關(guān);同理,x(k)中的v(k)也與x(k-D)不相關(guān),那么x(k)與x(k-D)的自相關(guān)就是期望輸出y(k)與輸入x(k-D)的互相關(guān)第一節(jié)正那么方程思路：以x(k-D)作為輸入，以y(k)作為期望輸出；那么y(k)與x(k-D)的互相關(guān)函數(shù)是可計(jì)算的[轉(zhuǎn)化為x(k)的自相關(guān)]第一節(jié)正那么方程Z-D前向線性預(yù)測(cè)+-x(k)e(k)性質(zhì):證:第一節(jié)正那么方程m0時(shí)，與互不相關(guān)，那么與互不相關(guān)，同理，與互不相關(guān)，那么y(k)未知情況下依然可以通過(guò)x(k)及其延時(shí)序列x1(k)估計(jì)y(k)與輸入序列的互相關(guān)函數(shù)第一節(jié)正那么方程設(shè)x(k)的實(shí)際長(zhǎng)度范圍為{x(k)|k=0,1,…,N-1}，濾波器的長(zhǎng)度范圍為{h(k)|k=0,1,…,n}(n<N-D)；計(jì)算構(gòu)造如下矢量與矩陣第一節(jié)正那么方程那么有：去除窄帶干擾后的信號(hào)為第一節(jié)正那么方程舉例采樣間隔0.5ns第一節(jié)正那么方程第一節(jié)正那么方程14個(gè)干擾頻率課程上機(jī)實(shí)驗(yàn)4：確定性最小二乘濾波器的實(shí)現(xiàn)上述舉例中，其他參數(shù)不變，干擾信號(hào)參數(shù)設(shè)置為A1=A2=…=A14=2;φ1=φ2=…=φ14=0

1=0.06,

2=0.10,

3=0.18,

4=0.21

5=0.30,

6=0.48,

7=0.52,

8=0.57

9=0.61,

10=0.64,

11=0.67,

12=0.70

13=0.78,

14=0.94采用Matlab語(yǔ)言編程(1)參照實(shí)驗(yàn)3的方法產(chǎn)生均值為0，根方差為0.1的正態(tài)白噪聲第一節(jié)正那么方程數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)從實(shí)驗(yàn)3的100000變成200(2)按設(shè)定的參數(shù)產(chǎn)生干擾信號(hào)數(shù)據(jù)第一節(jié)正那么方程針對(duì)Matlab的數(shù)組下標(biāo)只能從1開(kāi)始的調(diào)整(3)k0=96，產(chǎn)生信號(hào)數(shù)據(jù)第一節(jié)正那么方程畫(huà)出以及的波形圖(4)畫(huà)出含有噪聲以及干擾的合成信號(hào)x(k)的波形圖(5)給定參數(shù)D=16，n=12,N=200；求FIR線性最小二乘濾波器{h(k)|k=1,2,…,n+1}數(shù)組下標(biāo)從1開(kāi)始,對(duì)應(yīng)實(shí)際的h(0)到h(n)第一節(jié)正那么方程第一節(jié)正那么方程(6)利用線性最小二乘濾波器對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù){x(k)}進(jìn)行濾波處理，得到窄帶干擾信號(hào)序列的估計(jì)值序列(7)利用濾波器的輸出數(shù)據(jù)序列對(duì)觀測(cè)信號(hào)中的干擾信號(hào)進(jìn)行對(duì)消處理；畫(huà)出對(duì)消后信號(hào)的波形圖；觀察其與的相似性及差異性利用Matlab的矩陣運(yùn)算函數(shù)第二節(jié)最小二乘濾波器的漸近性輸入序列，因果，不一定最小相位期望輸出序列，不一定因果因果IIR濾波器(n

)下面討論最小二乘濾波器的階n足夠大或趨于的情況問(wèn)題：n時(shí)，V(h)可以下降到多少？是否可下降到0？期望輸出實(shí)際輸出y(k)數(shù)據(jù)平滑應(yīng)用第二節(jié)最小二乘濾波器的漸近性一、最優(yōu)因果IIRLS濾波器的求解問(wèn)題最小相位假設(shè)輸入信號(hào)g(k)是因果、穩(wěn)定的但非最小相位的，G(z)存在一個(gè)單位圓外的零點(diǎn)1/z0作等值變換矩陣求解?不行問(wèn)題轉(zhuǎn)化:序列所對(duì)應(yīng)的全通函數(shù)序列的概念第二節(jié)濾波器的漸近性最小相位全通函數(shù)練習(xí)3.1：令z=ej

,z0=|z0|ejθ利用復(fù)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)證明對(duì)于G(z)有多個(gè)單位圓外零點(diǎn)的情況，采用同樣方法可以得到最小相位全通函數(shù)穩(wěn)定因果第二節(jié)濾波器的漸近性全通函數(shù)G(z)的所有單位圓外的零點(diǎn)設(shè)全通函數(shù)對(duì)應(yīng)的序列為因果的輸入序列g(shù)(k)的情況下,d(k)也是的序列總能量分子分母的階相同第二節(jié)濾波器的漸近性現(xiàn)實(shí)情況下，要求理想情況下相當(dāng)于以d(k)為輸入,f(k)為期望輸出第二節(jié)濾波器的漸近性Rd、h0、qd為無(wú)窮階的即有的解h0滿足根據(jù)功率譜定義以及全通函數(shù)的性質(zhì)即

Rd的第m行第l列元素值第二節(jié)濾波器的漸近性二、誤差分析根據(jù)第一節(jié)(三)定義i<0時(shí)，d(i)=0第二節(jié)濾波器的漸近性變量置換：-mm全通函數(shù)性質(zhì)第二節(jié)濾波器的漸近性非最小相位誤差非因果誤差(1)如果期望輸出是因果的，那么

(2)如果輸入序列是最小相位的，那么D(z)=1，d(k)=δ(k)

可別離的二維積分化成兩個(gè)積分的乘積第二節(jié)濾波器的漸近性對(duì)于m1，k0，結(jié)論：(1)如果期望輸出序列是因果的，輸入序列是最小相位的，那么當(dāng)最小二乘濾波器的階n足夠大時(shí)，濾波器的輸出可以逼近期望輸出，誤差能量可以到達(dá)任意小。(2)如果期望輸出序列是非因果的，輸入序列是最小相位的，那么當(dāng)最小二乘濾波器的階n足夠大時(shí)，濾波器的輸出可以逼近期望輸出序列的因果局部第三節(jié)最小二乘逆濾波器一、逆濾波器引出n階FIR濾波器二、正那么方程輸入序列為因果穩(wěn)定的期望輸出為單位脈沖函數(shù)第三節(jié)最小二乘逆濾波器第三節(jié)最小二乘逆濾波器三、漸近方程全通序列的性質(zhì)第三節(jié)最小二乘逆濾波器例1因果非最小相位濾波器求逆試設(shè)計(jì)一個(gè)n階的FIR濾波器，滿足解：實(shí)數(shù)第三節(jié)最小二乘逆濾波器對(duì)于此特殊情況,不一定要通過(guò)矩陣求逆解方程組第0個(gè)方程第k個(gè)方程第n個(gè)方程第三節(jié)最小二乘逆濾波器通解差分方程有兩個(gè)根根據(jù)?信號(hào)與系統(tǒng)?理論，差分方程的解通式考慮到所有方程滿足第三節(jié)最小二乘逆濾波器解出系數(shù)c1、c2

練習(xí)3.2：將上式代入方程組中的第1,n個(gè)方程求得：第三節(jié)最小二乘逆濾波器漸近性：全通函數(shù)第三節(jié)最小二乘逆濾波器也可利用漸近性進(jìn)行誤差能量求解：根據(jù)Z變換性質(zhì)例2解：(1)L=12第三節(jié)最小二乘逆濾波器試設(shè)計(jì)一個(gè)10階的FIR濾波器，使得(1)L=12；(2)L=0練習(xí)3.3練習(xí)3.3續(xù)g(k)非最小相位序列10階濾波器,只須計(jì)算0至10的q(m),雖然q(12)=1/4第三節(jié)最小二乘逆濾波器={-2.289×10-4,0,-5.722×10-5,0,-1.431×10-5,0,-3.576×10-6,0,-8.941×10-7,0,-2.236×10-7,0,1}(2)L=0練習(xí)3.3續(xù)解正那么方程組練習(xí)3.3續(xù)：計(jì)算兩個(gè)有限長(zhǎng)度序列的卷積k=12時(shí)最大誤差很小第三節(jié)最小二乘逆濾波器={1/16,0,-0.234,0,-0.0586,0,-0.0146,0,-0.00366,0,-0.00092,0,-0.00023}h={1/4,0,6.25×10-2,0,-1.562×10-2,0,3.904×10-3,0,9.724×10-4,0,2.288×10-4}y(k)與(k)之間的誤差很大兩種情況的比較輸入期望輸出群時(shí)延為正，用因果濾波器實(shí)現(xiàn)時(shí)，誤差較小練習(xí)3.3續(xù)第三節(jié)最小二乘逆濾波器例3輸入:期望輸出:求四階解：輸入期望輸出群時(shí)延為負(fù)，且輸入序列為非最小相位的，用因果濾波器[響應(yīng)在輸入之后]無(wú)法實(shí)現(xiàn)相位的補(bǔ)償，誤差較大顯然，輸入為最小相位的，輸出為因果的；n足夠大時(shí)，存在精確的解第四節(jié)確定性白化濾波器生成模型白化模型一、白化濾波器引出假設(shè)對(duì)H(z)=1/G(z)無(wú)任何限制，平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)通過(guò)該系統(tǒng)后一定能得到完全白化；假設(shè)H(z)為因果、穩(wěn)定IIR系統(tǒng)，那么G(z)必須為最小相位才能得到完全白化；假設(shè)要求H(z)為n階FIR系統(tǒng)，此時(shí)H(z)是G(z)的n階最小二乘逆濾波器,不一定能完全白化。G(z)δ(n)nx不考慮物理可實(shí)現(xiàn)性1/G(z)nxδ(n)二、第一種解法——逆濾波器第四節(jié)確定性白化濾波器正那么方程三、第二種解法—白化濾波器[與逆濾波器本質(zhì)上