本資料分享自高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854專注收集同步資源期待你的加入與分享專題30圓錐曲線求過定點(diǎn)大題100題1．已知橢圓C：.（1）求橢圓C的離心率；（2）設(shè)分別為橢圓C的左右頂點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,直線AP,BP分別與直線相交于點(diǎn)M,N.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),以M,N為直徑的圓是否經(jīng)過軸上的定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論.【答案】（1）（2）以為直徑的圓經(jīng)過軸上的定點(diǎn)和,證明見解析【分析】（1）先將轉(zhuǎn)化為,根據(jù)橢圓的性質(zhì)得到,即可求出離心率.（2）根據(jù)橢圓方程求出,設(shè),則①,分別求出直線和的方程,再分別與相交于點(diǎn)和,設(shè)以為直徑的圓經(jīng)過軸上的定點(diǎn),則,即得②,將①代入②得解得或,得出為直徑的圓是過定點(diǎn)和.【詳解】解：（1）由得,那么所以解得,所以離心率（2）由題可知,設(shè),則①直線的方程：令,得,從而點(diǎn)坐標(biāo)為直線的方程：令,得,從而點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)以為直徑的圓經(jīng)過軸上的定點(diǎn),則由得②由①式得,代入②得解得或所以為直徑的圓經(jīng)過軸上的定點(diǎn)和.2．已知橢圓：的短軸長為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）求過橢圓的右焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線，被橢圓截得的弦長；（3）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）橢圓的方程：（2）（3）見解析，【分析】（1）根據(jù)橢圓短軸長公式和離心率公式進(jìn)行求解即可；（2）求出過橢圓的右焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線方程，將與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合橢圓弦長公式和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，可以得到向量的數(shù)量積為零，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓：的短軸長為，離心率為，所以有且，而，解得，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）因?yàn)?，所以橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因此過橢圓的右焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線方程是，因此有因此設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，因此有，因此有,所以直線被橢圓截得的弦長為；（3）設(shè)，由題意可知，設(shè)橢圓右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：，因?yàn)橐詾橹睆降膱A過橢圓的右頂點(diǎn)，所以有，即.直線與橢圓的方程聯(lián)立，得：因此，因此由可得：，化簡(jiǎn)得：，或當(dāng)時(shí)，直線方程為該直線恒過點(diǎn)這與已知矛盾，故舍去；當(dāng)時(shí)，直線方程為該直線恒過點(diǎn)，綜上所述：直線過定點(diǎn).3．如圖,已知橢圓的上頂點(diǎn)為,離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)若過點(diǎn)作圓的兩條切線分別與橢圓相交于點(diǎn)(不同于點(diǎn)).當(dāng)變化時(shí),試問直線是否過某個(gè)定點(diǎn)若是,求出該定點(diǎn);若不是,請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)過定點(diǎn)【分析】(1)橢圓的上頂點(diǎn)為,離心率為,可得,即可求得答案.(2)設(shè)切線方程為,則,即.設(shè)兩切線的斜率分別為,則是上述方程的兩根,根據(jù)韋達(dá)定理可得:,結(jié)合已知即可求得答案.【詳解】(1)橢圓的上頂點(diǎn)為,離心率為可得解得橢圓的方程為.(2)設(shè)切線方程為,則即設(shè)兩切線的斜率分別為,則是上述方程的兩根,根據(jù)韋達(dá)定理可得:由消掉得:設(shè)同理可得直線BD方程為令,得,故直線過定點(diǎn).4．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)點(diǎn)(為常數(shù))，過點(diǎn)作斜率分別為的兩條直線與，交曲線于兩點(diǎn)，交曲線于兩點(diǎn)，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，若，求證：直線過定點(diǎn).【答案】（1）（2）見解析【分析】（1）由題意可得，點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于它到的距離，從而點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，從而求出答案；（2）先寫出直線的點(diǎn)斜式方程，再聯(lián)立拋物線方程消元，得韋達(dá)定理結(jié)論，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)，同理求出點(diǎn)，從而求出直線直線的斜率及直線方程，從而得出直線過定點(diǎn)．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大1，∴點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于它到的距離，∴點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為（2）由題意，直線的方程為，設(shè)，由，得，∴，又線段的中點(diǎn)為，所以，同理，∴直線的斜率，∴直線的方程為：，即，∴直線過定點(diǎn)．5．已知F為拋物線的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，.（1）求拋物線的方程：（2）已知為拋物線上一點(diǎn)，M，N為拋物線上異于P的兩點(diǎn)，且滿足，試探究直線MN是否過一定點(diǎn)？若是，求出此定點(diǎn)；若不是，說明理由.【答案】（1）（2）過定點(diǎn)，【分析】(1)設(shè)出直線的方程，聯(lián)立拋物線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理即可求解出的值，即可求解出拋物線的方程；(2)求解出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，根據(jù)求解出之間的關(guān)系，從而確定出直線所過的定點(diǎn).【詳解】解：（1）由已知，直線AB的方程為聯(lián)立直線與拋物線，消y可得，，所以，因?yàn)?，所以，即拋物線的方程為.（2）將代入可得，不妨設(shè)直線MN的方程為,聯(lián)立，消x得，則有，由題意,化簡(jiǎn)可得，，代入此時(shí)直線MN的方程為，所以直線MN過定點(diǎn).6．已知圓，圓，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)的直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，直線QA與直線QB的斜率均存在且斜率之和為-2，證明：直線l過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，得到，，從而得到，得到，從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l斜率存在時(shí)，設(shè)，代入橢圓方程，得到，，表示出直線QA與直線QB的斜率，根據(jù)，得到，的關(guān)系，得到直線所過的定點(diǎn)，再驗(yàn)證直線l斜率不存在時(shí)，也過該定點(diǎn)，從而證明直線過定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，因?yàn)閯?dòng)圓P與圓M外切，所以，因?yàn)閯?dòng)圓P與圓N內(nèi)切，所以，則，由橢圓定義可知，曲線C是以為左、右焦點(diǎn)，長軸長為8的橢圓，設(shè)橢圓方程為，則，，故，所以曲線C的方程為.（2）①當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，聯(lián)立，得，設(shè)點(diǎn)，則，，所以，即，得.則，因?yàn)?，所?即，直線，所以直線l過定點(diǎn).②當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，設(shè)直線，且，則點(diǎn)，解得，所以直線也過定點(diǎn).綜上所述，直線l過定點(diǎn).7．設(shè)拋物線的對(duì)稱軸是軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與拋物線交于、兩點(diǎn)（和都不與重合），且，求證：直線過定點(diǎn)并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）；（2）證明見解析；直線恒過點(diǎn).【分析】（1）設(shè),將點(diǎn)代入方程求解即可；（2）當(dāng)時(shí)顯然不成立；當(dāng)時(shí)聯(lián)立直線方程與拋物線方程,利用韋達(dá)定理得到及的關(guān)系,由可得,代入即可得到與的關(guān)系,進(jìn)而得到定點(diǎn)；當(dāng)不存在時(shí),聯(lián)立直線方程與拋物線方程,同理運(yùn)算即可【詳解】解：（1）因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸是軸,設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)所以,所以,所以設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）證明：當(dāng)直線的斜率存在且時(shí),顯然直線與拋物線至多只有一個(gè)交點(diǎn),不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在且時(shí),設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,消去,得①；消去,得②；設(shè),則為方程①的兩根,為方程②的兩根,,因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,即,所以,即,所以直線的方程可化為,當(dāng)時(shí),無論取何值時(shí),都有,所以直線恒過點(diǎn),當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè)直線的方程為,把與聯(lián)立得,則,因?yàn)?所以,即,得,所以直線的方程為,所以直線過點(diǎn),綜上,無論直線的斜率存在還是不存在,直線恒過點(diǎn).8．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且外接圓的周長為.（1）求拋物線的方程；（2）已知點(diǎn)，設(shè)不垂直于軸的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，若，證明直線過定點(diǎn)并寫出定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）（2）證明見解析,恒過定點(diǎn)【分析】（1）先求出的外接圓的半徑長，再利用拋物線的定義可求出的值，從而得出拋物線的方程；（2）設(shè)的方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，列出韋達(dá)定理，等價(jià)于即可得到、的關(guān)系，即可得到直線恒過定點(diǎn).【詳解】解：（1）因?yàn)榈耐饨訄A與拋物線的準(zhǔn)線相切，所以的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于半徑，因?yàn)橥饨訄A的周長為，所以圓的半徑為3，又圓心在的垂直平分線上，，，解得：，所以拋物線的方程為.（2）設(shè)的方程為，，，由得，，則.所以，，因?yàn)?，所以，即，化?jiǎn)得，所以，所以，所以的方程為，恒過定點(diǎn).9．已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于.求拋物線的方程:設(shè)不垂直與軸的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，直線與的傾斜角互補(bǔ)，求證:直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】定點(diǎn)是，證明見解析【分析】（1）由焦半徑公式求得，得拋物線方程；（2）設(shè)，設(shè)直線方程是，代入拋物線方程，由韋達(dá)定理可得，代入，求得，從而直線方程只有一個(gè)參數(shù)，由方程可得定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】因?yàn)?，所以拋物線方程是.設(shè)，設(shè)直線方程是，由，所以，由得；整理得，，即，解得，所以直線方程是，過定點(diǎn)，定點(diǎn)是.10．已知拋物線：上任意一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離的最小值為1.，為拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)（、不重合且均異于原點(diǎn)），為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、的傾斜角分別為，.（1）求拋物線方程；（2）若，求證直線過定點(diǎn)；（3）若（為定值），探求直線是否過定點(diǎn)，并說明理由.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）是，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義結(jié)合已知求出的值，最后寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，由已知可以得到，結(jié)合平面向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，最后得到直線過定點(diǎn)；（3）根據(jù)（2）中的特例，再結(jié)合，根據(jù)兩角和的正切公式、直線傾斜角和斜率的關(guān)系，最后能求出直線所過定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)為拋物線上任一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，則，故拋物線方程.（2）設(shè)，，：，聯(lián)立得，，，即，則.得已，從而直線過定點(diǎn).（3）由（2），：，，當(dāng)或時(shí)，，，故，于是直線經(jīng)過定點(diǎn).當(dāng)且時(shí)，，，即，.故直線：，即為，故直線過定點(diǎn).11．已知?jiǎng)訄AM與直線相切，且與圓外切，記動(dòng)圓M的圓心軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），證明直線l經(jīng)過定點(diǎn)H，并求出H點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2）H（6,0），證明見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義即可求解；（2）設(shè)，，直線l的方程為，聯(lián)立方程，消去，列出韋達(dá)定理，根據(jù)即可得到方程，解得.【詳解】解：（1）因?yàn)橐阎獎(jiǎng)訄A與直線相切，且與圓外切，所以動(dòng)圓的圓心到點(diǎn)的距離與動(dòng)圓的圓心到直線的距離相等.∴動(dòng)圓的圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線.∴曲線的方程.（2）∵直線l與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，∴直線l的斜率不為0.設(shè)，，直線l的方程為.由，消去，得.∴，即.∴，.∵，∴.∴.∴，滿足.∴直線l的方程為.∴直線l過定點(diǎn)H（6,0）.12．已知拋物線，直線與相交于兩點(diǎn)，弦長．（1）求拋物線的方程；（2）直線與拋物線相交于異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩點(diǎn)，若以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：直線恒過定點(diǎn)并求出定點(diǎn)．【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）設(shè)，聯(lián)立得，求出p的值即得拋物線的方程；（2）由題得斜率一定存在，設(shè)．根據(jù)求出，即得直線經(jīng)過的定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)，，∴，∴；（2）由題得斜率一定存在，設(shè)．則，，∴，∴，，∴，∴，恒過點(diǎn)．13．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與到點(diǎn)N(3，0)的距離比動(dòng)點(diǎn)M到直線x=-2的距離大1，記動(dòng)圓M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)若直線l與曲線C相交于A，B:兩點(diǎn)，且(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，證明直線l經(jīng)過定點(diǎn)H，并求出H點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1);(2)證明見解析，定點(diǎn)【分析】（1）題意可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到直線的距離相等，通過拋物線的定義可得曲線方程；（2）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線結(jié)合韋達(dá)定理，根據(jù)可以計(jì)算出的值，進(jìn)而可求直線所過定點(diǎn).【詳解】（1）由題意得動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到直線的距離相等，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線.∴曲線的方程為.（2）∵直線與曲線相交于兩點(diǎn)，∴直線的斜率不為0設(shè)，，直線的方程為由，消去得，∴，即∴，，∵，∴，∴，∴，滿足，∴直線的方程為，∴直線過定點(diǎn).14．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且長軸長是短軸長的2倍．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，且總有，求的取值范圍；（3）過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，試問：在此坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)點(diǎn)，使得無論如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明由．【答案】（1）．（2）（3）存在，【分析】（1）根據(jù)長軸長是短軸長的2倍，可得之間的關(guān)系，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程中，這樣可以求出的值，進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，求出圓的圓心坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式寫出的表達(dá)式，根據(jù)橢圓的范圍，求出的取值范圍，根據(jù)圓的半徑和的大小關(guān)系，進(jìn)行分類討論，最后求出的取值范圍；（3）由對(duì)稱性可知，點(diǎn)一定位于軸上，設(shè)，，，根據(jù)題意可以判斷，根據(jù)直線是否存在斜率進(jìn)行分類討論.當(dāng)存在斜率時(shí)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合，可以判斷存在定點(diǎn)滿足題意，并求出定點(diǎn)；當(dāng)不存在斜率時(shí)，解方程組，最后判斷是否滿足剛得到定點(diǎn)條件.【詳解】（1）因?yàn)殚L軸長是短軸長的2倍，所以有，橢圓過點(diǎn)，所以有：所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，，則，，∴，∴，①時(shí)，，②時(shí)，，綜上，．（3）由對(duì)稱性可知，點(diǎn)一定位于軸上，設(shè)，，，則（*），①的斜率存在時(shí)，設(shè)，代入橢圓方程，得，，則（*）式為，即，，整理，得，∴，得．②的斜率不存在時(shí)，，代入橢圓方程，得，∴此時(shí)以為直徑的圓的方程為，也經(jīng)過點(diǎn)．綜上，存在滿足題設(shè)條件．15．已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離.（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)直線l與拋物C交于A，B兩點(diǎn)（A，B異于點(diǎn)P），且，試判斷直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）過定點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)拋物線定義以及點(diǎn)在拋物線上列方程組解得，，即得結(jié)果；（2）先根據(jù)坐標(biāo)化簡(jiǎn)得，再設(shè)直線方程，并與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理解得，即可判斷定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由題可得：，解得，，拋物線的方程為.（2）設(shè)直線l的方程為，，聯(lián)立，消x得：，，，，，同理，又，，，直線l的方程為：，過定點(diǎn).16．已知橢圓：的兩焦點(diǎn)與短軸一端點(diǎn)組成一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為1.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2）證明見解析，定點(diǎn).【分析】（1）由題可得,利用求解即可；（2）設(shè)直線的方程為,聯(lián)立可得,則,,由,則直線的方程為,可整理為,將,,,代入中,整理即可得到所過定點(diǎn)【詳解】解：（1）由題,則,因?yàn)?所以,,所以橢圓的方程為（2）證明:設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,消去可得,設(shè),,則,,設(shè),所以,所以直線的方程為,即,所以,將,,,代入,則,所以,整理可得，所以直線過定點(diǎn)17．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過曲線上一點(diǎn)（）作兩條直線，與曲線分別交于不同的兩點(diǎn)，，若直線，的斜率分別為，，且.證明：直線過定點(diǎn).【答案】（1）．（2）證明見詳解.【分析】（1）將描述的軌跡性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為拋物線的定義，據(jù)此寫出曲線方程；（2）設(shè)出直線AB方程，利用，得到直線AB方程中系數(shù)之間的關(guān)系，從而證明直線恒過定點(diǎn).【詳解】（1）由題意可知，到點(diǎn)的距離比到直線的距離小，則：動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，故：點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線的方程為．（2）因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，故可知，設(shè)點(diǎn)，，直線的方程為：，聯(lián)立，得，所以，所以；因?yàn)?，即，所以，等價(jià)于，所以或當(dāng)時(shí)，直線的方程：直線過定點(diǎn)與重合，舍去；當(dāng)時(shí)，直線的方程：直線過定點(diǎn)，所以直線過定點(diǎn)．18．已知?jiǎng)訄AM與直線相切，且與圓N：外切（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；（2）點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過曲線C外且不在y軸上的點(diǎn)P作曲線C的兩條切線，切點(diǎn)分別記為A，B，當(dāng)直線與的斜率之積為時(shí)，求證：直線過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）直接利用直線與圓的位置關(guān)系式，圓和圓的位置關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果．（2）利用直線與曲線的相切和一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心M（x，y），由于圓M與直線y=-1相切，且與圓N：外切．利用圓心到直線的距離和圓的半徑和圓心距之間的關(guān)系式，可知C的軌跡方程為：（2）設(shè)直線：，，，因?yàn)?，，所以兩條切線的斜率分別為，，則直線的方程是，直線的方程是.兩個(gè)方程聯(lián)立得P點(diǎn)坐標(biāo)為，，，由聯(lián)立得：，故直線過定點(diǎn).19．已知拋物線：，過焦點(diǎn)的直線與軸平行，且與拋物線交于，兩點(diǎn)，若.（1）求拋物線的方程；（2）直線與拋物線相交于異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩點(diǎn)、，若以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：直線恒過定點(diǎn)并求出該定點(diǎn).【答案】（1）；（2）見解析，過點(diǎn)【分析】（1）依題意可得，即可取出拋物線方程.（2）依題意直線斜率一定存在，設(shè)：，，，則，，聯(lián)立直線方程與曲線方程，消元列出韋達(dá)定理，即可求出參數(shù)的值，從而得到直線過的定點(diǎn).【詳解】解：（1）由題意，∴，；（2）斜率一定存在，設(shè)：，，，則，，，消元得，，，，∴，∴，∵，∴，∴：，恒過點(diǎn).20．已知橢圓，焦距為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若一直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)（、不是橢圓的頂點(diǎn)），以為直徑的圓過橢圓的上頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）存在，直線過定點(diǎn)．【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦距求出的值，進(jìn)而可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，根據(jù)以為直徑的圓過橢圓的上頂點(diǎn)，得，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，并代入韋達(dá)定理，可得出與所滿足的等式，即可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，有，，所以，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，得，有，得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由方程組，得，即．，即．設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，則，，，．以為直徑的圓過橢圓的上頂點(diǎn)，，即，即，化簡(jiǎn)得，或．當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)，與已知矛盾．當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)直線為過定點(diǎn).直線過定點(diǎn)．21．設(shè)是橢圓上的點(diǎn)，是焦點(diǎn)，離心率.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)是橢圓上的兩點(diǎn)，且，問線段的垂直平分線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)，說明理由.【答案】（1）（2）過，【分析】（1）由條件可知，并且點(diǎn)代入橢圓方程，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，則，與橢圓方程聯(lián)立，求得的中點(diǎn)坐標(biāo)，并表示線段的垂直平分線方程，利用條件，求得直線所過的定點(diǎn)，并說明當(dāng)斜率不存在時(shí)，也滿足.【詳解】（1）由于橢圓的離心率為，，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得，得，因此，橢圓的方程為；（2）由題意知，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則.將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得.由韋達(dá)定理可得，①，所以，，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.則線段的垂直平分線方程為，即，即，此時(shí)，線段的垂直平分線過定點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的垂直平分線就是軸，也過點(diǎn)；綜上所述，線段的垂直平分線過定點(diǎn).22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓E：（）過點(diǎn)，其心率等于.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若A，B分別是橢圓E的左，右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足，且橢圓E于點(diǎn)P.①求證：為定值：②設(shè)與以為直徑的圓的另一交點(diǎn)為Q，求證：直線經(jīng)過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）①見解析，②見解析.【分析】（1）由題意的離心率公式和點(diǎn)滿足題意方程，結(jié)合橢圓的，，的關(guān)系解出方程，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）①設(shè)，，求得直線的方程，代入橢圓方程，解得點(diǎn)的坐標(biāo)，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可得證；②先求得的斜率，再由圓的性質(zhì)可得，求出的斜率，再求直線的方程，即可得到定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)橢圓焦距為，所以且解得所以橢圓E的方程為；（2）設(shè)，，①易得直線的方程為：，代入橢圓得，，由得，，從而，所以.②依題意，，由得，，則的方程為：，即，所以直線過定點(diǎn).23．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，與拋物線的交點(diǎn)為，且．（1）求拋物線的方程；（2）過拋物線上一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦和，試問直線是否過定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）直線恒過定點(diǎn)【分析】（1）設(shè)，代入拋物線方程，結(jié)合拋物線的定義，可得，進(jìn)而得到拋物線方程；（2）由題可得，直線的斜率不為，設(shè)直線：，，，聯(lián)立直線與曲線方程，由，則，即可得到，的關(guān)系式，再求出直線過定點(diǎn)；【詳解】解：（1）設(shè)，代入得：，即由得：，解得：或（舍去）故拋物線C的方程為：.（2）由題可得，直線的斜率不為設(shè)直線：，，聯(lián)立，得：，，，由，則，即.于是，所以或當(dāng)時(shí)，直線：，恒過定點(diǎn)，不合題意，舍去.當(dāng)，，直線：，恒過定點(diǎn)綜上可知，直線恒過定點(diǎn)24．橢圓（）的離心率等于，它的一個(gè)長軸端點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且直線與直線和分別交于兩點(diǎn)，試探究以線段為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)？若恒過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)，若不恒過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）以線段為直徑的圓恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)為【分析】（1）由離心率及拋物線的焦點(diǎn)是橢圓長軸的端點(diǎn)即的關(guān)系可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，則由消去得關(guān)于的二次方程，根據(jù)判別式等于得，另外先求出點(diǎn)，，則可求出以線段為直徑的圓的方程，整理得，將代入即可求出定點(diǎn).【詳解】解：（1）由題意設(shè)橢圓的方程為（），

因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則

，

由，得

∴橢圓的方程為；（2）明顯直線的斜率存在，設(shè)，則由，消去得，，整理得，又由，得，由，得，所以以線段為直徑的圓為，整理得，將代入得，當(dāng)時(shí)，，所以以線段為直徑的圓恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)為.25．已知橢圓C：（）的長軸長是短軸長的2倍，左焦點(diǎn)為.（1）求C的方程；（2）設(shè)C的右頂點(diǎn)為A，不過C左、右頂點(diǎn)的直線l：與C相交于M，N兩點(diǎn)，且.請(qǐng)問：直線l是否過定點(diǎn)？如果過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）是，.【分析】（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)、長軸長和短軸長關(guān)系、橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程組求得，進(jìn)而得到所求方程；（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理的形式；根據(jù)垂直關(guān)系可得，代入韋達(dá)定理的結(jié)果可整理得到，進(jìn)而解得，；分別驗(yàn)證兩個(gè)結(jié)果可知滿足題意，根據(jù)直線過定點(diǎn)的求解方法可確定定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由題意得：，解得：的方程為：（2）設(shè)，由得：則，化簡(jiǎn)得：…①，又，即又即化簡(jiǎn)為：解得：，，均滿足①式當(dāng)時(shí)，，直線過點(diǎn)，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn)綜上可知，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為26．設(shè)拋物線，滿足，過點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為.（1）求證：直線與拋物線相切；（2）若點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，直線是否恒過定點(diǎn)？若恒過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；【答案】（1）證明見詳解；（2）（3）是，【分析】（1）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，由，即可證明；（2）根據(jù)點(diǎn)在拋物線上解得，進(jìn)而寫出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)既在直線上，又在拋物線上，聯(lián)立方程組即可求得的坐標(biāo)；（3）寫出直線的方程，根據(jù)過點(diǎn)和過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)得到的結(jié)論，整理化簡(jiǎn)直線方程，即可求得恒過的定點(diǎn).【詳解】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，消去可得故，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，故則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)又因?yàn)?，故該直線不與軸平行，即證直線與拋物線相切.（2）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，故可得，解得由（1）可知過點(diǎn)的切線方程為，即又拋物線的準(zhǔn)線方程為，故令，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.因?yàn)檫^點(diǎn)的切線方程為，其過點(diǎn)故可得，又因?yàn)辄c(diǎn)滿足拋物線方程，故可得，聯(lián)立方程組可得解得（舍去，與點(diǎn)重合），，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.（3）由（1）得過點(diǎn)的切線方程為令，可解得過點(diǎn)的切線方程為令，可解的因?yàn)閮芍本€交于點(diǎn)，故可得整理得①當(dāng)過兩點(diǎn)的直線斜率存在，則設(shè)其方程為：整理得，將①代入可得故直線方程為故該直線恒過定點(diǎn);當(dāng)過兩點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，，代入①可得過此時(shí)直線，也經(jīng)過點(diǎn)綜上所述，直線恒過定點(diǎn)，即證.27．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線相交于兩點(diǎn).設(shè)直線是拋物線的切線，且直線為上一點(diǎn)，且的最小值為.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)是拋物線上，分別位于軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.求證：直線必過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2）見解析，.【分析】（1）依題意，設(shè)出M、N坐標(biāo)及直線的方程為，代入拋物線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系，設(shè)直線和拋物線相切于點(diǎn)，由題意和切線的幾何意義知，曲線在處的切線斜率為1，因此得，可得切線的方程，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入化簡(jiǎn)并求得最小值為可解出p，即可求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；（2）直線的斜率一定存在，設(shè)的方程為，代入y2=4x，利用韋達(dá)定理結(jié)合，求出b，即可證明直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．【詳解】(1)依題意，直線的方程為.設(shè),將直線的方程代入中，得，因此.設(shè)直線和拋物線相切于點(diǎn)，由題意和切線的幾何意義知，曲線在處的切線斜率即導(dǎo)數(shù)為1，因此得，切點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此切線的方程為.設(shè)，于是將，代入其中，可得.當(dāng)時(shí)，取得最小值，由，可解得正數(shù)值為2，因此所求的拋物線方程為.（2）顯然，直線的斜率一定存在，設(shè)的方程為，，則，故，也即，①將代入拋物線中，得，故.將它們代入到①中，得，解得，因此直線恒過點(diǎn).28．已知曲線上任意一點(diǎn)滿足，直線的方程為，且與曲線交于不同兩點(diǎn)，.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，直線與的斜率分別為，，且，判斷直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）是，.【分析】（1）把已知等式根式里式子配方后由幾何意義得出動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和為定值，從而確定動(dòng)點(diǎn)軌跡是橢圓，根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程得出結(jié)論；（2）設(shè)與的交點(diǎn)，，聯(lián)立直線與曲線的方程：，消整理，應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入，得的關(guān)系，由此求得直線過定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）由可化得，設(shè)，，則等式即為，且，所以曲線是橢圓，焦點(diǎn)為，（在軸上），長半軸長，半焦距，短半軸長，所以曲線的方程為.（2）聯(lián)立直線與曲線的方程：，消整理得，∵直線與曲線交于不同兩點(diǎn)，，∴，得，設(shè)與的交點(diǎn)，，則，.由題意，∴，由得，且滿足，則：，所以直線經(jīng)過定點(diǎn).29．已知橢圓上任一點(diǎn)到，的距離之和為4.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn),與交于，兩點(diǎn)，若直線的斜率與直線的斜率之和為，判斷直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）定點(diǎn)，證明見解析【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義可得,,a=2,則b2=a2﹣c2=2,即可求得橢圓方程;(2)設(shè)直線l的方程,代入橢圓方程,根據(jù)韋達(dá)定理及直線的斜率公式化簡(jiǎn)可得m=﹣2k﹣4,再根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程,即可判斷直線l恒過定點(diǎn)(2,﹣4).【詳解】(1)由橢圓定義知,,,所以,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)直線l恒過定點(diǎn)(2,﹣4),理由如下:若直線斜率不存在,則,不合題意.故可設(shè)直線方程:,聯(lián)立方程組,代入消元并整理得:,則,.,將直線方程代入,整理得:,即,韋達(dá)定理代入上式化簡(jiǎn)得:,因?yàn)椴贿^點(diǎn),所以,所以,即,所以直線方程為,即,所以直線過定點(diǎn).30．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是等腰直角三角形.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)分別作直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為，，且，證明：直線過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）由橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)可直接得，根據(jù)△是等腰直角三角形可得，進(jìn)而由橢圓方程中的關(guān)系即可得橢圓方程；（2）分類討論直線的斜率不存在和直線斜率存在兩種情況：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，并聯(lián)立橢圓后，設(shè)，，由韋達(dá)定理表示出，根據(jù)斜率關(guān)系，整理可得與的等量關(guān)系，代入直線方程即可確定直線AB過定點(diǎn).當(dāng)斜率不存在時(shí)，易證也過該定點(diǎn)即可.【詳解】（1）由已知可得，是等腰直角三角形可得，由，則所求橢圓方程為.（2）若直線的斜率存在，設(shè)方程為，依題意.設(shè)，，由得.則.由已知，所以，即.所以，整理得.故直線的方程為，即.所以直線過定點(diǎn).若直線的斜率不存在，設(shè)方程為，設(shè)，，由已知，得.此時(shí)方程為，顯然過點(diǎn).綜上，直線過定點(diǎn).31．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率，直線的方程為.（1）求，的值；（2）過橢圓左焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，過作直線的垂線與交于點(diǎn).求證：當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線必經(jīng)過軸上一定點(diǎn).【答案】（1），；（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和橢圓上一點(diǎn)，列方程求得的值：（2）設(shè)直線的方程與橢圓聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理用表示出：，，及，在寫出直線方程，化簡(jiǎn)整理，即可分析出恒過的定點(diǎn)【詳解】解：由，得，又在橢圓上，解得：，（1）左焦點(diǎn)，設(shè)直線的方程為：由設(shè)，，則，，直線令，可得，即，可得，而，則，所以可得即直線經(jīng)過點(diǎn)．特別，當(dāng)與軸重合時(shí)，顯然直線經(jīng)過點(diǎn)．綜上所述，直線過定點(diǎn).32．已知橢圓過，兩點(diǎn)，其中為橢圓的離心率.過點(diǎn)作兩條直線，，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，且與的斜率之積為-2.（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線恒過一個(gè)定點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由題意得，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可得解；（2）設(shè)的斜率為，則的斜率為，聯(lián)立方程組可得、，表示出后即可表示直線的方程，化簡(jiǎn)即可得證.【詳解】（1）橢圓過，，，，解得，橢圓的方程為.（2）證明：設(shè)的斜率為，則的斜率為，，，由，得，，又，，，即，同理，，.即，即，直線恒過定點(diǎn).33．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，且滿足.（1）求、的值；（2）設(shè)、是拋物線上不與重合的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記直線、與的準(zhǔn)線的交點(diǎn)分別為、，若，問直線是否過定點(diǎn)？若是，則求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，否則請(qǐng)說明理由.【答案】（1），；（2）過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為.【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程結(jié)合拋物線的定義可得出關(guān)于、的方程組，解出即可；（2）設(shè)直線方程為，、，求出直線、的方程，解出點(diǎn)、的坐標(biāo)，利用，得，結(jié)合韋達(dá)定理，求出，再求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）由題意得拋物線的準(zhǔn)線方程，則，由題意得，解得；（2）由（1）得拋物線的焦點(diǎn)，，顯然直線的斜率不為零，設(shè)直線方程為，、，聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，.直線的斜率，故直線的方程為，令，得，故的坐標(biāo)為，同理的坐標(biāo)為，，，，，所以，，，所以，直線的方程為，過定點(diǎn).34．已知拋物線（）的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是拋物線上異于的兩點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）若直線，的斜率之積為，求證：直線過軸上一定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見詳解.【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得以及拋物線方程；（2）對(duì)直線的斜率進(jìn)行討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合直線，的斜率之積為，找到直線之間的等量關(guān)系，從而證明問題.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€（）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，即.所以拋物線的方程為.（2）證明：①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，.因?yàn)橹本€，的斜率之積為，所以，化簡(jiǎn)得.所以，，此時(shí)直線的方程為.②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，，聯(lián)立方程組，消去得.由根與系數(shù)的關(guān)系得，因?yàn)橹本€，的斜率之積為，所以，即.即，解得（舍去）或.所以，即，所以即綜合①②可知，直線過定點(diǎn).35．已知拋物線:（）上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)，若滿足，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）見解析，.【分析】（1）求出拋物線的準(zhǔn)線方程，利用拋物線定義，可得的方程，即可得出拋物線的方程；（2）方法一：設(shè)，，由得，進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算并化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用直線的斜率公式和直線方程，以及直線恒過定點(diǎn)的求法，可得所求定點(diǎn)坐標(biāo).方法二：設(shè)，，設(shè)直線：（），與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，而，則，代入坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算并解出，進(jìn)行檢驗(yàn)后可得直線方程，由此可得直線恒過定點(diǎn)以及定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】解：（1）拋物線:（）的準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義得，，解得，所以拋物線方程為.（2）方法一：設(shè)，，，且，皆不為，，，即，，又，，直線斜率為，直線方程為：，即為，直線恒過定點(diǎn)，直線恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.方法二：設(shè)，，由條件可知直線的斜率不為0，可設(shè)直線：（），代入,得：，，，，，，即，，，，符合，直線：，則直線恒過定點(diǎn)，直線恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.36．在橢圓：中，點(diǎn)，分別為橢圓的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，若已知離心率，且在直線上.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，連接，分別交直線于點(diǎn)，，求證：以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和橢圓關(guān)系可求得，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式；分別利用表示出的坐標(biāo)，從而得到；根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算可得，得到，從而證得結(jié)論.【詳解】（1）橢圓的左頂點(diǎn)在直線上且位于軸上，，.，，，橢圓的方程為：.（2）由（1）知：，設(shè)，，過點(diǎn)，可設(shè)的直線方程為：，聯(lián)立方程得：，，.設(shè)直線的方程為，，即，同理可得：，，，從而.，即點(diǎn)在以為直徑的圓上.37．已知橢圓（）的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓的下頂點(diǎn)，交橢圓于另一點(diǎn)、的面積.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，問：直線是否過定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）直線過定點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率的公式和橢圓中的關(guān)系，可以判斷出的形狀，最后結(jié)合橢圓的定義和三角形的面積公式進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系，三點(diǎn)共線進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由橢圓的離心率，則，，，∴是等腰直角三角形，又，在中，，即.解得，，，∴的面積為，，，∴橢圓方程為.（2）設(shè)，，則，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，直線的方程為（），由有，，，，，由、、三點(diǎn)共線，，即，將，代入整理得，即，從而，即，解得，此時(shí)滿足.則直線的方程為，故直線過定點(diǎn).（其他解法正確同樣給分）38．已知橢圓的右焦點(diǎn)到直線的距離為，在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）若過作兩條互相垂直的直線，是與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，是與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，分別是線段的中點(diǎn)試，判斷直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）直線過定點(diǎn)【分析】（1）由題意得，求出，即可求出橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，①當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而求出，同理可得，進(jìn)而求出，求出直線的方程，求出必過的定點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，易知直線過定點(diǎn)；綜上即可求出結(jié)果.【詳解】解：（1）由題意得，∴，∴橢圓的方程為；（2）由（1）得，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，①當(dāng)時(shí)，由，得，∴，∴同理，由，可得∴直線的方程為，過定點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，則直線的方程為，∴直線過定點(diǎn)綜上，直線過定點(diǎn)39．已知橢圓的離心率為，其右焦點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）若過作兩條互相垂直的直線，是與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，是與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，分別是線段的中點(diǎn)，試判斷直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn).請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）直線過定點(diǎn)【分析】（1）由題意得，求出，即可求出橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，①當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而求出，同理可得，進(jìn)而求出，求出直線的方程，求出必過的定點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，易知直線過定點(diǎn)；綜上即可求出結(jié)果.【詳解】解：（1）由題意得，∴，∴橢圓的方程為；（2）由（1）得，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，①當(dāng)時(shí)，由，得，∴，∴同理，由，可得∴直線的方程為，過定點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，則直線的方程為，∴直線過定點(diǎn)綜上，直線過定點(diǎn).40．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓的右端點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為（與不重合），則直線與軸是否交于一個(gè)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)寫出定點(diǎn)坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）交于定點(diǎn)【分析】（1）設(shè)點(diǎn)后根據(jù).代入易得橢圓方程。（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程根據(jù)韋達(dá)定理寫出直線的方程，然后令化簡(jiǎn)即可求得直線與軸交于一個(gè)定點(diǎn)。【詳解】（1）易知，，，∴，，∴，∴.由，解得，故所求的橢圓方程為，（2）設(shè)，，則，由得，故，.經(jīng)過點(diǎn)，的直線方程為令，則又∵，，當(dāng)，這說明，直線與軸交于定點(diǎn).41．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，1）、（0，﹣1），動(dòng)點(diǎn)P滿足直線AP與直線BP的斜率之積為，直線AP、BP與直線y＝﹣2分別交于點(diǎn)M、N．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）求線段MN的最小值；（3）以MN為直徑的圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（x≠0）．（2）4．（3）是，定點(diǎn)（0，﹣2+2）或（0，﹣2﹣2）．【分析】(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn),再根據(jù)斜率之積化簡(jiǎn)方程即可.(2)分別設(shè)關(guān)于的的方程,再聯(lián)立求解的坐標(biāo),進(jìn)而求得關(guān)于的解析式,再利用化簡(jiǎn),利用基本不等式求解最小值即可.(3)根據(jù)題意可知,再進(jìn)行根據(jù)滿足橢圓的方程代入化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x,y）,∵A（0,1）,B（0,﹣1）,∴直線AP的斜率k1,直線BP的斜率,又k1?k2,∴,∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（x≠0）．（2）設(shè)直線AP的方程為y﹣1＝k1（x﹣0）,直線BP的方程為y+1＝k2（x﹣0）,由,得,∴M（）,由,得,∴N（,﹣2）,由,得|MN|＝||＝||4,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,∴線段MN長的最小值為4．（3）設(shè)點(diǎn)Q（x,y）是以MN為直徑的圓的任意一點(diǎn),則,即,又k1k2,∴以MN為直徑的圓的方程為,令x＝0,得（y+2）2＝12,解得y＝﹣2,∴以MN為直徑的圓過定點(diǎn)（0,﹣2+2）或（0,﹣2﹣2）．42．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離多.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)，是軌跡在上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)，變化且時(shí)，證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）或；（2）證明見解析，定點(diǎn)【分析】（1）設(shè)，由題意可知，對(duì)的正負(fù)分情況討論，從而求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)其方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到，所以，所以直線的方程可表示為，即，所以直線恒過定點(diǎn)．【詳解】（1）設(shè)，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離多，，時(shí)，解得，時(shí)，解得.動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為或（2）證明：如圖，設(shè)，，由題意得（否則）且，所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，將與聯(lián)立消去，得，由韋達(dá)定理知，，①顯然，，，，將①式代入上式整理化簡(jiǎn)可得：，所以，此時(shí)，直線的方程可表示為，即，所以直線恒過定點(diǎn).43．已知橢圓C：（）的左，右焦點(diǎn)為，，且焦距為，點(diǎn)，分別為橢圓C的上、下頂點(diǎn)，滿足.（1）求橢圓C的方程；（2）已知點(diǎn)，橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，N滿足，求證：直線過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）設(shè)，，，結(jié)合已知的向量表達(dá)式，根據(jù)平面向量加法的幾何意義可知四邊形為菱形，結(jié)合已知條件進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線是否存在斜率進(jìn)行分類討論.設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合兩平面向量垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）設(shè)，，，由可知四邊形為菱形且，故，解得，故，橢圓C的方程為.（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)：，，.聯(lián)立消去y得，，，，由，則，即，整理得，將，代入整理得，即，解得或.當(dāng)時(shí)，直線：過點(diǎn)E，舍去；當(dāng)時(shí)，直線：過定點(diǎn).當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，，則由，則，即，即，即，解得（舍去）或，也過定點(diǎn).綜上，直線過定點(diǎn).44．已知橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，分別是橢圓的左，右頂點(diǎn)，是橢圓上異于，的一點(diǎn)，且，所在直線斜率之積為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作兩條直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）.當(dāng)直線，的斜率之和為定值時(shí)，直線是否恒過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理.【答案】（1）（2）直線過定點(diǎn)【分析】（1），再由，解方程組即可；（2）設(shè)，，由，得，由直線MN的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，代入計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意知：，又，且解得，，∴橢圓方程為，（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，設(shè)，，由，得.則，（*）由，得，整理可得（*）代入得，整理可得，又，∴，即，∴直線過點(diǎn)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，其中，∴，由，得，所以∴當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線也過定點(diǎn)綜上所述，直線過定點(diǎn).45．已知點(diǎn)，，橢圓C：（）的離心率為，過點(diǎn)且斜率為1的直線被橢圓C截得的線段長為.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)，且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線與直線的斜率的和為，證明：過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，由弦長公式，結(jié)合橢圓的離心率即可求得橢圓方程；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合直線與直線的斜率的和為，即可容易證明.【詳解】（1）由題意知，，則，于是橢圓C的方程可化為，直線的方程為，聯(lián)立得.設(shè)，為兩交點(diǎn)，則，，由得（*）再由弦長公式得，解得代入（*）成立，從而，所以橢圓C的方程為.（2）設(shè)直線與的斜率分別為，，如果與x軸垂直，設(shè)：，由題設(shè)知且，可得A，B坐標(biāo)分別為，，則，得，此時(shí)的方程為，與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，與題意不符.從而可設(shè)：（）將代入得.由題設(shè)可知，設(shè)，則，而，由題設(shè)知得，即，解得，代入，得，此時(shí)，所以過定點(diǎn).46．已知拋物線與過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn).（1）若，求直線的方程；（2）若，軸，垂足為，探究：以為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）或；（2）過定點(diǎn)，【分析】（1）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式計(jì)算即可；（2）設(shè)以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，，，利用得，令解方程組即可.【詳解】（1）由題可知，直線的斜率不為0，設(shè)其方程為，將代入，消去可得，顯然，設(shè)，，則，，所以，因?yàn)?，所以，解得，所以直線的方程為或.（2）因?yàn)椋允蔷€段的中點(diǎn)，設(shè)，則由（1）可得，，所以，又軸，垂足為，所以，設(shè)以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，則，，所以，即，化簡(jiǎn)可得①，令，可得，所以當(dāng)，時(shí)，對(duì)任意的，①式恒成立，所以以為直徑的圓過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為.47．已知橢圓：（）的右頂點(diǎn)與拋物線：（）的焦點(diǎn)重合.的離心率為，過的右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線截所得的弦長為.（1）求橢圓和拋物線的方程；（2）過點(diǎn)的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，證明：直線過定點(diǎn).【答案】（1），；（2）見解析【分析】（1）由題意可得，由于橢圓的離心率可得a，c的關(guān)系，進(jìn)而可得p，c的關(guān)系，再由過的右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線截所得的弦長為可得c的值，再由a，b，c的關(guān)系求出橢圓的方程及拋物線的方程；（2）設(shè)直線的方程，及A，B的坐標(biāo)由題意可得E的坐標(biāo)，將直線與橢圓聯(lián)立可得兩根之和及兩根之積，求出直線的直線方程，將兩根之和及之積代入可得恒過定點(diǎn).【詳解】（1）由的離心率為，可得，所以，因?yàn)闄E圓的右頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，所以，，所以可得，過的右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線截所得的弦長為，k令代入拋物線的方程：可得，所以，即，解得，所以，由可得，所以橢圓和拋物線的方程分別為：，；（2）由題意可得直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為：，設(shè)，，由題意可得，直線與橢圓聯(lián)立：，整理可得：，，可得，，，直線的方程為：，整理可得：所以當(dāng)時(shí)，，即過定點(diǎn)，所以可證直線過定點(diǎn).48．已知橢圓C：（）的上頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)連線的斜率為，C的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與左、右焦點(diǎn)的連線所構(gòu)成的四邊形的面積為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）已知點(diǎn)，若斜率為k（）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng)直線AP，BP的傾斜角互補(bǔ)時(shí)，試問直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，說明理由．【答案】（1）.（2）直線l過定點(diǎn).【分析】（1）設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為，由兩點(diǎn)的斜率公式和四邊形的面積公式建立方程，求解可得橢圓的方程；（2）設(shè)直線l的方程為，，，與橢圓的方程聯(lián)立整理得，可得根與系數(shù)的關(guān)系，再由得，可求得直線所過的定點(diǎn).（1）解：設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，，由，得．因?yàn)镃的短軸的兩端點(diǎn)與左、右焦點(diǎn)連線所構(gòu)成的四邊形的面積為，所以．即，由上面兩個(gè)方程解得，，所以，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為等．（2）解：設(shè)直線l的方程為，，，則．因?yàn)橹本€AP，BP的傾斜角互補(bǔ)，所以．聯(lián)立方程組消去y得，根據(jù)韋達(dá)定理得，，則，所以，，解得．即直線l的方程為，顯然直線l過定點(diǎn)．49．已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別是，，點(diǎn)（異于，兩點(diǎn)）在橢圓上，直線與的斜率之積為，且橢圓的焦距為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）直線與橢圓交于，（其橫坐標(biāo)）兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)為，試問點(diǎn)是否在定直線上？若在，請(qǐng)給予證明，并求出定直線方程；若不在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）存在，證明見解析，點(diǎn)在定直線【分析】（1）由題意可得，，設(shè)，根據(jù)以及可得，再由，且求得的值即可求解；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得、，再求出直線和的方程并聯(lián)立，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值即可求證.（1）由題意可得，，設(shè)，則，，所以.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，則.因?yàn)?，且，所以，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，，聯(lián)立，整理得，則，.由（1）可知，，則直線的方程為，直線的方程為，從而，即，解得：.故點(diǎn)在定直線上.50．過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，已知當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)圓，已知是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且直線都與圓相切(是坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：直線經(jīng)過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）證明見解析，定點(diǎn)為.【分析】（1）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，由可得，由此構(gòu)造方程組可求得，進(jìn)而得到拋物線方程；（2）設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，利用圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程得到，代入韋達(dá)定理結(jié)論可得，由此可確定直線所過定點(diǎn)坐標(biāo).（1）由題意得：直線的方程為：，設(shè)，，聯(lián)立，整理可得：，，，…①；…②；，，…③；由①②③可得：，拋物線的方程為；（2）證明：顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程可得：，，，直線的方程為，即；直線的方程為，即；直線都與圓相切，圓心到直線的距離相等，，整理可得：，，即，直線的方程為，則當(dāng)時(shí)，，直線恒過定點(diǎn)．51．如圖，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以軸為對(duì)稱軸的拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)引拋物線的兩條切線分別交軸于點(diǎn)，，切點(diǎn)分別為，．

（1）求拋物線的方程；（2）求證：點(diǎn)，在以為直徑的圓上；（3）當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，直線恒過焦點(diǎn)，求的值．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）-1.【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)直接求拋物線方程；（2）利用切線方程，先求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，證得點(diǎn)在以為直徑的圓上，同理得到點(diǎn)也滿足；（3）可設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，得到，利用點(diǎn)的坐標(biāo)滿足兩條切線，聯(lián)立求得.【詳解】（1）設(shè)拋物線的方程為，依題意，得，所以拋物線的方程為．（2）設(shè)點(diǎn)，，，．，否則切線不過點(diǎn)，，切線的斜率，方程為，其中．令，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率，，，即點(diǎn)在以為直徑的圓上；同理可證點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，在以為直徑的圓上．（3）拋物線焦點(diǎn)，可設(shè)直線．由，則．由（2）切線的方程為過點(diǎn)，，得，同理．消去，得，，由上，，即的值為．52．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是等腰直角三角形．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)分別作直線、交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)兩直線、的斜率分別為，且，探究：直線是否過定點(diǎn)，并說明理由．【答案】（1）；（2）直線過定點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）通過點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是等腰直角三角形，可求得，從而可求橢圓方程；（2）若直線的斜率存在，設(shè)方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及，可得直線的方程，從而可得直線過定點(diǎn)；若直線的斜率不存在，設(shè)方程為，求出直線的方程，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，可知，又是等腰直角三角形，可得，即，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）若直線的斜率存在，設(shè)方程為，依題意，聯(lián)立，得由已知，設(shè)，由韋達(dá)定理得：，，整理得故直線方程為，即，所以直線過定點(diǎn)；若直線的斜率不存在，設(shè)方程為，設(shè)，由已知得，解得，此時(shí)直線方程為，顯然過點(diǎn)；綜上，直線過定點(diǎn).53．設(shè)P是橢圓C：上異于長軸頂點(diǎn)A1，A2的任意一點(diǎn)，過P作C的切線與分別過A1，A2的切線交于B1，B2兩點(diǎn)，已知|A1A2|=4，橢圓C的離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）以B1B2為直徑的圓是否過x軸上的定點(diǎn)？如果過定點(diǎn)，請(qǐng)予以證明，并求出定點(diǎn)；如果不過定點(diǎn)，說明理由.【答案】（1）；（2）過定點(diǎn)，證明見解析，定點(diǎn)為.【分析】（1）由，以及可得出答案.

(2)設(shè)，設(shè)過的橢圓的切線為，與橢圓方程聯(lián)立由，求出切線的斜率，得出切線方程，由條件求出坐標(biāo)，在軸上取點(diǎn)，由得出答案.【詳解】解：（1）由題可知，解得，由得，橢圓的方程為.（2）設(shè)，由于是異于長軸頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，故切線斜率存在.設(shè)過的橢圓的切線為，聯(lián)立方程，得，，得，由所以，則，即所以，則解得過點(diǎn)的切線方程為，即由于分別過的切線分別為，解得的坐標(biāo)為.在軸上取點(diǎn)，則，，所以.當(dāng)時(shí)，.所以，以為直徑的圓過軸上的定點(diǎn)為.54．已知，分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)，.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作關(guān)于軸對(duì)稱的兩條不同直線，分別交橢圓于與，且，證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）；（2）證明見解析，定點(diǎn).【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式求解即可得結(jié)果；（2）設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得，又因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱的兩條不同直線，的斜率之和為0，所以，通過計(jì)算化簡(jiǎn)即可求得定點(diǎn).【詳解】解：（1）由題意得，，，則，.由，得，即所以橢圓的方程為（2）由題易知：直線的斜率存在，且斜率不為零，設(shè)直線方程為，，聯(lián)立，得，由得，∴，，因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱的兩條不同直線，的斜率之和為0，∴，整理得，即，解得：直線方程為：，所以直線過定點(diǎn).55．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且滿足.（1）求拋物線的方程；（2）過拋物線上的任意一點(diǎn)作拋物線的切線，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn).在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過.若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，則說明理由.【答案】（1）（2）存在一個(gè)定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過【分析】（1）利用拋物線的定義，結(jié)合，求得，由此求得拋物線的方程.（2）首先假設(shè)存在一個(gè)，使以為直徑的圓恒過.設(shè)出切線的方程，利用導(dǎo)數(shù)建立切線斜率的等量關(guān)系式，結(jié)合，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列方程，解方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此證得存在點(diǎn)符合題意.【詳解】（1）由拋物線定義知，又，∴，解得，∴拋物線的方程為.（2）存在一個(gè)，使以為直徑的圓恒過.由（1）得拋物線為，準(zhǔn)線方程為.依題意切線斜率一定存在且不為0，設(shè)切線方程為.設(shè)定點(diǎn)為，，，∵，∴切線斜率，又，∵，∴，解得.以為直徑的圓恒過定點(diǎn)等價(jià)于.∴，.∴恒成立.∴且，解得，存在一個(gè)定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過.56．如圖，已知橢圓C：＋y2＝1（a＞1）的上頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，直線AF與圓M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．（1）求橢圓C的方程；（2）若不過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，且＝0，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】（1）＋y2＝1（2）證明見解析，定點(diǎn)N.【解析】【分析】（1）利用直線AF與圓相切可求得a（圓心到直線的距離等于半徑），從而得橢圓方程；（2）由＝0，知AP⊥AQ，從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直，設(shè)直線AP的方程為y＝kx＋1，代入橢圓方程可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得Q點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線PQ方程，化簡(jiǎn)后可知其所過定點(diǎn)．【詳解】（1）將圓M的一般方程x2＋y2－6x－2y＋7＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x－3）2＋（y－1）2＝3，圓M的圓心為M（3,1），半徑為r＝.由A（0,1），F(xiàn)（c,0）（c＝）得直線AF：＋y＝1，即x＋cy－c＝0.由直線AF與圓M相切得＝.所以c＝或c＝－（舍去）．所以a＝，所以橢圓C的方程為＋y2＝1.（2）證明：由＝0，知AP⊥AQ，從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直，由A（0,1）可設(shè)直線AP的方程為y＝kx＋1，直線AQ的方程為y＝－x＋1（k≠0），將y＝kx＋1代入橢圓C的方程＋y2＝1并整理，得（1＋3k2）x2＋6kx＝0，解得x＝0或x＝－，因此P的坐標(biāo)為，即.將上式中的k換成－，得Q.所以直線l的方程為y＝·＋，化簡(jiǎn)得直線l的方程為y＝x－.因此直線l過定點(diǎn)N.57．已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，為下頂點(diǎn)，是面積為1的直角三角形.（1）求橢圓的方程；（2），是過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線，其中交橢圓于另一個(gè)點(diǎn)，交橢圓于另一個(gè)點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，使直線恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）存在，恒過的定點(diǎn)為【分析】（1）由題意列得方程，解得即可得橢圓的方程；（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，利用，可得，進(jìn)而可得定點(diǎn)為.【詳解】解：（1）由題意得，∴橢圓的方程為.（2）由題意知：直線的斜率存在，可設(shè)方程為，設(shè)，，聯(lián)立可得，得，∵，∴，，∵，∴所以直線方程為，恒過定點(diǎn).58．已知，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為.斜率為的直線過點(diǎn)，且與軌跡相交于兩點(diǎn).（1）求軌跡的方程；（2）求斜率的取值范圍；（3）在軸上是否存在定點(diǎn)，使得無論直線繞點(diǎn)怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，總有成立？如果存在，求出定點(diǎn)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，.【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義即可求得方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，轉(zhuǎn)化成方程有解問題；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，聯(lián)立直線和雙曲線整理成二次方程，根據(jù)結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】（1）因?yàn)?，點(diǎn)滿足，所以點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線的右支，設(shè)其方程，則，所以軌跡的方程：；（2）斜率為的直線過點(diǎn)，直線方程為，代入，，即有兩個(gè)不等正根，，由得，當(dāng)時(shí)，且即不等式組的解：所以；（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)，使，由（2）：斜率為的直線過點(diǎn)，直線方程為，代入，，即有兩個(gè)不等正根，，，所以，，對(duì)恒成立，所以，解得，即，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程，此時(shí)，，仍然滿足，所以這樣的點(diǎn)存在，.59．已知離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)為，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)，與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線和直線的斜率之積為，求證：直線過定點(diǎn)；（3）若為橢圓上一點(diǎn)，且，求三角形的面積.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）根據(jù)離心率，將用表示，橢圓方程化為，點(diǎn)代入方程，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)的方程為，（或），設(shè)，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元得到，由，得，且，，，整理得，或（舍），滿足，可得直線過定點(diǎn)（3），根據(jù)向量的關(guān)系可得，點(diǎn)到直線距離，即可求解；或?qū)⒏鶕?jù)橢圓的參數(shù)方程，設(shè)，，，求得點(diǎn)，又點(diǎn)在橢圓上，整理可得，將用表示，并化簡(jiǎn)為，即可求得結(jié)論.【詳解】（1）∵，∴，∴，又∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）方法一：的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得，由解得，且，，∴，∴，，化簡(jiǎn)可得：，∴或（舍），滿足，∴直線的方程為，∴直線經(jīng)過定點(diǎn).方法二：設(shè)的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得，解得：，且，，∵，∴，∴，化簡(jiǎn)可得：，∴或者（舍）滿足∴直線經(jīng)過定點(diǎn)；方法三：設(shè)，則有，∴，設(shè)方程為，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴直線經(jīng)過定點(diǎn)；（3）點(diǎn)到直線距離，∴，∴；方法二：設(shè)，∵，∴點(diǎn)，又∵點(diǎn)在橢圓上，∴，∴.，∴.60．已知等軸雙曲線：的右焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作一條漸近線的垂線且垂足為，.（1）求等軸雙曲線的方程；（2）若過點(diǎn)且方向向量為的直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，求的值；（3）假設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，試問：在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)，若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）定點(diǎn).【分析】（1）根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為和等軸雙曲線的性質(zhì)，求得等軸雙曲線的方程.（2）由直線的方向向量求得直線的斜率，由此寫出直線的方程.聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程，寫出韋達(dá)定理，求得，，由此求得的值.（3）設(shè)，設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，代入進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合為常數(shù)列方程，解方程求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為，所以，所以等軸雙曲線的方程為.且.（2）由于直線的方向行向量為，所以直線的斜率為，而，所以：，與聯(lián)立方程并化簡(jiǎn)得，可得，，即.（3）設(shè)點(diǎn).依題意可知直線與不平行，設(shè)直線，與聯(lián)立方程有，可得，，∴，，，要為定值，需滿足，∴，即定點(diǎn).61．已知點(diǎn)，在圓：上任取一點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn).（如圖）.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若過點(diǎn)的動(dòng)直線與（1）中的軌跡相交于、兩點(diǎn).問：平面內(nèi)是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得恒成立？試證明你的結(jié)論.【答案】（1）（2）存在，證明見解析【分析】（1）利用垂直平分線的性質(zhì)可得，從而得到點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓；（2）先考慮當(dāng)直線軸和直線軸的情況得到定點(diǎn)；再考慮對(duì)直線的一般情況都有點(diǎn)滿足題意.【詳解】（1）依題意得，，故點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，，，，因此，所求的軌跡是橢圓：.（2）當(dāng)直線軸時(shí)，由得知點(diǎn)在軸上，可設(shè).當(dāng)直線軸時(shí)，，，由得，或.因此，若存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)滿足題意，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.下面我們來證明：對(duì)任意直線均有.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線：，，.把代入得，由于點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，故判別式.所以，，，易知點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，而，又，所以，即、、三點(diǎn)共線，，綜上知，存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)滿足題意.62．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：(a>b>0)的離心率為，且右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線l的距離為1.過x軸上一點(diǎn)M(m，0)(m為常數(shù)，且m∈(0，2))的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，與l交于點(diǎn)P，D是弦AB的中點(diǎn)，直線OD與l交于點(diǎn)Q.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)試判斷以PQ為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)．若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)＋y2＝1；(2)是，定點(diǎn)【分析】（1）由已知列出方程組解得，然后求得，得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)首先確定直線AB斜率存在且不為0，然后設(shè)直線方程為y＝k(x－m)，求出P，Q點(diǎn)，寫出圓的方程(直徑式)，然后，即令斜率k的系數(shù)為零，常數(shù)項(xiàng)也為零，得出關(guān)于x，y的方程可得定點(diǎn)．審題注意題中m是常數(shù)，而非變量．【詳解】(1)由題意，得，解得所以a2＝2，b2＝1，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.(2)由題意，當(dāng)直線AB的斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí)顯然不符合題意，所以可設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y＝k(x－m)．又準(zhǔn)線方程為x＝2，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(2，k(2－m))．由得，x2＋2k2(x－m)2＝2，即(1＋2k2)x2－4k2mx＋2k2m2－2＝0，所以xA＋xB＝，則xD＝·＝，yD＝k＝－，所以kOD＝－，從而直線OD的方程為y＝－x(也可用點(diǎn)差法求解)，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q.所以以P，Q為直徑的圓的方程為(x－2)2＋（y-k(2－m)）＝0，即x2－4x＋2＋m＋y2-[k(2－m)-]y＝0.因?yàn)樵撌綄?duì)?k≠0恒成立，令y＝0，得x＝2±，所以，以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).63．已知平面上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離比P到直線的距離大1.記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過點(diǎn)的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是D，證明：直線恒過點(diǎn)F.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】(1)先分析出點(diǎn)P在直線的右側(cè)，然后利用拋物線的定義寫出方程即可(2)設(shè)出直線的方程和A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立方程求出的范圍和A、B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之和和積，寫出直線的方程，然后利用前面得到的關(guān)系化簡(jiǎn)即可.【詳解】（1）不難發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P在直線的右側(cè)，∴P到的距離等于P到直線的距離.∴P的軌跡為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，∴曲線C的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，，解得或.∴，.又點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，則直線的方程為即令，得.∴直線恒過定點(diǎn)，而點(diǎn).64．已知橢圓：與軸交于，兩點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，且是邊長為2的等邊三角形.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為（與，都不重合），判斷直線與軸是否交于一個(gè)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)寫出定點(diǎn)坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）;（2）,證明見詳解【分析】(1)由題意可得,由△是邊長為2的等邊三角形,可得,,進(jìn)而得到橢圓方程;(2)設(shè)出直線的方程和,的坐標(biāo),則可知的坐標(biāo),進(jìn)而表示出的直線方程,再聯(lián)立方程與橢圓方程,即可把代入求得,結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行化簡(jiǎn),進(jìn)而得出直線與軸交于定點(diǎn).【詳解】(1)由題意可得,,,,由△是邊長為2的等邊三角形,可得,,即,則橢圓的方程為;(2)由題可知直線的斜率不為0,故設(shè)直線的方程為:,聯(lián)立,得,即(),設(shè),,,,則,,又,,經(jīng)過點(diǎn),,,的直線方程為,令,則,又,.當(dāng)時(shí),.故直線與軸交于定點(diǎn).65．已知橢圓過點(diǎn)，其離心率.（1）求橢圓的方程；（2）若直線不經(jīng)過點(diǎn)，且與橢圓相交于兩點(diǎn)（、不重合），若直線與直線的斜率之積為.（?。┳C明：過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；（ⅱ）求的面積的最大值.【答案】（1）（2）（i）證明見解析；定點(diǎn)（ii）【分析】（1）由橢圓過點(diǎn)，可知，又因?yàn)?可解得c,從而求得b,得到橢圓的方程.（2）（ⅰ）分斜率不存在與存在兩種情況分析，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不符合題意；可設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，可得，，再根據(jù)直線與直線的斜率之積為，得到，化簡(jiǎn)為，將和代入整理得，，代入直線的方程得解.（ⅱ）先寫出三角形面積模型為，再利用基本不等式求最值..【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，又因?yàn)?所以所以橢圓的方程為.（2）（ⅰ）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不符合題意；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，由韋達(dá)定理得：，，因?yàn)橹本€與直線的斜率之積為，所以，即，所以，整理得，故即直線的方程為（舍去）或，故過定點(diǎn).（ⅱ）設(shè)的面積為，則因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)滿足，所以的面積的最大值為.66．已知?jiǎng)訄AP與圓：內(nèi)切，且與直線相切，設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過曲線上一點(diǎn)（）作兩條直線，與曲線分別交于不同的兩點(diǎn)，，若直線，的斜率分別為，，且.證明：直線過定點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見解析【分析】(1)根據(jù)題意分析可得動(dòng)圓圓心的軌跡為拋物線,再根據(jù)拋物線的幾何意義求解方程即可.(2)設(shè)點(diǎn),,直線的方程為：,聯(lián)立直線與拋物線的方程,求得韋達(dá)定理代入求得或,再分析定點(diǎn)即可.【詳解】解：（1）由題意可知,動(dòng)圓圓心到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等,所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線,所以曲線的方程為．（2）易知,設(shè)點(diǎn),,直線的方程為：,聯(lián)立,得,所以,所以因?yàn)?即,所以,所以,所以或當(dāng)時(shí),直線的方程：過定點(diǎn)與重合,舍去；當(dāng)時(shí),直線的方程：過定點(diǎn),所以直線過定點(diǎn)．67．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上一點(diǎn)A（2，﹣1）到兩焦點(diǎn)距離之和為8.若點(diǎn)B是橢圓C的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P，Q是橢圓C上異于點(diǎn)B的任意兩點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）若BP⊥BQ，且滿足32的點(diǎn)D在y軸上，求直線BP的方程；（3）若直線BP與BQ的斜率乘積為常數(shù)λ（λ＜0），試判斷直線PQ是否經(jīng)過定點(diǎn).若經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）y＝±x+2（3）經(jīng)過定點(diǎn)；定點(diǎn)（0，）【分析】（1）利用橢圓的定義和待定系數(shù)法可求橢圓的方程；（2）利用BP⊥BQ，32可得直線的斜率，從而可求直線BP的方程；（3）先表示直線PQ的方程，結(jié)合直線BP與BQ的斜率乘積為常數(shù)，建立等量關(guān)系進(jìn)行判定.【詳解】（1）由題意設(shè)橢圓的方程為：1由題意知：2a＝8，1，解得：a2＝16，b2＝4，所以橢圓的方程為：.（2）由（1）得B（0，2）顯然直線BP的斜率存在且不為零，設(shè)直線BP為：y＝kx+2，與橢圓聯(lián)立整理得：（1+4k2）x2+16kx＝0，x，所以P（，）；直線BQ：yx+2，代入橢圓中：（4+k2）x2﹣16kx＝0，同理可得Q（，），由32得，∴3（xD﹣xP）＝2（xQ﹣xD），∴5xD＝2xQ+3xP，由于D在y軸上，所以xD＝0，∴，解得：k2＝2，所以k，所以直線BP的方程為：y＝±x+2.（3）當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程：x＝t，P（x，y），Q（x'，y'），與橢圓聯(lián)立得：4y2＝16﹣t2，yy'，xx'＝t2，kBP?kBQ?，要使是一個(gè)常數(shù)λ，λ＜0，所以不成立.當(dāng)直線PQ斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為：y＝kx+t，設(shè)P（x，y），Q（x'，y'），與橢圓聯(lián)立整理得：（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣16＝0，x+x'，xx'，∴y+y'＝k（x+x'）+2t，，∴kBP?kBQ，所以由題意得：λ，解得：t，所以不論k為何值，x＝0時(shí)，y，綜上可知直線恒過定點(diǎn)（0，）.68．設(shè)兩點(diǎn)在拋物線上，是AB的垂直平分線，（1）當(dāng)且僅當(dāng)取何值時(shí)，直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F？證明你的結(jié)論；（2）若，弦AB是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)，若不過定點(diǎn)，說明理由.【答案】（1），證明見解析（2）過定點(diǎn)，（0,）【分析】(1)對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行討論，利用中垂線的性質(zhì)列方程組求出直線的截距b的范圍，從而得出結(jié)論；(2)設(shè)AB的方程為：y=kx+b，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和求出b的值，從而得到定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】解：（1）