第2章

直流電阻電路的分析計(jì)算2.1電阻的串聯(lián)和并聯(lián)2.2電阻的星形連接與三角形連接的等效變換2.3兩種實(shí)際電源模型的等效變換

2.4支路電流法2.5網(wǎng)孔法

2.6節(jié)點(diǎn)電壓法2.7疊加定理2.8戴維南定理*2.9含受控源電路的分析

2.1電阻的串聯(lián)和并聯(lián)

2.1.1等效網(wǎng)絡(luò)的定義

電路分析中,如果研究的是整個(gè)電路中的一部分,可以把這一部分作為一個(gè)整體看待當(dāng)這個(gè)整體只有兩個(gè)端鈕與其外部相連時(shí),就叫做二端網(wǎng)絡(luò)。二端網(wǎng)絡(luò)的一般符號(hào)如圖2.1所示。二端網(wǎng)絡(luò)的端鈕電流、端鈕間的電壓分別叫端口電流、端口電壓。圖2.1中標(biāo)出了二端網(wǎng)絡(luò)的端口電流i和端口電壓u,電流電壓的參考方向是關(guān)聯(lián)的,ui應(yīng)看成它接受的功率。一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)的端口電壓、電流關(guān)系和另一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)的端口電壓、電流關(guān)系相同,這兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)叫做等效網(wǎng)絡(luò)。等效網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)雖然不同,但對任何外電路,它們的作用完全相同。也就是說,等效網(wǎng)絡(luò)互換,它們的外部特性不變。

一個(gè)內(nèi)部沒有獨(dú)立源的電阻性二端網(wǎng)絡(luò),總可以與一個(gè)電阻元件等效。這個(gè)電阻元件的電阻值等于該網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)參考方向下端口電壓與端口電流的比值,叫做該網(wǎng)絡(luò)的等效電阻或輸入電阻,用Ri表示。Ri也叫總電阻。

同樣,還有三端,…,n端網(wǎng)絡(luò)。兩個(gè)n端網(wǎng)絡(luò),如果對應(yīng)各端鈕的電壓、電流關(guān)系相同,則它們也是等效的。進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)的等效變換,是分析計(jì)算電路的一個(gè)重要手段。用結(jié)構(gòu)較簡單的網(wǎng)絡(luò)等效代替結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò),將簡化電路的分析計(jì)算。

2.1.2電阻的串聯(lián)

在電路中,把幾個(gè)電阻元件依次一個(gè)一個(gè)首尾連接起來,中間沒有分支,在電源的作用下流過各電阻的是同一電流。這種連接方式叫做電阻的串聯(lián)。圖2.2(a)表示三個(gè)電阻串聯(lián)后由一個(gè)直流電源供電的電路。以U代表總電壓,I代表電流,R1、R2、R3

代表各電阻,U1、U2、U3

代表各電阻的電壓,按KVL有

U=U1+U2+U3=(R1+R2+R3)I

上式表明,圖2.2(b)所示的電阻值為R1+R2+R3

的一個(gè)電阻元件的電路,與圖2.2(a)所示二端網(wǎng)絡(luò)有相同的端口電壓、電流關(guān)系,即串聯(lián)電阻的等效電阻等于各電阻的和,即 Ri=R1+R2+R3 (2.1)

電阻串聯(lián)時(shí),各電阻上的電壓為(2.2)即串聯(lián)的每個(gè)電阻的電壓與總電壓的比等于該電阻與等效電阻的比。串聯(lián)的每個(gè)電阻的功率也與它們的電阻值成正比。

例2.1如2.3所示,用一個(gè)滿刻度偏轉(zhuǎn)電流為50μA,電阻

Rg為2kΩ的表頭制成100V量程的直流電壓表,應(yīng)串聯(lián)多大的附加電阻Rf?

解：滿刻度時(shí)表頭電壓為2.1.3電阻的并聯(lián)

在電路中,把幾個(gè)電阻元件的首尾兩端分別連接在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)上,在電源的作用下,它們兩端的電壓都相同,這種連接方式叫做電阻的并聯(lián)。

圖2.4(a)表示三個(gè)電阻并聯(lián)后由一個(gè)直流電源供電的電路。以I代表總電流,U代表電阻上的電壓,G1、G2、G3代表各電阻的電導(dǎo),I1、I2、I3代表各電阻中的電流。按KCL有

I=I1+I2+I3=(G1+G2+G3)U

可見,并聯(lián)電阻的等效電導(dǎo)等于各電導(dǎo)的和(如圖2.4(b)所示),即

Gi=G1+G2+G3 (2.3)

并聯(lián)電阻的電壓相等,各電阻的電流與總電流的關(guān)系為(2.4)即并聯(lián)的每個(gè)電阻的電流與總電流的比等于其電導(dǎo)與等效電導(dǎo)的比。我們常會(huì)遇到兩個(gè)電阻并聯(lián)的情況。兩個(gè)電阻R1、R2并聯(lián),由

得等效電阻為

如果總電流為I,兩個(gè)電阻的電流各為

并聯(lián)的每個(gè)電阻的功率與它們的電導(dǎo)成正比

(2.5)例2.2如圖2.5所示,用一個(gè)滿刻度偏轉(zhuǎn)電流為50μA,電阻Rg為2kΩ的表頭制成量程為50mA的直流電流表,應(yīng)并聯(lián)多大的分流電阻R2?

解：由題意已知,I1=50μA,R1=Rg=2000Ω,I=50mA,代入式(2.5)得

2.1.4電阻的串、并聯(lián)

電阻的串聯(lián)和并聯(lián)相結(jié)合的連接方式,稱為電阻的串、并聯(lián)或混聯(lián)。只有一個(gè)電源作用的電阻串、并聯(lián)電路,可用電阻串、并聯(lián)化簡的辦法,化簡成一個(gè)等效電阻和電源組成的單回路,這種電路又稱簡單電路。反之,不能用串、并聯(lián)等效變換化簡為單回路的電路則稱為復(fù)雜電路。簡單電路的計(jì)算步驟是:首先將電阻逐步化簡成一個(gè)總的等效電阻,算出總電流(或總電壓),然后用分壓、分流的辦法逐步計(jì)算出化簡前原電路中各電阻的電流和電壓,再計(jì)算出功率。下面通過例題說明計(jì)算的過程。例2.3進(jìn)行電工實(shí)驗(yàn)時(shí),常用滑線變阻器接成分壓器電路來調(diào)節(jié)負(fù)載電阻上電壓的高低。圖2.6中R1和R2是滑線變阻器,RL是負(fù)載電阻。已知滑線變阻器額定值是100Ω、3A,端鈕a、b上輸入電壓U1=220V,RL=50Ω。試問:

(1)當(dāng)R2=50Ω時(shí),輸出電壓U2是多少?

(2)當(dāng)R2=75Ω時(shí),輸出電壓U2是多少?滑線變阻器能否安全工作?

(2)當(dāng)R2=75Ω時(shí),計(jì)算方法同上,可得因I1=4A,大于滑線變阻器額定電流3A,R1段電阻有被燒壞的危險(xiǎn)。

求解簡單電路,關(guān)鍵是判斷哪些電阻串聯(lián),哪些電阻并聯(lián)。一般情況下,通過觀察可以進(jìn)行判斷。當(dāng)電阻串、并聯(lián)的關(guān)系不易看出時(shí),可以在不改變元件間連接關(guān)系的條件下將電路畫成比較容易判斷串、并聯(lián)的形式。這時(shí)無電阻的導(dǎo)線最好縮成一點(diǎn),并且盡量避免相互交叉。重畫時(shí)可以先標(biāo)出各節(jié)點(diǎn)代號(hào),再將各元件連在相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)間,下面用一個(gè)例子來說明。例2.4求圖2.7(a)所示電路中a、b兩點(diǎn)間的等效電阻Rab。

解(1)先將無電阻導(dǎo)線d、d'縮成一點(diǎn),用d表示,則得圖2.7(b)。

(2)并聯(lián)化簡,將圖2.7(b)變?yōu)閳D2.7(c)。

(3)由圖2.7(c)求得a、b兩點(diǎn)間的等效電阻為

2.2電阻的星形連接與三角形連接的等效變換

三個(gè)電阻元件首尾相連,連成一個(gè)三角形,就叫做三角形連接,簡稱△形連接,如圖2.9(a)所示。三個(gè)電阻元件的一端連接在一起,另一端分別連接到電路的三個(gè)節(jié)點(diǎn),這種連接方式叫做星形連接,簡稱Y形連接,如圖2.9(b)所示。在電路分析中,常利用Y形網(wǎng)絡(luò)與△形網(wǎng)絡(luò)的等效變換來簡化電路的計(jì)算。根據(jù)等效網(wǎng)絡(luò)的定義,在圖2.9所示的△形網(wǎng)絡(luò)與Y形網(wǎng)絡(luò)中,若電壓U12、U23、U31和電流I1、I2、I3都分別相等,則兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)對外是等效的。據(jù)此,可導(dǎo)出Y形連接電阻R1、R2、R3與△形連接電阻R12、R23、R31之間的等效關(guān)系。

應(yīng)用KVL于圖2.9(a)中的回路1231,有

由KCL有

代入上式,得

經(jīng)過整理后,得

同理可求得(2.6a）

(2.6b）(2.6c)對于圖2.9(b)有

比較式(2.6)和式(2.7)可知:若滿足等效條件,兩組方程式I1、I2、I3前面的系數(shù)必須相等,即(2.7)

(2.8)式(2.8)就是從已知的△形連接電阻變換為等效Y形連接電阻的計(jì)算公式。解方程組(2.8),可得

式(2.9)就是從已知的Y形連接電阻變換為等效△形連接電阻的計(jì)算公式。若△形(或Y形)連接的三個(gè)電阻相等,則變換后的Y形(或△形)連接的三個(gè)電阻也相等。(2.9)設(shè)△形三個(gè)電阻R12=R23=R31=R△,則等效Y形的三個(gè)電阻為

反之

(2.10）

(2.11)

例2.5圖2.10(a)所示電路中,已知Us=225V,R0=1Ω,R1=40Ω,R2=36Ω,R3=50Ω,R4=55Ω,R5=10Ω,試求各電阻的電流。解將△形連接的R1、R3、R5等效變換為Y形連接的Ra、Rc、Rd,如圖2.10(b)所示,代入式(2.8)求得

圖2.10(b)是電阻混聯(lián)網(wǎng)絡(luò),串聯(lián)的Rc、R2的等效電阻

Rc2=40Ω,串聯(lián)的Rd、R4的等效電阻Rd4=60Ω,二者并聯(lián)的等效電阻為Ra與Rob串聯(lián),a、b間橋式電阻的等效電阻為

Ri=20+24=44Ω

橋式電阻的端口電流為

R2、R4的電流分別為

為了求得R1、R3、R5的電流,從圖2.10(b)求得

回到圖2.10(a)所示電路,得

思考題

求圖2.11所示網(wǎng)絡(luò)的等效電阻Rab

并由KCL得2.3兩種實(shí)際電源模型的等效變換

一個(gè)實(shí)際的直流電源在給電阻負(fù)載供電時(shí),其端電壓隨負(fù)載電流的增大而下降。在一定范圍內(nèi)端電壓、電流的關(guān)系近似于直線,這是由于實(shí)際直流電源內(nèi)阻引起的內(nèi)阻壓降造成的。

圖2.12(a)是直流電壓源和電阻串聯(lián)的組合,其端電壓

U和電流I的參考方向如圖中所示。U和I都隨外電路改變而變化,其外特性方程為

U=Us-RI

(2.12)

圖2.12(b)是按式(2.12)畫出的伏安特性曲線,它是一條直線。只要適當(dāng)選擇R值,電壓源Us和電阻R的串聯(lián)組合就可作為實(shí)際直流電源的電路模型。

圖2.13(a)是電流源和電導(dǎo)的并聯(lián)組合,其端電壓和電流的參考方向如圖中所示,其外特性為

I=Is-GU (2.13)

圖2.13(b)是按式(2.13)畫出的伏安特性曲線,它也是一條直線。只要適當(dāng)選擇G值,電流源和電導(dǎo)并聯(lián)的組合也可以作為實(shí)際直流電源的電路模型。

比較式(2.12)和式(2.13),只要滿足(2.14)則式(2.12)和式(2.13)所表示的方程完全相同,它們在IU平面上將表示同一直線,所以圖2.12(a)和圖2.13(a)所示電路對外完全等效。在這里要注意,Us和Is參考方向的相互關(guān)系:Is的參考方向由Us的負(fù)極指向其正極。一般情況下,這兩種等效模型內(nèi)部的功率情況并不相同,但是對外部來說,它們吸收或供出的功率總是一樣的。

順便指出,沒有串聯(lián)電阻的電壓源和沒有并聯(lián)電阻的電流源之間沒有等效的關(guān)系。

例2.6求圖2.14(a)所示的電路中R支路的電流。已知Us1=10V,Us2=6V,R1=1Ω,R2=3Ω,R=6Ω。

解先把每個(gè)電壓源電阻串聯(lián)支路變換為電流源電阻并聯(lián)支路。網(wǎng)絡(luò)變換如圖2.14(b)所示,其中

圖2.14(b)中兩個(gè)并聯(lián)電流源可以用一個(gè)電流源代替,其

Is=Is1+Is2=10+2=12A

并聯(lián)R1、R2的等效電阻為

網(wǎng)絡(luò)簡化如圖2.14(c)所示。

對于圖2.14(c)電路,可按分流關(guān)系求得R的電流I為

思考題

用一個(gè)等效電源替代圖2.15中各有源二端網(wǎng)絡(luò)。

2.4支路電流法

電阻電路的等效變換法，此法適用于一定結(jié)構(gòu)形式的電路,不便于對電路進(jìn)行一般性探討。

分析電路的一般方法是選擇一些電路變量,根據(jù)KCL和KVL以及元件特性方程,列寫出電路變量的方程,從方程中解出電路變量,這類方法稱為網(wǎng)絡(luò)方程法。本節(jié)主要介紹網(wǎng)絡(luò)方程法中的一種———支路電流法。

支路電流法以每個(gè)支路的電流為求解的未知量。設(shè)電路有b條支路,則有b個(gè)未知電流可選為變量。因而支路電流法須列出b個(gè)獨(dú)立方程,然后解出未知的支路電流。

以圖2.16所示的電路為例來說明支路電流法的應(yīng)用。在電路中支路數(shù)b=3,節(jié)點(diǎn)數(shù)n=2,以支路電流I1、

I2、I3為變量,共要列出三個(gè)獨(dú)立方程。列方程前指定各支路電流的參考方向如圖2.16所示。首先,根據(jù)電流的參考方向,對節(jié)點(diǎn)a列寫KCL方程:I1-I2+I3=0(2.15)對節(jié)點(diǎn)b列寫KCL方程:I1+I2I3=0(2.16)式(2.15)即為式(2.16),兩個(gè)方程中只有一個(gè)是獨(dú)立的。這一結(jié)果可以推廣到一般電路:節(jié)點(diǎn)數(shù)為n的電路中,按KCL列出的節(jié)點(diǎn)電流方程只有n-1個(gè)是獨(dú)立的。并將n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)稱為一組獨(dú)立節(jié)點(diǎn)。這是因?yàn)槊總€(gè)支路連到兩個(gè)節(jié)點(diǎn),每個(gè)支路電流在n個(gè)節(jié)點(diǎn)電流方程中各出現(xiàn)兩次;又因?yàn)橥恢冯娏鲗@個(gè)支路所連的一個(gè)節(jié)點(diǎn)取正號(hào),對所連的另一個(gè)節(jié)點(diǎn)必定取負(fù)號(hào),所以n個(gè)節(jié)點(diǎn)電流方程相加所得必定

是個(gè)“0=0”的恒等式。至于哪個(gè)節(jié)點(diǎn)不獨(dú)立,則是任選的。

其次,選擇回路,應(yīng)用KVL列出其余b-(n-1)個(gè)方程。每次列出的KVL方程與已經(jīng)列寫過的KVL方程必須是互相獨(dú)立的。通常,可取網(wǎng)孔來列KVL方程。圖2.16中有兩個(gè)網(wǎng)孔,按順時(shí)針方向繞行,對左面的網(wǎng)孔列寫KVL方程:

按順時(shí)針方向繞行,對右面的網(wǎng)孔列寫KVL方程:

網(wǎng)孔的數(shù)目恰好等于b-(n-1)=3-(2-1)=2。因?yàn)槊總€(gè)網(wǎng)孔都包含一條互不相同的支路,所以每個(gè)網(wǎng)孔都是一個(gè)獨(dú)立回路,可以列出一個(gè)獨(dú)立的KVL方程。

應(yīng)用KCL和KVL一共可列出(n-1)+[b-(n-1)]=b個(gè)獨(dú)立方程,它們都是以支路電流為變量的方程,因而可以解出b個(gè)支路電流。

(2.17)

(2.18)綜上所述,支路電流法分析計(jì)算電路的一般步驟如下:

(1)在電路圖中選定各支路(b個(gè))電流的參考方向,設(shè)出各支路電流。

(2)對獨(dú)立節(jié)點(diǎn)列出n-1個(gè)KCL方程。

(3)通常取網(wǎng)孔列寫KVL方程,設(shè)定各網(wǎng)孔繞行方向,列出b-(n-1)個(gè)KVL方程。

(4)聯(lián)立求解上述b個(gè)獨(dú)立方程,便得出待求的各支路電流。用支路法時(shí),可把電流源與電阻并聯(lián)組合變換為電壓源與電阻串聯(lián)組合,以簡化計(jì)算。例2.7圖2.16所示電路中,Us1=130V、R1=1Ω為直流發(fā)電機(jī)的模型,電阻負(fù)載R3=24Ω,Us2=117V、R2=0.6Ω為蓄電池組的模型。試求各支路電流和各元件的功率。解以支路電流為變量,應(yīng)用KCL、KVL列出式(2.15)、式(2.17)和式(2.18),并將已知數(shù)據(jù)代入,即得

解得I1=10A,I2=-5A,I3=5A。

I2為負(fù)值,表明它的實(shí)際方向與所選參考方向相反,這個(gè)電池組在充電時(shí)是負(fù)載。

1300=585+100+15+600,功率平衡,表明計(jì)算正確。

Us1發(fā)出的功率為Us2發(fā)出的功率為即Us2接受功率585W。各電阻接受的功率為

2.5網(wǎng)孔法

上節(jié)介紹了支路電流法。對于具有b條支路和n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路,要列n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)電流方程和(bn+1)個(gè)網(wǎng)孔電壓方程,聯(lián)立求解,方程較多,求解較麻煩。為了減少方程數(shù)目,可采用網(wǎng)孔電流為電路的變量來列寫方程,這種方法稱為網(wǎng)孔法(網(wǎng)孔法僅適用于平面電路)。下面通過圖2.18所示的電路加以說明。

圖2.18中共有三個(gè)支路,兩個(gè)網(wǎng)孔。設(shè)想在每個(gè)網(wǎng)孔中,都有一個(gè)電流沿網(wǎng)孔邊界環(huán)流,其參考方向如圖所示,這樣一個(gè)在網(wǎng)孔內(nèi)環(huán)行的假想電流叫做網(wǎng)孔電流。從中可以看出,各網(wǎng)孔電流與各支路電流之間的關(guān)系為

即所有支路電流都可以用網(wǎng)孔電流線性表示。

由于每一個(gè)網(wǎng)孔電流在流經(jīng)電路的某一節(jié)點(diǎn)時(shí),流入該節(jié)點(diǎn)之后,又同時(shí)從該節(jié)點(diǎn)流出,因此各網(wǎng)孔電流都能自動(dòng)滿足KCL,就不必對各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)另列KCL方程,所以省去了(n-1)個(gè)方程。這樣,只要列出KVL方程就可以了,使方程數(shù)目減少為b-(n-1)個(gè)。電路的變量———網(wǎng)孔電流也是b-(n-1)個(gè)。原則上講,用網(wǎng)孔法列寫KVL方程與用支路電流法列寫KVL方程是一樣的,但這時(shí),是用網(wǎng)孔電流來表示各電阻上的電壓降的。有些電阻中會(huì)有幾個(gè)網(wǎng)孔電流同時(shí)流過,列寫方程時(shí)應(yīng)該把各網(wǎng)孔電流引起的電壓降都計(jì)算進(jìn)去。通常,選取網(wǎng)孔的繞行方向與網(wǎng)孔電流的參考方向一致。于是,對于圖2.18所示電路,有

經(jīng)過整理后,得

(2.19)這就是以網(wǎng)孔電流為未知量時(shí)列寫的KVL方程,稱為網(wǎng)孔方程。方程組(2.19)可以進(jìn)一步寫成

上式就是當(dāng)電路具有兩個(gè)網(wǎng)孔時(shí)網(wǎng)孔方程的一般形式,其中:R11=R1+R2,R22=R2+R3分別是網(wǎng)孔1與網(wǎng)孔2的電阻之和,稱為各網(wǎng)孔的自電阻。因?yàn)檫x取自電阻的電壓與電流為關(guān)聯(lián)參考方向,所以自電阻都取正號(hào)。

(2.20)R12=R21=R2是網(wǎng)孔1與網(wǎng)孔2公共支路的電阻,稱為相鄰網(wǎng)孔的互電阻。互電阻可以是正號(hào),也可以是負(fù)號(hào)。當(dāng)流過互電阻的兩個(gè)相鄰網(wǎng)孔電流的參考方向一致時(shí),互電阻取正號(hào),反之取負(fù)號(hào)。本例中,由于各網(wǎng)孔電流的參考方向都選取為順時(shí)針方向,即流過各互電阻的兩個(gè)相鄰網(wǎng)孔電流的參考方向都相反,因而它們都取負(fù)號(hào)。

Us11=Us1Us2,Us2=Us2Us3分別是各網(wǎng)孔中電壓源電壓的代數(shù)和,稱為網(wǎng)孔電源電壓。凡參考方向與網(wǎng)孔繞行方向一致的電源電壓取負(fù)號(hào),反之取正號(hào),這是因?yàn)閷㈦娫措妷阂频降仁接疫呉兲?hào)的緣故。式(2.20)也可以推廣到具有m個(gè)網(wǎng)孔的平面電路,其網(wǎng)孔方程的規(guī)范形式為

如果電路中含有電流源與電阻并聯(lián)組合,先把它們等效變換成電壓源與電阻的串聯(lián)組合,再列寫網(wǎng)孔方程。如果電路中含有電流源,且沒有與其并聯(lián)的電阻,這時(shí)可根據(jù)電路的結(jié)構(gòu)形式采用下面兩種方法處理:(2.21)一種方法是,當(dāng)電流源支路僅屬一個(gè)網(wǎng)孔時(shí),選擇該網(wǎng)孔電流等于電流源的電流,這樣可減少一個(gè)網(wǎng)孔方程,其余網(wǎng)孔方程仍按一般方法列寫;

另一種方法是,在建立網(wǎng)孔方程時(shí),可將電流源的電壓作為一個(gè)未知量,每引入這樣一個(gè)未知量,同時(shí)應(yīng)增加一個(gè)網(wǎng)孔電流與該電流源電流之間的約束關(guān)系,從而列出一個(gè)補(bǔ)充方程。這樣一來,獨(dú)立方程數(shù)與未知量仍然相等,可解出各未知量。例2.8用網(wǎng)孔法求圖2.19所示電路的各支路電流。

解：(1)選擇各網(wǎng)孔電流的參考方向,如圖2.19所示。計(jì)算各網(wǎng)孔的自電阻和相關(guān)網(wǎng)孔的互電阻及每一網(wǎng)孔的電源電壓。

(2)按式(2.21)列網(wǎng)孔方程組：

(3)求解網(wǎng)孔方程組可得

(4)任選各支路電流的參考方向,如圖所示。由網(wǎng)孔電流求得各支路電流分別為

例2.9用網(wǎng)孔法求圖2.20所示電路各支路電流及電流源的電壓。

解：(1)選取各網(wǎng)孔電流的參考方向及電流源電壓的參考方向,如圖2.20所示。(2)列網(wǎng)孔方程組:

補(bǔ)充方程

(4)選取各支路電流的參考方向如圖所示,各支路電流分別為

(3)解方程組,得2.6節(jié)點(diǎn)電壓法

節(jié)點(diǎn)電壓法是以電路的節(jié)點(diǎn)電壓為未知量來分析電路的一種方法,它不僅適用于平面電路,同時(shí)也適用于非平面電路。鑒于這一優(yōu)點(diǎn),在計(jì)算機(jī)輔助電路分析中,一般也采用節(jié)點(diǎn)電壓法求解電路。

在電路的n個(gè)節(jié)點(diǎn)中,任選一個(gè)為參考點(diǎn),把其余(n-1)個(gè)節(jié)點(diǎn)對參考點(diǎn)的電壓分別叫做該節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓。電路中所有支路電壓都可以用節(jié)點(diǎn)電壓來表示。電路中的支路分成兩種:一種是接在獨(dú)立節(jié)點(diǎn)和參考節(jié)點(diǎn)之間,它的支路電壓就是節(jié)點(diǎn)電壓;另一種是接在各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)之間,它的支路電壓則是兩個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓之差。如能求出各節(jié)點(diǎn)電壓,就能求出各支路電壓及其他待求量。要求(n-1)個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓,需列(n-1)個(gè)獨(dú)立方程。用節(jié)點(diǎn)電壓代替支路電壓,已經(jīng)滿足KVL的約束,只需列KCL的約束方程即可,而所能列出的獨(dú)立的KCL方程正好是(n-1)個(gè)。

以圖2.21所示電路為例,獨(dú)立節(jié)點(diǎn)數(shù)為n-1=2。選取各支路電流的參考方向,如圖所示,對節(jié)點(diǎn)1、2分別由KCL列出節(jié)點(diǎn)電流方程:

設(shè)以節(jié)點(diǎn)3為參考點(diǎn),則節(jié)點(diǎn)1、2的節(jié)點(diǎn)電壓分別為U1、U2。

將支路電流用節(jié)點(diǎn)電壓表示為代入兩個(gè)節(jié)點(diǎn)電流方程中,經(jīng)移項(xiàng)整理后得式(2.22)就是圖2.21所示電路以節(jié)點(diǎn)電壓U1、U2為未知變量列出的節(jié)點(diǎn)電壓方程,簡稱節(jié)點(diǎn)方程。將式(2.22)寫成

這就是當(dāng)電路具有三個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)電路的節(jié)點(diǎn)方程的一般形式。式(2.23)中左邊的G11=(G1+G3+G4)、G22=(G2+G3+G4)分別是節(jié)點(diǎn)1、節(jié)點(diǎn)2相連接的各支路電導(dǎo)之和,稱為各節(jié)點(diǎn)的自電導(dǎo)。G12=G21=-(G3+G4)是連接在節(jié)點(diǎn)1與節(jié)點(diǎn)2之間的各公共支路的電導(dǎo)之和的負(fù)值,稱為兩相鄰節(jié)點(diǎn)的互電導(dǎo),互電導(dǎo)總是負(fù)的。式(2.23)中右邊的Is11=(Is1+Is3)、Is22=(Is2Is3)分別是流入節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2的各電流源電流的代數(shù)和,稱為節(jié)點(diǎn)電源電流,流入節(jié)點(diǎn)的取正號(hào),流出節(jié)點(diǎn)取負(fù)號(hào)。(2.23)上述關(guān)系可推廣到一般電路。對具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路,其節(jié)點(diǎn)方程的規(guī)范形式為

當(dāng)電路中含有電壓源和電阻串聯(lián)組合的支路時(shí),先把電壓源和電阻串聯(lián)組合變換成電流源和電阻并聯(lián)組合,然后再依式(2.24)列方程。

(2.24)例2.10試用節(jié)點(diǎn)電壓法求圖2.23所示電路中的各支路電流。

解取節(jié)點(diǎn)0為參考節(jié)點(diǎn),節(jié)點(diǎn)1、2的節(jié)點(diǎn)電壓分別為U1、U2,按式(2.24)得解之得

U1=6V,U2=12V取各支路電流的參考方向,如圖2.23所示。根據(jù)支路電流與節(jié)點(diǎn)電壓的關(guān)系,有例2.11應(yīng)用彌爾曼定理求圖2.24所示電路中各支路電流。

解：本電路只有一個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn),設(shè)其電壓為U1,由式(2.25)得

設(shè)各支路電流I1、I2、I3的參考方向如圖中所示,求得各支路電流分別為

思考題

列出圖2.25所示電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程。

2.7疊加定理

疊加定理是線性電路的一個(gè)基本定理。疊加定理可表述如下:在線性電路中,當(dāng)有兩個(gè)或兩個(gè)以上的獨(dú)立電源作用時(shí),則任意支路的電流或電壓都可以認(rèn)為是電路中各個(gè)電源單獨(dú)作用而其他電源不作用時(shí),在該支路中產(chǎn)生的各電流分量或電壓分量的代數(shù)和。下面通過圖2.26(a)中R2支路電流I為例說明疊加定理在線性電路中的體現(xiàn)。

圖2.26(a)是一個(gè)含有兩個(gè)獨(dú)立源的線性電路,根據(jù)彌爾曼定理,可得這個(gè)電路兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的電壓為

R2支路電流為

圖2.26(b)是電壓源Us單獨(dú)作用下的情況。此情況下電流源的作用為零,零電流源相當(dāng)于無限大電阻(即開路)。在Us單獨(dú)作用下R2支路電流為

圖2.26(c)是電流源Is單獨(dú)作用下的情況。此情況下電壓源的作用為零,零電壓源相當(dāng)于零電阻(即短路)。在Is單獨(dú)作用下R2支路電流為求所有獨(dú)立源單獨(dú)作用下R2支路電流的代數(shù)和,得

對I'取正號(hào),是因?yàn)樗膮⒖挤较蜻x擇的與I的參考方向一致;對I″取負(fù)號(hào),是因?yàn)樗膮⒖挤较蜻x擇的與I的參考方向相反。使用疊加定理時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn):

(1)只能用來計(jì)算線性電路的電流和電壓,對非線性電路,疊加定理不適用。

(2)疊加時(shí)要注意電流和電壓的參考方向,求其代數(shù)和。(3)化為幾個(gè)單獨(dú)電源的電路來進(jìn)行計(jì)算時(shí),所謂電壓源不作用,就是在該電壓源處用短路代替,電流源不作用,就是在該電流源處用開路代替。

(4)不能用疊加定理直接來計(jì)算功率。

疊加定理在線性電路分析中起重要作用,它是分析線性電路的基礎(chǔ)。線性電路的許多定理可從疊加定理導(dǎo)出。

獨(dú)立電源代表外界對電路的作用,我們稱其為激勵(lì)。激勵(lì)在電路中產(chǎn)生的電流和電壓稱為響應(yīng)。由線性電路的性質(zhì)得知:當(dāng)電路中只有一個(gè)激勵(lì)時(shí),網(wǎng)絡(luò)的響應(yīng)與激勵(lì)成正此。這個(gè)關(guān)系稱為齊次定理。用齊次定理分析梯形電路比較方便。例2.12圖2.27(a)所示橋形電路中,R1=2Ω,R2=1Ω,R3=3Ω,R4=0.5Ω,Us=4.5V,Is=1A。試用疊加定理求電壓源的電流I和電流源的端電壓U。

解：(1)當(dāng)電壓源單獨(dú)作用時(shí),電流源開路,如圖2.27(b)所示,各支路電流分別為電流源支路的端電壓為

(2)當(dāng)電流源單獨(dú)作用時(shí),電壓源短路,如圖2.27(c)所示,各支路電流分別為

電流源的端電壓為

(3)兩個(gè)獨(dú)立源共同作用時(shí),電壓源的電流為

電流源的端電壓為2.8戴維南定理

戴維南定理是闡明線性有源二端網(wǎng)絡(luò)外部性能的一個(gè)重要定理。若只需分析計(jì)算某一支路的電流或電壓,則應(yīng)用戴維南定理具有特殊的優(yōu)越性。

戴維南定理指出:含獨(dú)立源的線性二端電阻網(wǎng)絡(luò),對其外部而言,都可以用電壓源和電阻串聯(lián)組合等效代替,該電壓源的電壓等于網(wǎng)絡(luò)的開路電壓,該電阻等于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部所有獨(dú)立源作用為零情況下的網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。

下面我們對戴維南定理給出一般證明。圖2.30(a)所示電路中,a、b兩端的左邊是任一線性有源二端網(wǎng)絡(luò),右邊是一二端元件。設(shè)端口處的電壓、電流為U、I。首先,將二端元件用電流為I的電流源代替,如圖2.30(b)所示,網(wǎng)絡(luò)端口電壓、電流仍為U、I。其次,應(yīng)用疊加定理將圖2.30(b)看成是圖2.30(c)和圖2.30(d)所示電路的疊加。圖2.30(c)是有源二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的獨(dú)立源單獨(dú)作用,外部電流源不作用的情況,即有源二端網(wǎng)絡(luò)處于開路狀態(tài)。若令有源二端網(wǎng)絡(luò)開路電壓為Uoc,這時(shí)有

I'=0,U'=Uoc

圖2.30(d)是外部的電流源單獨(dú)作用,有源二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的獨(dú)立源不作用的情況。也就是把有源二端網(wǎng)絡(luò)化為一個(gè)無源網(wǎng)絡(luò),對外部而言,它可用等效電阻Ri替代。這時(shí)有

I″=I,U″=RiI″=RiI

將圖2.30(c)和圖2.30(d)疊加得

由上式得出的等效電路正好是一個(gè)由電壓源Uoc與電阻Ri的串聯(lián)組合,如圖2.30(e)所示。也就是說,圖2.30(e)和圖2.30(a)對外部電路而言是等效的。

將圖2.30(e)中的電壓源與電阻串聯(lián)組合又可等效變換為電流源與電阻并聯(lián)組合,這就是諾頓定理。諾頓定理在本書中不討論。

等效電阻的計(jì)算方法有以下三種:

(1)設(shè)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)所有電源為零,用電阻串、并聯(lián)或三角形與星形網(wǎng)絡(luò)變換加以化簡,計(jì)算端口ab的